高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題09 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題09對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、【知識精講】1.對數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.[微點提醒]1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限.二、【典例精練】考點一對數(shù)的運算【例1】(1)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4)－lg25))÷100－eq\f(1,2)＝________.(2)計算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.【答案】(1)－20(2)1【解析】(1)原式＝(lg2－2－lg52)×100eq\f(1,2)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22×52)))×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.【解法小結(jié)】1.在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應(yīng)注意互化.考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】(1)函數(shù)y＝lg|x－1|的圖象是()(2)已知當(dāng)0<x≤eq\f(1,4)時，有eq\r(x)<logax，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】(1)A(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1))【解析】(1)因為y＝lg|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx－1，x>1，,lg1－x，x<1.))當(dāng)x＝1時，函數(shù)無意義，故排除B、D.又當(dāng)x＝2或0時，y＝0，所以A項符合題意．(2)若eq\r(x)<logax在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))時成立，則0<a<1，且y＝eq\r(x)的圖象在y＝logax圖象的下方，作出圖象如圖所示．由圖象知eq\r(\f(1,4))<logaeq\f(1,4)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a>\f(1,4)，))解得eq\f(1,16)<a<1.即實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)).【解法小結(jié)】1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【例3－1】(2017·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)，則()A.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減C.y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱D.y＝f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱【答案】C【解析】由題意知，f(x)＝lnx＋ln(2－x)的定義域為(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx＝f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，C正確，D錯誤.角度2比較大小或解簡單的不等式【例3－2】(1).(2017·全國Ⅰ卷)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【答案】D【解析】令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z為正數(shù)，∴t>1.則x＝log2t＝eq\f(lgt,lg2)，同理，y＝eq\f(lgt,lg3)，z＝eq\f(lgt,lg5).∴2x－3y＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgt（2lg3－3lg2）,lg2×lg3)＝eq\f(lgt（lg9－lg8）,lg2×lg3)>0，∴2x>3y.又∵2x－5z＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(5lgt,lg5)＝eq\f(lgt（2lg5－5lg2）,lg2×lg5)＝eq\f(lgt（lg25－lg32）,lg2×lg5)<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.(2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，則a的取值范圍是()A.(0，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.(0，1)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】由題意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同時2a>1，∴a>eq\f(1,2).綜上，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).角度3對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3－3】已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax).(1)當(dāng)x∈[0，2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.【解析】(1)∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0，2]時，t(x)的最小值為3－2a，當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)恒有意義，即x∈[0，2]時，3－ax>0恒成立.∴3－2a>0.∴a<eq\f(3,2).又a>0且a≠1，∴a的取值范圍是(0，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)為減函數(shù).∵f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，∴y＝logat為增函數(shù)，∴a>1，x∈[1，2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,loga（3－a）＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.【解法小結(jié)】1.確定函數(shù)的定義域，研究或利用函數(shù)的性質(zhì)，都要在其定義域上進行.2.如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤.3.在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解.在利用單調(diào)性時，一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件.【思維升華】]1.對數(shù)值取正、負值的規(guī)律當(dāng)a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時，logab>0；當(dāng)a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時，logab<0.2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決.3.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.4.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線y＝1交點的橫坐標進行判定.【易錯注意點】]1.在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域應(yīng)為(0，＋∞).對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時，要分0<a<1與a>1兩種情況討論.2.在運算性質(zhì)logaMα＝αlogaM中，要特別注意條件，在無M>0的條件下應(yīng)為logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α為偶數(shù)).3.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.三、【名校新題】1.(2019·武漢月考)已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1【答案】D【解析】由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以0<a<1.又當(dāng)x＝0時，y>0，即logac>0，所以0<c<1.2.(2018·天津卷)已知a＝log3eq\f(7,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,3))，c＝logeq\f(1,3)eq\f(1,5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】logeq\f(1,3)eq\f(1,5)＝log3－15－1＝log35，因為函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以log35>log3eq\f(7,2)>log33＝1，因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(0)＝1，故c>a>b.3.(2018·張家界三模)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的圖象大致為()【答案】A【解析】由題意，知函數(shù)f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)＝2－ax的零點x＝eq\f(2,a)>2，且函數(shù)g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，C，D均不滿足；當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)＝2－ax的零點x＝eq\f(2,a)<2，且x＝eq\f(2,a)>0，又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函數(shù)，排除B，綜上只有A滿足.4.(2019·肇慶二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，則()A.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)D.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)【答案】D【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＋x>0，,10－x>0，))得x∈(－10，10)，且f(x)＝lg(100－x2).∴f(x)是偶函數(shù)，又t＝100－x2在(0，10)上單調(diào)遞減，y＝lgt在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在(0，10)上單調(diào)遞減.5.(2019·濰坊一模)若函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以是()【答案】D【解析】由f(x)在R上是減函數(shù)，知0<a<1.又y＝loga(|x|－1)是偶函數(shù)，定義域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴當(dāng)x>1時，y＝loga(x－1)的圖象由y＝logax的圖象向右平移一個單位得到.因此選項D正確.6.(2019·商丘二模)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋b))在區(qū)間(－∞，＋∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝loga||x|－b|的圖象是()【答案】A【解析】∵函數(shù)f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋b))在區(qū)間(－∞，＋∞)上是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函數(shù)f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋b))在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以a>1.所以g(x)＝loga||x|－1|，當(dāng)x>1時，g(x)＝loga(x－1)為增函數(shù)，排除B，D；當(dāng)0<x<1時，g(x)＝loga(1－x)為減函數(shù)，排除C；故選A.7.(2019·武漢調(diào)研)函數(shù)f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【答案】(5，＋∞)【解析】由函數(shù)f(x)＝loga(x2－4x－5)，得x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.令m(x)＝x2－4x－5，則m(x)＝(x－2)2－9，m(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，又由a>1及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5，＋∞)．8.(2019·成都七中檢測)已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，則a＝________，b＝________.【答案】4,2【解析】設(shè)logba＝t，則t>1，因為t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，所以t＝2，則a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.9.(2019·昆明診斷)設(shè)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是________.【答案】(－1，0)【解析】由f(x)是奇函數(shù)可得a＝－1，∴f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，定義域為(－1，1).由f(x)<0，可得0<eq\f(1＋x,1－x)<1，∴－1<x<0.10.(2019·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－log2（3－x），x<2，,2x－2－1，x≥2，))若f(2－a)＝1，則f(a)＝________.【答案】-2【解析】當(dāng)2－a<2，即a>0時，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.解得a＝－eq\f(1,2)，不合題意.當(dāng)2－a≥2，即a≤0時，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.11(2019·日照調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x<1，,log2x，x≥1，))若方程f(x)－a＝0恰有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】{0}∪[2，＋∞)【解析】作出函數(shù)y＝f(x)的圖象(如圖所示).方程f(x)－a＝0恰有一個實根，等價于函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a恰有一個公共點，故a＝0或a≥2，即a的取值范圍是{0}∪[2，＋∞).12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)＝0，當(dāng)x>0時，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.【解析】(1)當(dāng)x<0時，－x>0，則f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x).因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)＝logeq\f(1,2)(－x)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x>0，,0，x＝0，