地球物理反演理論

地球物理反演理論一、解釋下列概念1.分辨矩陣數(shù)據(jù)分辨矩陣描述了使用估計(jì)的模型參數(shù)得到的數(shù)據(jù)預(yù)測值與數(shù)據(jù)觀測值的擬合程度，可以表示為，其中，方陣稱為數(shù)據(jù)分辨矩陣。它不是數(shù)據(jù)的函數(shù),而僅僅是數(shù)據(jù)核G（它體現(xiàn)了模型及實(shí)驗(yàn)的幾何特征）以及對問題所施加的任何先驗(yàn)信息的函數(shù)。模型分辨矩陣是數(shù)據(jù)核和對問題所附加的先驗(yàn)信息的函數(shù)，與數(shù)據(jù)的真實(shí)值無關(guān)，可以表示為，其中R稱為模型分辨矩陣。2.協(xié)方差模型參數(shù)的協(xié)方差取決于數(shù)據(jù)的協(xié)方差以及由數(shù)據(jù)誤差映射成模型參數(shù)誤差的方式。其映射只是數(shù)據(jù)核和其廣義逆的函數(shù),而與數(shù)據(jù)本身無關(guān)。在地球物理反演問題中,許多問題屬于混定形式。在這種情況下,既要保證模型參數(shù)的高分辨率,又要得到很小的模型協(xié)方差是不可能的,兩者不可兼得,只有采取折衷的辦法?？梢酝ㄟ^選擇一個使分辨率展布與方差大小加權(quán)之和取極小的廣義逆來研究這一問題:如果令加權(quán)參數(shù)接近1,那么廣義逆的模型分辨矩陣將具有很小的展布,但是模型參數(shù)將具有很大的方差。而如果令接近0,那么模型參數(shù)將具有相對較小的方差,但是其分辨率將具有很大的展布。3.適定與不適定問題適定問題是指滿足下列三個要求的問題：①解是存在的；②解是惟一的；③解連續(xù)依賴于定解條件。這三個要求中，只要有一個不滿足，則稱之為不適定問題4.正則化用一組與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解,這種方法稱為正則化方法。對于方程，若其是不穩(wěn)定的，則可以表述為，其中稱為正則參數(shù)，其正則解為。這種方法叫做正則化方法。5.多解性由于觀測數(shù)據(jù)并非無限,以及觀測數(shù)據(jù)具有誤差,使解具有多解性。6.穩(wěn)定性反演問題就是從數(shù)據(jù)空間到模型空間的映射問題，如果數(shù)據(jù)空間有一個小范圍的變化，相應(yīng)于模型空間存在一個大范圍的變化，則成這種映射或反演是不穩(wěn)定的。實(shí)踐證明，地球物理學(xué)中的反演問題都是不穩(wěn)定的，只是嚴(yán)重程度不同罷了。二、從最速下降法、共軛梯度法、牛頓法、L-bfgs方法、阻尼最小二乘法和廣義逆等地球物理反演方法中選取不少于4種方法，簡述各自的特點(diǎn)和適用性。1.最速下降法有稱梯度法，就是從一個初始模型出發(fā)，沿負(fù)梯度方向搜索目標(biāo)函數(shù)極小點(diǎn)的一種最優(yōu)化方法，在用該方法進(jìn)行反演時，一是要有一個出發(fā)點(diǎn)——初始模型，初始模型越選在極小點(diǎn)附近，反演越容易成功和收斂；二是要沿一個正確的方向——負(fù)梯度方向；三是要一個合適的步長，步長不能太小，也不能太大，太小反演收斂的速度降低，太大使反演不穩(wěn)定，甚至不會收斂。一般來說，從任意初始模型出發(fā)進(jìn)行搜索，最速下降法均會收斂，開始（遠(yuǎn)離極小點(diǎn)處）收斂速度快，往后越接近極小點(diǎn)處收斂越慢，尤其是在極小點(diǎn)附近，收斂很慢。此時，要向真正的極小點(diǎn)前進(jìn)一點(diǎn)，都需要經(jīng)過多次迭代。2.共軛梯度法：采用共軛方向去搜索極小點(diǎn),必須在第一步搜索時取最速下降方向,否則就不能在有限的迭代中達(dá)到極小點(diǎn)。共軛梯度法正是基于這種思想對函數(shù)極小點(diǎn)進(jìn)行逐步探測的。共軛梯度法的基本思想是把共軛性與最速下降方法相結(jié)合,利用已知點(diǎn)處的梯度構(gòu)造一組共軛方向,沿著這組方向而不是負(fù)梯度方向去搜索目標(biāo)函數(shù)極小點(diǎn),根據(jù)共軛方向的性質(zhì),共軛梯度法具有二次終止性。理論上對于二次正定函數(shù)共軛梯度法經(jīng)有限步迭代必達(dá)到極小點(diǎn)。但對于一般函數(shù),尤其是通過泰勒級數(shù)展開后得到近似二次型函數(shù),通過有限次迭代不一定能達(dá)到極小點(diǎn)。3.牛頓法和前面的最速下降法都是非約束反演法，即在反演迭代過程中不加任何先驗(yàn)信息對質(zhì)進(jìn)行約束。牛頓法不僅利用了梯度，而且利用了目標(biāo)函數(shù)的曲率，即二階偏導(dǎo)數(shù)，在極小點(diǎn)附近收斂比最速下降法要快。該方法的不足之處在于，計(jì)算時間長，且當(dāng)初始模型遠(yuǎn)離全局極小時，收斂速度很慢。因而，在實(shí)際應(yīng)用中，最速下降法和下面的牛頓法相互配合，取長補(bǔ)短，以達(dá)到既能保證收斂又能加速迭代速度的目的。4.阻尼最小二乘算法：用最小二乘法進(jìn)行迭代時,校正向量的步長較大,若初始值選擇合適,能很快收斂,但其收斂性很不穩(wěn)定,若初始值選擇不合適,易于發(fā)散。最速下降法則相反,它沿最速下降方向搜索,可以保證收斂,但步長太小,收斂很慢。阻尼最小二乘法是在兩種方法之間取某種折衷,力圖以最大的步長,同時又靠近最速下降方向,以保證穩(wěn)定收斂,并加快收斂速度。這種方法又稱馬奎特法。三、推導(dǎo)建立共軛梯度法