探究高考數(shù)列通項的求法(全文)

精品文檔-下載后可編輯探究高考數(shù)列通項的求法(全文)數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有非常中重要的位，對通項公式的探究是高考考查數(shù)列的主要命題點(diǎn)，它能考查觀察、歸納、猜想、推斷能力，特別是有遞推關(guān)系確定數(shù)列的通項、更具有新穎、靈活等特點(diǎn)，求數(shù)列的通項公式是歷年高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)?，F(xiàn)主要以近年高考題為例，分析求數(shù)列通項公式的常用方法，以便在高考復(fù)習(xí)階段，做到知己知彼、有的放矢，提高復(fù)習(xí)效率。

類型1：已知數(shù)列類型，利用定義求解

例1：（2022年福建卷）已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=-3。

（I）求數(shù)列{an}的通項公式；

（II）若數(shù)列{an}的前k項和sk=-35，求k的值。

例2：（全國卷文科)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為sn,已知a2=6,6a1+a3=30求an和sn。

【點(diǎn)評】利用定義求數(shù)列的通項公式，需要知道數(shù)列的類型，即等比數(shù)列或等差數(shù)列，以及等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)。

類型2：已知數(shù)列{an}的前n項和sn

求其通項，可用公式，ans1sn-sn-1求解

例3：湖北已知數(shù)列{an}的前項n和sn為，且滿足：工a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1)。

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅱ）若存在K∈N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差數(shù)列，判斷：對于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論。

【點(diǎn)評】數(shù)列的通項an與前n項和sn的關(guān)系需注意當(dāng)n≥2時求出an也適合n=1時的情形，可直接寫成an=sn-sn-1否則分段表示。

類型3：可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項

例4：（2022年全國）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0，且■-■=1.

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)bn=■,記Sn=■bk,證明：Sn

解：（I）由題設(shè)■-■=1，

即(■)是公差為1的等差數(shù)列。

又■=1,故■=n，所以an=1-■.

類型4：由遞推關(guān)系確定數(shù)列的通項公式

1.累加法

例5：（2022年四川）數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*).若則b3=-2，b10=12，則a8=

（A）0（B）3（C）8（D）11

【點(diǎn)評】數(shù)列的遞推關(guān)系形如an+1=an+f(n),其中{f(n)}前有限n項可求和。此種類型的數(shù)列求通項時，常常是相鄰兩項作差，然后對差式求和，這是求通項公式的一種重要方法。

2.累乘法

已知數(shù)列{an}中，a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2),則數(shù)列的通項為（）。

解析：原遞推公式即為■=■(n≥2),所以■=■，■=■，■=■，■=■…■=■(n≥2)，各式左右兩邊分別相乘得■=■(n≥2)，

解得an=■(n≥2),又a1=1適合上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an=■.

【點(diǎn)評】：數(shù)列的遞推關(guān)系形如an+1=g(n)an，其中{g(n)}的前n項的乘積容易化簡。此數(shù)列求通項公式的方法用累乘法。

3.換元構(gòu)造新數(shù)列

例6：（2022年廣東）設(shè)b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b,an=■(n≥2),

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）證明：對于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1

【點(diǎn)評】第（1）問遞推公式的特征，應(yīng)該把a(bǔ)n與n結(jié)合在一起，從而與an-1和n-1結(jié)合的式子相對應(yīng)，故可對條件給出的等式兩邊取倒數(shù)，便可通過換元構(gòu)造新的遞推數(shù)列，并利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為類似等差或等比數(shù)列的通項公式求解。