2023年北京高考數(shù)學(xué)真題

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一、單選題

1.已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（）

A．

B．

C．

D．

3.已知向量滿足，則（）

A．

B．

C．0

D．1

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）

A．

B．

C．

D．

5.的展開式中的系數(shù)為（）．

A．

B．

C．40

D．80

6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（）

A．7

B．6

C．5

D．4

7.在中，，則（）

A．

B．

C．

D．

8.若，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

9.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（）

A．

B．

C．

D．

10.已知數(shù)列滿足，則（）

A．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立

B．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立

C．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立

D．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立

二、填空題

11.已知函數(shù)，則____________．

12.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為____________．

三、雙空題

13.已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為__________，_________．

14.我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項(xiàng)的和為____________．

四、填空題

15.設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：

①在區(qū)間上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時，存在最大值；

③設(shè)，則；

④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．

其中所有正確結(jié)論的序號是____________．

五、解答題

16.如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；

(2)求二面角的大?。?/p>

17.設(shè)函數(shù)．

(1)若，求的值．

(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．

條件①：；

條件②：；

條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．

18.為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計(jì)概率．

(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；

(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨(dú)立的．在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）

19.已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．

(1)求的方程；

(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．

20.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

(1)求的值；

(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；

(3)求的極值點(diǎn)個數(shù)．