南通市2023屆高三上學期期末模擬數學試題（解析版）

南通市2023屆高三上學期期末質量監(jiān)測模擬數學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；不準使用鉛筆和涂改液.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.4.本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用指數函數以及對數函數的單調性求得集合，根據集合的并集運算即可得答案.【詳解】解得，解得，故得，故，故選：B．2.已知復數，滿足，且復數在復平面內位于第一象限，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，利用復數的乘方運算以及復數的幾何意義即可求解.【詳解】設，則，則，所以，，，所以，則有，解得，又復數在復平面內位于第一象限，所以，代入可得．故選：C3.已知數列是遞增數列，且，則實數t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據分段函數的單調性及數列為遞增數列，列出不等式組求解即可.【詳解】因為，是遞增數列，所以，解得，所以實數t的取值范圍為，故選：C4.俄國著名飛機設計師埃格?西科斯基設計了世界上第一架四引擎飛機和第一種投入生產直升機，當代著名的“黑鷹”直升機就是由西科斯基公司生產的.年，為了遠程性和安全性上與美國波音競爭，歐洲空中客車公司設計并制造了，是一種有四臺發(fā)動機的遠程雙過道寬體客機，取代只有兩臺發(fā)動機的.假設每一架飛機的引擎在飛行中出現故障率為，且各引擎是否有故障是獨立的，已知飛機至少有個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；飛機需要個引擎全部正常運行，飛機才能成功飛行.若要使飛機比飛機更安全，則飛機引擎的故障率應控制的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由獨立重復實驗概率公式可得兩種飛機正常飛行的概率，解不等式即可得解.【詳解】由題意，飛機引擎正常運行的概率為，則飛機能成功飛行的概率為，飛機能成功飛行的概率為，令即，解得.所以飛機引擎的故障率應控制的范圍是.故選：C.5.如圖，內外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內層橢圓引切線AC，BD，若直線AC與BD的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設出切線AC和BD的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，根據判別式，求得的表達式，根據AC與BD的斜率之積求得a和b的關系，進而求得a和c的關系，橢圓的離心率可得.【詳解】設內層橢圓的方程為，由離心率相同可知，外層橢圓的方程為，如圖，設切線的方程為，則，消去得由，得，設切線的方程為，聯(lián)立，消去得，由得，又直線AC與BD的斜率之積為，.故選：C6.已知函數為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調，則的最大值為A.11 B.9C.7 D.5【答案】B【解析】【分析】根據已知可得ω為正奇數，且ω≤12，結合x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結合f（x）在（，）上單調，可得ω的最大值．【詳解】∵x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω為正奇數，∵f（x）在（，）上單調，則，即T，解得：ω≤12，當ω＝11時，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此時f（x）在（，）不單調，不滿足題意；當ω＝9時，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此時f（x）在（，）單調，滿足題意；故ω的最大值為9，故選B．【點睛】本題將三角函數的單調性與對稱性結合在一起進行考查,題目新穎,是一道考查能力的好題.注意本題求解中用到的兩個結論：①的單調區(qū)間長度是最小正周期的一半;②若的圖像關于直線對稱,則或.7.已知實數a滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據得，對AB，構造，根據零點存在性定理判斷即可；對CD，構造函數函數，求導分析函數單調性，結合所給不等式判斷即可.【詳解】由得，對于選項A與B，函數在上單調遞增，則存在，使得，即，又且，所以，均有可能，即與a大小不確定．故A與B都不正確．對于選項C與D，令函數得，令得，所以在上單調遞減所以當時，，所以，所以在上單調遞減，又，所以，所以，即，故D正確．故選：D8.已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將已知轉化為，運用余弦定理與基本不等式得到AC的取值范圍，由此運用正弦定理得四邊形ABCD外接圓半徑的范圍，然后根據球的性質得球半徑的范圍，得解.【詳解】以四邊形ABCD的外接圓為底，PA為高，將四棱錐補形為一個已知球的內接圓柱.設內接圓柱的底面半徑為r、R外接球的半徑，,則，，故，，所以在中運用余弦定理與基本不等式得：，在中運用余弦定理與基本不等式得：，上兩式相加得：，故有：，在中由正弦定理得：，因此，.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列結論正確的是（）A.若隨機變量服從兩點分布，，則B.若隨機變量的方差，則C.若隨機變量服從二項分布，則D.若隨機變量服從正態(tài)分布，，則【答案】CD【解析】【分析】根據兩點分布、二項分布、正態(tài)分布以及方差的性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：若隨機變量服從兩點分布，，則，故A錯誤；對B：若隨機變量的方差，則，故錯誤；對C：若隨機變量服從二項分布，則，故正確；對D：若隨機變量服從正態(tài)分布，，則，故，故正確.故選：CD.10.已知正方體的邊長為2，為的中點，為側面上的動點，且滿足平面，則下列結論正確的是（）A. B.平面C.動點的軌跡長為 D.與所成角的余弦值為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，結合向量法判斷各選項.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設正方體棱長為，則，，，，，所以，，，由平面，得，即，化簡可得，所以動點在直線上，A選項：，，，所以與不垂直，所以A選項錯誤；B選項：，平面，平面，所以平面，B選項正確；C選項：動點在直線上，且為側面上的動點，則在線段上，，所以，C選項正確；D選項：，，D選項錯誤；故選：BC11.設拋物線的焦點為，為坐標原點，直線與C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點，則（）A. B.C.是鈍角 D.的面積小于的面積【答案】BCD【解析】【分析】聯(lián)立方程，根據韋達定理得到根與系數的關系，計算，A錯誤；計算圓方程為：，計算得到B正確；計算，得到C正確；，，D正確；得到答案.【詳解】直線過拋物線焦點，設，，則，，，，，A錯誤；中點坐標為，，，圓方程為：，取得到，，B正確；不妨取，，故，不共線，故是鈍角，C正確；，，，D正確；故選：BCD12.已知函數及其導函數的定義域均為R，對任意的，，恒有，則下列說法正確的有（）A. B.必為奇函數C. D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】賦值法求的值，判斷A；賦值法結合導數以及函數奇偶性的定義，判斷B；賦值法結合換元法判斷C;利用賦值法求得的值有周期性，即可求得的值，判斷D.【詳解】對于A，令，則由可得，故或，故A錯誤；對于B,當時，令，則，則，故，函數既是奇函數又是偶函數；當時，令，則，所以，為偶函數，則為奇函數；綜合以上可知必為奇函數，B正確；對于C，令，則，故。由于,令,即，即有，故C正確；對于D，若，令，則，則，故令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由此可得的值有周期性，且6個為一周期，且，故，故D正確，故選：BCD【點睛】本題考查了抽象函數的奇偶性和特殊值以及求函數值的和的問題，涉及到導數問題，綜合性強，對思維能力要求高，解答的關鍵是利用賦值法確定的周期性.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.今天是星期四，經過7天后還是星期四，那么經過天后是__________.【答案】星期五【解析】【分析】利用周期含義以及指數運算即可.【詳解】根據題意，周期為，，所以除以的余數為1，即經過天后，為星期五.故答案為：星期五14.單位圓中，為一條直徑，為圓上兩點且弦長為，則取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由題設，再根據數量積坐標運算計算即可.【詳解】解：如圖，由弦長為，可得，不妨設，則，所以.故答案為：.15.已知函數，則曲線經過點的切線方程是______．【答案】或.【解析】【分析】設切點，然后求導函數，進而得到該點處的切線方程，再代入點即可.【詳解】設切點為對求導得：，切線方程為：，切線過，解之：或1，所以斜率或，又過，代入點斜式得切線方程為：或，故答案為：或.16.設數列首項，前n項和為，且滿足，則滿足的所有n的和為__________.【答案】9【解析】【分析】根據求出數列的通項，再根據等比數列的前項和公式求出，從而可得出答案.【詳解】解：由，得，兩式相減得，則，當時，，所以，所以數列是以為首項為公比的等比數列，則，，故，由，得，所以，所以或5，即所有n的和為.故答案為：9.四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，只有答案沒有過程的不能得分.17.在△ABC中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tanB（1）若，求tanC的值：（2）已知中線AM交BC于M，角平分線AN交BC于N，且求△ABC的面積．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角關系式可得或sin，然后利用和角公式即得；（2）由題可得，利用角平分線定理及條件可得，進而可得，，即得.【小問1詳解】因為，所以，解得或sin,當時，，，所以，；當時，因為，所以，又，所以．【小問2詳解】∵，∴，，∴，即，∴，由角平分線定理可知，，又，所以，由，可得，∴，，所以．18.已知數列成等比數列，是其前項的和，若成等差數列.（1）證明：成等差數列；（2）比較與的大小；（3）若，為大于1的奇數，證明：【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據等差中項得，即可；（2）作差法比較即可；（3）利用等比數列求和公式可得，然后進行求和即可得到答案【小問1詳解】由題知，，所以，所以，所以公比，所以，所以，所以成等差數列.得證【小問2詳解】由（1）得，因為，所以，所以.【小問3詳解】由（1）和題意得，，所以，所以.得證19.2020年，新冠病毒席卷全球，給世界各國帶來了巨大的災難面對疫情，我們偉大的祖國以人民生命至上為最高政策出發(fā)點，統(tǒng)籌全國力量，上下一心，進行了一場艱苦的疫情狙擊戰(zhàn)，控制住了疫情的蔓延并迅速開展相關研究工作．某醫(yī)療科學小組為了了解患有重大基礎疾?。ㄈ?，糖尿病、高血壓…）是否與更容易感染新冠病毒有關，他們對疫情中心的人群進行了抽樣調查，對其中50人的血液樣本進行檢驗，數據如下表：感染新冠病毒未感染新冠病毒合計不患有重大基礎疾病15患有重大基礎疾病25合計30（1）請?zhí)顚懥新?lián)表，并判斷是否有99%的把握認為患有重大基礎疾病更容易感染新冠病毒；（2）在抽樣調查過程中，發(fā)現某樣本小組5人中有1人感染新冠病毒，需要通過化驗血液來確定感染者，血液化驗結果呈陽性即為感染者，呈陰性即未感染．下面是兩種化驗方法：方法一：逐一檢驗，直到檢出感染者為止；方法二：先取3人血液樣本，混合在一起檢驗，如呈陽性則逐一檢驗，直到檢出感染者為止；如呈陰性，則檢驗剩余2人中任意1人血液樣本．①求方法一的化驗次數大于方法二的化驗次數的概率；②用X表示方法二中化驗的次數，求X的數學期望．0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：，其中．【答案】（1）填表見解析；有；（2）①；②（次）．【解析】【分析】（1）根據題中數據，完成列聯(lián)表，計算，所以有99%的把握認為患重大基礎疾病更容易感染新冠病毒．（2）①記表示依方法一需化驗i次，表示依方法二需化驗j次，分別計算和，分析計算，即可得答案.②的可能取值為2，3，分別計算和，代入公式，即可求得期望.【詳解】解：（1）列聯(lián)表完成如下圖感染新冠病毒未感染新冠病毒合計不患有重大基礎疾病101525患有重大基礎疾病20525合計302050∴所以有99%的把握認為患重大基礎疾病更容易感染新冠病毒．（2）記表示依方法一需化驗i次，表示依方法二需化驗j次，A表示方法一化驗次數大于方法二的化驗次數，依題意知與相互獨立．①，，，，由于所以即②的可能取值為2，3．，所以（次）【點睛】獨立性檢驗一般步驟：（1）根據數據完成列聯(lián)表；（2）根據公式計算；（3）查表比較與臨界值的大小關系，作出判斷.20.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．①；②；③點P在平面ABCD的射影在直線AD上．如圖，平面五邊形PABCD中，是邊長為2的等邊三角形，，，，將沿AD翻折成四棱錐，E是棱PD上的動點（端點除外），F，M分別是AB，CE的中點，且______．（1）求證：平面PAD；（2）當EF與平面PAD所成角最大時，求平面ACE與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取CD中點為G，可得，，再由線面平行、面面平行的判定定理可得答案；（2）取AD為O，連接PO，FG，EG．選擇①：由得，再由線面垂直的判定定理可得平面PAD．則即為EF與平面PAD所成的角，由，當AE最小時，最大，E為PD的中點，AE最?。偾蠖娼怯嘞抑担阂渣cO為坐標原點，以OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；選擇②：連接OC，可得，由線面垂直的判定定理可得平面PAD，則即為EF與平面PAD所成的角．由，得AE最小時，最大，E為PD的中點，AE最?。偾蠖娼怯嘞抑狄渣cO為坐標原點，以OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；選擇③：P在平面ABCD的射影在直線AD上，得平面平面ABCD，由面面垂直的性質得平面PAD，即為EF與平面PAD所成的角，，當AE最小時，最大，即E為PD中點，AE最?。偾蠖娼怯嘞抑?，以點O為坐標原點，以OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】取CD中點為G，連接MG，FG，則MG，FG分別為三角形CDE，梯形ABCD的中位線，∴，，平面，平面，所以平面，同理，平面，∵，∴平面平面PAD，∵平面MGF，∴平面PAD.【小問2詳解】取AD為O，連接PO，FG，EG，選擇①：因為，，所以，即，又，，所以平面PAD，連接AE，EF，所以即為EF與平面PAD所成的角，因為，所以當AE最小時，最大，所以當，即E為PD的中點，AE最小，下面求二面角余弦值，∵平面ABCD，∴平面平面PAD，∵平面平面PAD，平面平面，∵，∴平面ABCD，以點O為坐標原點，以OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，，設平面CAE的法向量為，則，令，得，由題意可知：平面ABCD的法向量為，所以，所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為．選擇②：連接OC，則，，因為，，所以，又，，所以平面PAD，連接AE，EF，所以即為EF與平面PAD所成的角，因為，所以當AE最小時，最大，所以當，即E為PD的中點，AE最小，下面求二面角余弦值，∵平面ABCD，∴平面平面PAD，∵平面平面PAD，平面平面，∵，∴平面ABCD，以點O為坐標原點，以OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，于是，，，所以，，設平面CAE的法向量為，則，令，得，由題意可知：平面ABCD的法向量為，所以，所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為．選擇③：因為點P在平面ABCD的射影在直線AD上，所以平面平面ABCD，因為平面平面，平面PAD，，所以平面ABCD，所以．又，，所以平面PAD，連接AE，EF，所以即為EF與平面PAD所成的角，因為，所以當AE最小時，最大，所以當，即E為PD中點，AE最?。旅媲蠖娼怯嘞抑?，∵平面，∴平面平面PAD，∵平面平面PAD，平面平面，∵，∴平面ABCD，以點O為坐標原點，以OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，于是，，．所以，，設平面CAE的法向量為，則，令，得．由題意可知：平面ABCD的法向量為，所以，所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為．21.已知雙曲線：的焦距為