高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 每日一題規(guī)范練（第一周）理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

每日一題規(guī)范練(第一周)[題目1](本小題滿分12分)已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，其前n項和為Sn，且a2＋a4＝8，a3，a5，a8成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝eq\f(1,a2n－1·a2n＋1)＋n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)因為a2＋a4＝8，及等差數(shù)列性質(zhì)，所以a3＝4，即a1＋2d＝4.①因為a3，a5，a8為等比數(shù)列，則aeq\o\al(2,5)＝a3a8.所以(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化簡得a1＝2d.②聯(lián)立①和②得a1＝2，d＝1.所以an＝n＋1.(2)因為bn＝eq\f(1,a2n－1·a2n＋1)＋n＝eq\f(1,2n（2n＋2）)＋n＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＋n.所以Tn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋1))＋[eq\f(1,4)(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋2]＋[eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋3]＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＋n))＝eq\f(1,4)[(eq\f(1,1)－eq\f(1,2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))]＋(1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,1)－eq\f(1,n＋1))＋eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(n,4（n＋1）)＋eq\f(n（n＋1）,2).[題目2](本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sin(π－x)cos(π＋x)－eq\f(1,2).(1)求函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面積．解：(1)f(x)＝cos2x－eq\r(3)sinxcosx－eq\f(1,2)＝eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，又x∈[0，π]，所以函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).(2)由(1)知f(x)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，所以f(A)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝－1，因為△ABC為銳角三角形，所以0＜A＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,6)＜2A－eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，所以2A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即A＝eq\f(π,3).又bsinC＝asinA，所以bc＝a2＝4，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3).[題目3](本小題滿分12分)某校高三200名學(xué)生的期中考試語文成績服從正態(tài)分布N(70，7.52)．?dāng)?shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如下：(1)計算這次考試的數(shù)學(xué)平均分，并比較語文和數(shù)學(xué)哪科的平均分較高(假設(shè)數(shù)學(xué)成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的)；(2)如果成績大于85分的學(xué)生為優(yōu)秀，這200名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)大約各多少人？(3)如果語文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的共有4人，從(2)中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(附參考公式)若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.96.解：(1)數(shù)學(xué)成績的平均分為[0.012×45＋0.02×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95]×10＝65.9.根據(jù)語文成績的正態(tài)分布知語文平均分為70分，所以語文平均分高些．(2)語文成績優(yōu)秀的概率為p1＝P(X≥85)＝(1－0.96)×eq\f(1,2)＝0.02，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率為p2＝(0.006×eq\f(1,2)＋0.002)×10＝0.05，語文成績優(yōu)秀人數(shù)為200×0.02＝4人，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀人數(shù)為200×0.05＝10人．(3)語文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的共有4人，則單科優(yōu)秀的有6人，X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,30).X的分布列為X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).[題目4](本小題滿分12分)在斜三棱柱(側(cè)棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是邊長為2的正三角形，A1A＝A1C，(1)求證：A1C1⊥B1(2)求二面角B1-A1C-C1(1)證明：如圖1，取A1C1的中點D，連接B1D，CD圖1因為C1C＝A1A＝A所以CD⊥A1C1因為底面△ABC是邊長為2的正三角形，所以AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2所以B1D⊥A1C1又B1D∩CD＝D，CD?平面B1CD，B1D?平面B1CD，所以A1C1⊥平面B1CD所以A1C1⊥B1(2)解：法一如圖1，過點D作DE⊥A1C于點E，連接B1E因為側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，所以側(cè)面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，側(cè)面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1所以B1E⊥A1C所以∠B1ED為所求二面角的平面角，因為A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，所以B1D＝eq\r(3)，又ED＝eq\f(1,2)CC1＝eq\f(\r(2),2)，所以tan∠B1ED＝eq\f(B1D,ED)＝eq\f(\r(3),\f(\r(2),2))＝eq\r(6)，所以二面角B1-A1C-C1的正弦值為eq\f(\r(42),7).法二如圖，取AC的中點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，射線OB，OC，OA1分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，B(eq\r(3)，0，0)，A1(0，0，1)，B1(eq\r(3)，1，1)，C(0，1，0)所以eq\o(A1B1,\s\up14(→))＝(eq\r(3)，1，0)，eq\o(A1C,\s\up14(→))＝(0，1，－1)，設(shè)m＝(x，y，z)為平面A1B1C所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1B1,\s\up14(→))＝\r(3)x＋y＝0，,m·\o(A1C,\s\up14(→))＝y(tǒng)－z＝0，))令y＝eq\r(3)，得m＝(－1，eq\r(3)，eq\r(3))，又eq\o(OB,\s\up14(→))＝(eq\r(3)，0，0)，易證eq\o(OB,\s\up14(→))⊥平面A1CC1，可以作為平面A1CC1的一個法向量．所以cos〈m，eq\o(OB,\s\up14(→))〉＝eq\f(m·\o(OB,\s\up14(→)),|m||\o(OB,\s\up14(→))|)＝－eq\f(\r(7),7)，由圖易知所求二面角為銳角，所以二面角B1-A1C-C1的正弦值為eq\f(\r(42),7).[題目5](本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個動點，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)，y1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)，y2))，m·n＝0.(1)求證：k1·k2＝－eq\f(1,4)；(2)試探求△OPQ的面積S是否為定值，并說明理由．(1)證明：因為k1，k2存在，所以x1x2≠0，因為m·n＝0，所以eq\f(x1x2,4)＋y1y2＝0，所以k1·k2＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(1,4).(2)解：①當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2時，由eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(1,4)，得eq\f(xeq\o\al(2,1),4)－yeq\o\al(2,1)＝0，(*)又由P(x1，y1)在橢圓上，得eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋yeq\o\al(2,1)＝1，(**)由(*)、(**)聯(lián)立，得|x1|＝eq\r(2)，|y1|＝eq\f(\r(2),2).所以S△POQ＝eq\f(1,2)|x1|·|y1－y2|＝1.②當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b(b≠0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,\f(x2,4)＋y2＝1))得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)＞0，x1＋x2＝eq\f(－8kb,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(4b2－4,4k2＋1).因為eq\f(x1x2,4)＋y1y2＝0，所以eq\f(x1x2,4)＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，滿足Δ＞0.所以S△POQ＝eq\f(1,2)·eq\f(|b|,\r(1＋k2))·|PQ|＝eq\f(1,2)|b|eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2|b|·eq\f(\r(4k2＋1－b2),4k2＋1)＝2|b|·eq\f(\r(b2),2b2)＝1.綜上可知，△POQ的面積S為定值．[題目6](本小題滿分12分)已知函數(shù)g(x)＝ax－a－lnx，f(x)＝xg(x)，且g(x)≥0.(1)求實數(shù)a的值；(2)證明：存在x0，f′(x0)＝0且0＜x0＜1時，f(x)≤f(x0)．(1)解：g(x)的定義域為(0，＋∞)，且g′(x)＝a－eq\f(1,x)，x＞0.因為g(x)≥0，且g(1)＝0，故只需g′(1)＝0.又g′(1)＝a－1，則a－1＝0，所以a＝1.若a＝1，則g′(x)＝1－eq\f(1,x)，顯然當(dāng)0＜x＜1時，g′(x)＜0，此時g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1，g′(x)＞0，此時g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．所以x＝1是g(x)的唯一的極小值點，故g(x)≥g(1)＝0.綜上，所求a的值為1.(2)證明：由(1)知f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx.設(shè)h(x)＝2x－2－lnx，則h′(x)＝2－eq\f(1,x)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，h′(x)＜0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))時，h′(x)＞0，所以h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．又h(e－2)＞0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，h(1)＝0，所以h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))有唯一零點x0，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))有唯一零點1.當(dāng)x∈(0，x0)時，h(x)＞0；當(dāng)x∈(x0，1)時，h(x)＜0.因為f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值點．則x＝x0是f(x)在(1，1)的最大值點，所以f(x)≤f(x0)成立．[題目7]1.(本小題滿分10分)[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過點P(a，1)，其參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù)，a∈R)．以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|AB|＝8，求實數(shù)a的值．解：(1)因為曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，所以曲線C1的普通方程為x－y－a＋1＝0.因為曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，所以ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，所以x2＋4x－x2－y2＝0，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x.(2)設(shè)A，B兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝a＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2