中考初中數(shù)學(xué)：一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)必考知識點匯總

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中考數(shù)學(xué)：一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)必考知識點匯總

一次函數(shù)與反比例函數(shù)

考點一、平面直角坐標(biāo)系（3分）

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條”.相垂宜且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。

其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方

向；兩軸的交點0（即公共的原點）叫做直角坐標(biāo)系的原點;建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便「描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置,把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第

象限、第:象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屈「任何象限。

2、點的坐標(biāo)的概念

點的坐標(biāo)用（a,b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位

置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，“l(fā)axb時，（a,b）和（b,a）是兩個不同點的坐標(biāo)。

考點二、不同位置的點的坐標(biāo)的特征（3分）

1、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征

點P（x,y）在笫?象限ox>0,y>0

點P（x,y）在第二象限ox<0,y>0

點P（x,y）在第,:象限ox<0,y<0

點P（x.y）在第四象限ox>（）,y<0

2,坐標(biāo)軸上的點的特征

點P(x.y)在x軸上0y=0,x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上=x=0,y為任意實數(shù)

點P(x.y)既在x軸上，又在y軸上.Ox,y同時為零，即點P坐標(biāo)為(0,0)

3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上Ox與y相等

點P(x.y)在笫二四象限夾角平分線上Ox與y互為相反數(shù)

4、和坐標(biāo)軸平行的江線上點的坐標(biāo)的特征

位「平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。

5、關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點對稱的點的坐標(biāo)的特征

點P與點p'關(guān)于x軸對稱O橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

點P與點p'關(guān)于y軸對稱=縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互.為相反數(shù)

點P與點p'關(guān)于原點對稱=橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)

6、點到坐標(biāo)軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：

(I)點P(x,y)到x軸的距離等于M

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于W

(3)點P(x,y)到原點的距離等+

考點三、函數(shù)及其相關(guān)概念(3~8分)

1、變量與常量

在某?變化過程中，可以取不同數(shù)值的最叫做變量，數(shù)值保持不變的最叫做常最。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的位與它對

應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

2,函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式臼叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變帛:的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3,函數(shù)的二種表示法及其優(yōu)缺點

(1)解析法

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用?個含有這兩個變最及數(shù)字運算符號的等式表示，這種衣示法

叫做解析法。

(2)列表法

把白變貨x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成?個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列衣法。

(3)圖像法

用圖像我示函數(shù)美系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

(2)描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

考點四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)（3~10分）

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

?般地，如果y=H+h（k,1＞是常數(shù)，kXO）,那么y叫做x的?次函數(shù)。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b為0時，y=kx（k為常數(shù)，kHO）。這時，y叫做x的正比

例函數(shù)。

2,一次函數(shù)的圖像

所行一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、?次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的1：要特征：?次函數(shù)》=履+〃的圖像是經(jīng)過點（0,b）的直線；

正比例函數(shù)y=匕的圖像是經(jīng)過原點（0,0）的宜線。

k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特征

圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x

b>0一

的增大而增大。

k>0

A

圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x

b<0二

的增大而增大.

y

圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x

b>0

的增大而減小

K<0二

y圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x

b<()

的增大而減小。

----?

\

\

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)，，?般地，iE比例函數(shù)），=心?有下列性質(zhì):

（1）當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大：

（2）當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì),，般地，?次函數(shù)），=丘+〃有下列性質(zhì)：

（I）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大

（2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式），=h（kwO）中的常數(shù)h確定一個一次的

數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=H+8（kHO）中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。

考點五、反比例函數(shù)（370分）

I、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=&（k是常數(shù)，kKO）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y=H'

x

的形式.自變量X的取值范圍是x*0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù).

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它仃兩個分支，這兩個分支分別位「第一、”象限，或第二、四象限，

它們關(guān)于原點對稱。由丁反比例函數(shù)中自變量XX0,函數(shù)yWO,所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交

點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y

隨X的增大而減小。隨X的增大而增大。

4,反比例函數(shù)解析式的確定

確定及諛是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y=A中，只有?個待定系數(shù)，因此只需要

x

一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的位，從而確定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

如下圖，過反比例函數(shù)丫=與（《二0）圖像上任?點P作x軸、y軸的垂線PM,PN,則所得的矩形

X

k

PMON的面積S=PM.PN=|y|.W=\xy\<>,/y=xy=k、S=網(wǎng)。

二次函數(shù)

考點一、二次函數(shù)的概念和圖像（3~8分）

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果y=+加+<75,瓦。是常數(shù)，awO）,那么y叫做x的二次函數(shù)。

y=ax2+6x+c（a,b,c是常數(shù)，aH0）叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是?條關(guān)于x=-2對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

2a

拋物線的主要特征：

①有開口方向；②有對稱軸：③有頂點。

3、二次函數(shù)圖像的畫法

五點法：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸

(2)求拋物線+bx+<:與坐標(biāo)軸的交點：

當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A.B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱

點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像.

當(dāng)拋物線與x軸只有?個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D

三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B,然后順

次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。

考點二、二次函數(shù)的解析式(10~16分)

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：y=ad+6+。(。他。是常數(shù)，a*0)

(2)頂點式:y=a(x-/?)2+k(a,",k是常數(shù)，a*0)

(3)當(dāng)拋物線「=ad++c與X軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程ax2+bx+c=0有實根為和X,

存在時，根據(jù)：次三項式的分解閃式a1+bx+c=a(x-X1)(x-X2),:次函數(shù)y=ad+/>x+c可轉(zhuǎn)

化為兩根式y(tǒng)=“（x-』）（x-X2）。如果沒有交點，則不能這樣表示。

考點三、二次函數(shù)的最值（10分）如果自變量的取值范惘是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大

b4uc—b2

值（或最小值），即當(dāng)天=-2?時，）%值;由。

2a4a

如果自變量的取值范圍是占4x4*2,那么，首先要看一2是否在白變量取值范圍占4x4x,內(nèi)，

2a

若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=-2時，yhi.=；若不在此范困內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在$VxKx,范

2a4a

國內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x=w時，「最大=ax}4-bx2+c,zSx=xy

時，以小=ar；4-bxx+c；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)?shù)?為時，y般大=axf+bxx+c,

當(dāng)x=戈2時，y地小=^2+區(qū)+c"

考點四、二次函數(shù)的性質(zhì)（6~14分）1、二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)

函數(shù)

(1)拋物線開口向上,并向上無限延伸;(1)拋物線開口向下，并向下無限延伸；

(2)對稱軸是x=------9頂點坐標(biāo)是(-----1(2)對稱軸是x=------9頂點坐標(biāo)是(----，

2a2a2a2a

4ac-b2、4ac-b2、

性質(zhì)

4a4a

(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)xv-2時，yl?ix(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-2時，y隨

2a2a

的增大而減小：在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x的增大而增大:在對稱軸的右側(cè),即當(dāng)

x>-2時，y隨x的增大而增大，簡記左減x>-2時，y隨x的增大而減小，簡記左

2a2a

右增：增右減；

（4）拋物線行最低點，當(dāng)x=-2時，y有最?。?）拋物線行最高點，當(dāng)x=-2時，y有最

2a2a

...4ac-h2.4ac-b2

值'加小他一4“大值，y地大值一加

2、.次函數(shù)），=ad+bx+c（a,6,c是常數(shù)，。工0）中，。、b、c的含義：〃表示開口方向：a>0

時，拋物線開口向上…。<0時，拋物線開口向卜.

b與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=-2

2a

c表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：（0,c）

3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。

因此?元二次方程中的欠=b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.

當(dāng)A>0時，圖像與x軸有兩個交點：

當(dāng)A=O時，圖像與x軸有一個交點：

當(dāng)A4）時，圖像與x軸沒有交點。

補(bǔ)充：

1、兩點間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）

如圖：點A坐標(biāo)為（X）,yi）點B坐標(biāo)為（X2，y2）

則AB間的距離，即線段AB的長度為-XzF+（＞-,-y,）2

2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中,只占3分,但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以

大大節(jié)省做題的時間）

3、直線斜率:b為出線在y軸上的截距

k=tanc=—------

與一再

4、直線方程：一般兩點斜截距

1,一般一般宜線方程ax+by+c=O

2,兩點由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式:

一最最常用，記牢

(x-X))

3,點斜知道一點與斜率y-切=k（*-再）

4,斜截斜截式方程，簡稱斜棧式：y=h+60l#O）

5,截距由直線在x軸和F軸上的截距確定的直線的截距

式方程，簡稱截距式：-+^=1

ah

記牢可大幅提高運算速度

5、設(shè)兩條直線分別為，/1：y=+/>,/,：y=k2x+b2

若乙〃乙，則有4〃/?=h=k?且仇hb2o

6、點P（M）,yo）到直線y=kx+b（即：kxy+b=O）的距離：d=-,'=

k+（-1尸

對于點P（.s，兆）到直線滴般式方程ax+by+c=O滴距.離有

lar4,Av4.A常用記牢

初中數(shù)學(xué)助記口訣(函數(shù)部分)

特殊點坐標(biāo)特征:坐標(biāo)平面點(x,y),橫在前來縱在后;(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四個象限分前后;

X軸上y為0,x為0在Y軸。

對稱點坐標(biāo):對稱點坐標(biāo)要記牢,相反數(shù)位置莫混淆，X軸對稱y相反,Y軸對稱,x前面添負(fù)號：原點

對稱最好記,橫縱坐標(biāo)變符號。

自變量的取值范闈：分式分母不為零，偶次根卜,負(fù)不行；零次墓底數(shù)不為零，整式、奇次根全能行。

函數(shù)圖像的移動規(guī)律:若把一次函數(shù)解析式寫成y=k(x+0)+b、二次函數(shù)的解析式寫成y=a(x+h)

2+k的形式，則用下面后的口訣“同左上加.異右卜減”。

一次函數(shù)圖像號性質(zhì)口訣:詼函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過任象限；正比例函數(shù)更簡單，經(jīng)過原點一直線：

兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來布I:斜,x增減y增減；k為

負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反：k的絕對值越大,線陽橫軸就越遠(yuǎn)。

二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點，它們確定圖象現(xiàn);

開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考

線，左同行異中為0,牢記心中莫混亂：頂點坐標(biāo)最重要，一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸，縱標(biāo)函數(shù)

最值見。若求對稱軸位置，符號反,一般、頂點、交點式，不同表達(dá)能互換。

反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:反比例函數(shù)有特點，雙曲線相背離的遠(yuǎn);k為正，圖在一、三(象)限,k為

負(fù)，圖在：、四(象)限;圖在一、三函數(shù)減，兩個分支分別減。圖在二四正相反，兩個分支分別添;線越長

越近軸,永遠(yuǎn)與軸不沾邊。

正比例函數(shù)是直線，圖象一定過閱點，k的正負(fù)是關(guān)鍵，決定宜線的象限，負(fù)k經(jīng)過二四限，x增大

y在減，上卜,平移k不變，由引得到一次線，向上加b向卜,減，圖象經(jīng)過三個限，兩點決定一條線，選定

系數(shù)是關(guān)鍵。

反比例函數(shù)雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面枳

都不變，時稱軸是角分線x、y的順序可交換。

二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a的正負(fù)開口判，c的大小y軸看，△的符號最簡便，x軸上數(shù)

交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，?:種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。

一元一次不等式解題的一般步驟:

去分母、去括號，移項時候要變號：

同類項、合并好，再把系數(shù)來除掉；

兩邊除(以)負(fù)數(shù)時，不等號改向別忘了。

2.特殊點坐標(biāo)特征：

坐標(biāo)平面點(x,y),橫在前來縱在后；

(+,+),(-,+),(-「)和(+,-),四個象限分前后:

X軸上y為0,x為0在Y軸。

3.平行某軸的直線：

平行某軸的直線，點的坐標(biāo)有講究，

H線平行X軸,縱坐標(biāo)相等橫不同：

直線平行于Y軸，點的橫坐標(biāo)仍照I口。

4.對稱點坐標(biāo)：

對稱點坐標(biāo)要記牢，相反數(shù)位置莫混淆，

X軸對稱y相反，Y軸對稱,x前面添負(fù)號：

原點對稱最好記,橫縱坐標(biāo)變符號。

5.自變量的取值范圍：

分式分母不為零，偶次根卜.負(fù)不行；

零次轅底數(shù)不為零，整式、奇次根全能行。

6.函數(shù)圖像的移動規(guī)律：

若把一次函數(shù)解析式寫成y=k(x+0)+b.

二次函數(shù)的解析式寫成y=a(x+h)2+k的形式，

則用下面后的口訣：

“左右平移在括號，上下平移在末稍，

左正右負(fù)須牢記，卜.正下負(fù)錯不了”.

7.一次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：

一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過任象限：

正比例函數(shù)更簡單，經(jīng)過原點-宜線；

兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，

k是斜率定夾角,b與Y軸來相見，

k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反;

k的絕對值越大,線商橫軸就越遠(yuǎn)。

8.二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：

二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵：

開口、頂點和交點，它們確定圖象限：

開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參看

線，左同右異中為0,牢記心中莫混亂；頂點坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸，縱標(biāo)函數(shù)

最值見。若求對稱軸位置，符號反，一般、頂點、交點式，不同表達(dá)能互換。

9.反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣：

反比例函數(shù)有特點,雙曲線相背離的遠(yuǎn)；

k為正,圖在一、三（象）限；k為負(fù)，圖在二、四（象）限；

圖在一、三函數(shù)減，兩個分支分別減：圖在二、四正相反，兩個分支分別添;線越長越近軸，永遠(yuǎn)與軸不沾

邊。

「j習(xí)”；「正比例函數(shù)是直線,圖象一定過原點，k的正負(fù)是關(guān)鍵，決定宜線的象限.負(fù)k經(jīng)過

四限，X增大y在減，上下平移k不變，由引得到次線，向上加b向下減，圖象經(jīng)過三個限，兩點決定

?條線，選定系數(shù)是關(guān)鍵；

反比例函數(shù)雙曲線，待定只需個點，正k落在;限，x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面積都不

變，對稱軸是角分線x、y的順序可交換；

:次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a的正負(fù)開口判，c的大小y軸看，△的符號最簡便，x軸上數(shù)交點,

a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵.

10.求定義域:

求定義域有講究,四項原則須留意

負(fù)數(shù)不能開平方.，分母為零無意義。

指是分?jǐn)?shù)底正數(shù)，數(shù)零沒有零次曷。

限制條件不唯一，滿足多個不等式。

求定義域要過關(guān)，四項原則須注意。

負(fù)數(shù)不能開平方.，分母為零無意義。

分?jǐn)?shù)指數(shù)底正數(shù)，數(shù)零沒有零次扉。

限制條件不唯一，不等式組求解集。

11.解一元一次不等式：

先去分母再括號，移項合并同類項。

系數(shù)化“1”有講究，同乘除負(fù)要變向。

先去分母再括號，移項別忘要變號。

同類各項去合并，系數(shù)化“1”注意了。

同乘除正無防礙，同乘除負(fù)也變號。

12.解一元一次不等式組:

大于頭來小于尾,大小不一中間找.

大大小小沒有解，四種情況全來了。

同向取兩邊，異向取中間。

中間無元索，無解便出現(xiàn)。

幼兒園小鬼當(dāng)家,（同小相對取較?。?/p>

敬老院以老為榮,（同大就要取較大）

軍營里沒老沒少。（大小小大就是它）

大大小小解集空。（小小大大哪有哇）

13.解一元二次不等式:

首先化成一般式，構(gòu)造函數(shù)第二站。

判別式但若非負(fù).曲線橫軸有交點.

a正開口它向上，大于零則取兩邊。

代數(shù)式若小「零，解集交點數(shù)之間。

方程若無實數(shù)根，口上大零解為全。

小于零將沒有解,開口向下正相反。

13.1用公式法解一元二次方程

要用公式解方程，首先化成?股式。

調(diào)整系數(shù)隨其后，使其成為最簡比。

確定參數(shù)abc,計算方程判別式。

判別式值與零比，有無實根便得知。

有實根可套公式，沒有實根要告之。

14.用常規(guī)配方法解一元二次方程：

左未右己先分離，二系化“1”是其次。

?系折半百平方，兩邊同加沒問題。

左邊分解右合并，I1［接開方去解題。

該種解法叫配方，解方程時多練習(xí)。

15.用間接配方法解一元二次方程:

已知未知先分離，因式分解是其次。

調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式。

完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢

【注】恒等式

16.解一元二次方程：

方程沒仃詼項，直接開方最理想。

如果缺少常數(shù)項，因式分解沒商量。

b、c相等都為零，等根是零不要忘。

b、c同時不為零，因式分解或配方,

也可直接套公式，因題而異擇R方。

17.正比例函數(shù)的鑒別：

判斷正比例函數(shù)，檢驗,4分兩步走。

一量表示另一量,有沒有。

若有再去看取值,全體實數(shù)都需要。

區(qū)分正比例函數(shù),衡鼠可分兩步走。

一量表示另一量,是與否。

若有還要看取值,全體實數(shù)都要有.

18.正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

正比函數(shù)圖直線，經(jīng)過和原點。

K正一三負(fù)二四，變化趨勢記心間.

K正左低右邊高，同大同小向爬山。

K負(fù)左高右邊低,一大另小下山巒。

19.一次函數(shù)：

一次函數(shù)圖直線，經(jīng)過點。

K正左低右邊高，越走越高向爬山。

K負(fù)左高右邊低，越來越低很明顯。

K稱斜率b截距，截距為零變正函.

2().反比例函數(shù):

反比函數(shù)雙曲線，經(jīng)過點。

K正?三負(fù).四，兩軸是它漸近線.

K正左高右邊低，一三象限滑下山。

K負(fù)左低右邊高，二四象限如爬山。

21.二次函數(shù)：

二次方程零換y,二次函數(shù)便出現(xiàn)。

全體實數(shù)定義域，圖像叫做拋物線。

拋物線有對稱軸，兩邊單調(diào)正相反。

A定開口及大小，線軸交點叫頂點。

頂點非高即最低。上低下高很顯眼。

如果要畫拋物線，平:移也可去描點，

提取配方定頂點，兩條途徑再挑選。

列表描點后連線，平移規(guī)律記心問。

左加右減括號內(nèi)，號外上加下要減。

二次方程零換y,就得到二次函數(shù)。

圖像叫做拋物線，定義城全體實數(shù)。

A定開口及大小,開口向上是正數(shù)。

絕對值大開口小，開口向下A負(fù)數(shù)。

拋物線有時稱軸，增減特性可看圖。

線軸交點叫頂點，頂點縱標(biāo)最值出.

如果要畫拋物線，描點平移兩條路“

提取配方定頂點，平移描點皆成圖。

列表描點后連線，三點大致定全圖。

若要平移也不難，先畫基礎(chǔ)拋物線,

頂點移到新位置，開口大小隨基礎(chǔ)。

【注】底礎(chǔ)拋物線

22.列方程解應(yīng)用題:

列方程解應(yīng)用題，審設(shè)列解雙檢答。

審題弄清已未知，設(shè)元直間兩辦法。

列表畫圖造方程，解方程時守章法。

檢驗準(zhǔn)且合題意，問求同一才作答。

23.兩點間距離公式：

同軸兩點求距離，大減小數(shù)就為之-

與軸等距兩個點，間距求法亦如此。

平面任意兩個點，橫縱標(biāo)差先求值。

差方相加開平方，距離公式要牢記.

二次函數(shù)知識點：1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=a1+bx+c（"，小是常數(shù)，?*0）

的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)而從「可以

為零.：次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).

2.二次函數(shù)）'=辦'+區(qū)+'的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

⑵八八c是常數(shù)，”是：次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：y=ax-的性質(zhì):

結(jié)論：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

總結(jié)：

。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

a>0向上(0,0)，‘軸x>。時，，隨x的增大而增大：*<°時，y隨

X的增大而減??；*二°時，,有最小值°.

x>°時，，'隨X的增大而減小；x<°時，y隨

a<0向下(0,0)y軸

X的增大而增大；x=°時，》有最大值0.

y=ax2+C的性質(zhì):

結(jié)論：上加下減。同左上加，異右下減

總結(jié)：

”的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

x>0時，y隨入?的增大而增大：文<0時，y隨

a>()向上(0.<-)丫軸

.r的增大而減小；X=0時，y有最小值c.

x>0時，y隨工的增大而減小：x<0時，y隨

a<0向下(0,C)),軸

x的增大而增大；工=0時，>有最大值c.

3.y=-4)的性質(zhì):

結(jié)論：左加右減。同左上加，異右下減

總結(jié)：

”的符號I開口方向I頂點坐標(biāo)對稱軸

人時，y隨.v的增大而增大；力時，y隨

?>0向上（人，0）X=h

工的增大而減??；*時，y有最小值0.

x>hIbt，y隨x的增大而減小：x<力時，y隨

。<0向下(%，0)X=h

x的增大而增大；*=力時，），有最大值0.

4.)■=a(jc-/?)-+?的性質(zhì):

總結(jié):

。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

時，y隨x的增大而增大;時，y隨

a>0向上(/I,k)X=h

工的增大而減?。簒=時，y彳j最小值%.

x>hIbf,y隨x的增大而減小;xv）時，y隨

。<0向下(4,k)X=h

x的增大而增大：x=/?時，y有最大值火.

二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟:

⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)="x-A『+*,確定其頂點坐標(biāo)（八，k）；

⑵保持拋物線y=aY的形狀不變，將其頂點平移到（九*）處，具體平移方法如下:

向上（QS［或向下心＜0）】平移*1個單位

Iy=ar2y=ax^-￥k

向右他＞0）［或左SvO）】

向右〃＞0）［或左（/，＜（））］

向右偽＞0）【或左（k0）】平移陽個的位

平移陽個單位平移陽個單位

向I：伏＞0）1或下伏＜0）

平移由個單位

［「

向上心＞0）【或卜一（“＜0〃平移內(nèi)個單位~X-DE

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“人值正右移，負(fù)左移：4位正上移，負(fù)卜移

概括成八個字“同左上加，異右下減”.

三、二次函數(shù)y=a（x-〃y+k與y=ax:+Qx+c的比較

請將y=2/+4x+5利用配方的形式配成頂點式。請將y=a./+bx+<?配成y=a（x-h）2+ko

總結(jié)：

從解析式上看，'"（xif+A與y="+bx+c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前

（bV4ac-b2甘+,b,4ac-b2

者，即HnV=〃|1H---4---------*其中4=----,k=------.

2a）4a2a4a

四、二次函數(shù)丫="./+〃*+?圖象的1SJ法

五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù).Y="+bx+c化為頂點式y(tǒng)=a（x-4+*,確定其開口方向、

對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點I畫圖.般我們選取的五點為：頂點、與‘軸

的交點（0,。、以及（0,c）關(guān)于對稱軸時稱的點（24，c）、與x軸的交點（為，0）,（三，0）（若與x軸

沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.

畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與），軸的交點.

五、二次函數(shù)乃"2+公+’的性質(zhì)

L當(dāng)”>。時，拋物線開口向上，對稱軸為…受頂點坐標(biāo)為卜—若產(chǎn)

'1-1x<%時，y隨x的增大而減小：當(dāng)工〉一■時，Y隨工的增大而增大：當(dāng)x=-■生時，y仃最

2a2a2a

,x4ac-b2

小值一-——.

4a

2.當(dāng)“<0時，拋物線開口向下，對稱軸為工=-2，頂點坐標(biāo)為婦女］.當(dāng)x一2時，y

2a12a4a)2a

隨X的增大而增大；當(dāng)X>-g時，V隨X的增大而減??；當(dāng)X=-3時，y有最大值處心.

2a2a4a

六、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：>>=ax:+bx+c(a,h.c為常數(shù)，?*0)；

2.頂點式：y=a(x-h)1+k(a,h,K為常數(shù)，?*0)；

3.兩根式：y=a(x-xJ(x-X2)(a#0,為，與是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)).

注意：任何二次函數(shù)的解析式就可以化成?般式最頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，

只有拋物線與x軸行交點，即"-4“c20時，拋物線的解析式才可以用交點式表示..次函數(shù)解析

式的這三種形式可以互化.

七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項系數(shù)”

二次函數(shù)丫=。/+云+，中，a作為二次項系數(shù)，顯然awO.

(1)當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，”的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大：

(2)當(dāng)。<0時，拋物線開口向卜.，"的值越小，開口越小，反之”的值越大，開口越大.

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，”的正負(fù)決定開口方向，同的大小決定開口的大小.

2.一次項系數(shù)b

在：次項系數(shù)〃確定的前提下，〃決定了拋物線的對稱軸.

（1）在a>0的前提下，

當(dāng)b>0時，-2<0,即拋物線的對稱軸在\，軸左側(cè)；ab同號同左上加

2a

當(dāng)6=0時，-5=0,即拋物線的對稱軸就是￥軸：

當(dāng)占<0時，_A>o,即拋物線對稱軸在），軸的右側(cè).a.b*；異右卜,減

2a

（2）在“<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

當(dāng)/,>（）時，咚>0,即拋物線的對,稱軸在y軸右側(cè)；a.b#'，；異右卜.減

±

當(dāng)/>=0時,=0,即拋物線的對稱軸就是），軸：

2±?

當(dāng)/><0時,2?<0，即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè).ab同號同左上加

總結(jié)起來，在“確定的前提卜.，/，決定了拋物線對稱軸的位置.

總結(jié)：同左上加異右下減

3.常數(shù)項c

⑴當(dāng)c>0時，拋物線與），軸的交點在x軸上方，即拋物線與），軸交點的縱坐標(biāo)為正;

（2）當(dāng)c=0時，拋物線與.y軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為0；

（3）當(dāng)c<0時，拋物線與y軸的交點在K軸下方，即拋物線與，軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù).

總結(jié)起來，c決定「拋物線與y軸交點的位置.

總之