江蘇省常州中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

江蘇省常州中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，若圖中的陰影部分為空集，則構(gòu)成的集合為（）A． B．C． D．2．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．在區(qū)域內(nèi)任意取一點，則的概率是（）A．0 B． C． D．4．某三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高為6，則該三棱柱的體積為A． B． C． D．5．小明、小紅、小單三戶人家，每戶3人，共9個人相約去影院看《老師好》，9個人的座位在同一排且連在一起，若每戶人家坐在一起，則不同的坐法總數(shù)為（）A． B． C． D．6．已知變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．7 B．8 C．9 D．107．若均為第二象限角，滿足，，則（）A． B． C． D．8．我國南北朝時期數(shù)學(xué)家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“緣冪勢既同，則積不容異也”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩幾何體體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與右側(cè)三視圖所對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢既同”，其中俯視圖中的圓弧為圓周，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．8張卡片上分別寫有數(shù)字，從中隨機取出2張，記事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和小于9”，則（）A． B． C． D．10．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（）A． B． C． D．12．已知，則（）A．16 B．17 C．32 D．33二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在P（1，1）處的切線方程為_____．14．已知，則_______.15．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，則的共軛復(fù)數(shù)________．16．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別是，的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于________________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若時，，求的取值范圍．18．（12分）已知的展開式前三項中的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求的值和展開式系數(shù)的和；（2）求展開式中所有的有理項．19．（12分）已知過拋物線y2=2pxp>0的焦點，斜率為22的直線交拋物線于（1）求拋物線的方程;（2）O為坐標(biāo)原點，C為拋物線上一點，若OC=OA+λ20．（12分）已知，函數(shù).（1）若，求的值；（2）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間.21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)．若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）某學(xué)生對其親屬30人的飲食習(xí)慣進行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主．）（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列的列聯(lián)表；（2）能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)，并寫出簡要分析．主食蔬菜主食肉類合計50歲以下50歲以上合計參考公式：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先化簡集合，注意，由題意可知，，確定即可【題目詳解】或，圖中的陰影部分為空集，或，即或又，，故選D【題目點撥】考查維恩圖的識別、對數(shù)計算、列舉法及集合的關(guān)系2、B【解題分析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關(guān)系得到正弦值.【題目詳解】如圖所示：連接與交于點，連接，過點作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設(shè)正方體邊長為1在中故答案選B【題目點撥】本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.3、C【解題分析】

求得區(qū)域的面積，x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內(nèi)部的面積，由幾何概型的計算公式，可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區(qū)域為以正方形OABC的內(nèi)部及邊界，其面積為1；x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，在正方形OABC的內(nèi)部的面積為，由幾何概型的計算公式，可得點P（x，y）滿足x2+y2＜1的概率是；故選C．【題目點撥】本題考查幾何概型的計算，解題的關(guān)鍵是將不等式（組）轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的圖形的面積，進而由其公式計算．4、C【解題分析】

計算結(jié)果.【題目詳解】因為底面是邊長為2的正三角形，所以底面的面積為，則該三棱柱的體積為．【題目點撥】本題考查了棱柱的體積公式，屬于簡單題型.5、C【解題分析】

分兩步，第一步，將每一個家庭的內(nèi)部成員進行全排列；第二步，將這三個家庭進行排列【題目詳解】先將每一個家庭的內(nèi)部成員進行全排列，有種可能然后將這三個家庭（家庭當(dāng)成一個整體）進行排列，有種可能所以共有種情況故選：C【題目點撥】本題考查的是排列問題，相鄰問題常用捆綁法解決.6、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可得答案．【題目詳解】作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時，有最大值為9，故選．【題目點撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法。7、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα和sinβ的值，兩角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【題目詳解】解：∵sinα，cosβ，α、β均為第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ?（），故答案為B【題目點撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱錐與圓錐體的所得組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算該組合體的體積即可．【題目詳解】解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱錐與圓錐體的組合體，如圖所示；則該組合體的體積為；所以對應(yīng)不規(guī)則幾何體的體積為．故選B．【題目點撥】本題考查了簡單組合體的體積計算問題，也考查了三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體直觀圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

利用古典概型的概率公式計算出和，再利用條件概率公式可得出答案?！绢}目詳解】事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為小于的偶數(shù)”，以為一個基本事件，則事件包含的基本事件有：、、、、、，共個，由古典概型的概率公式可得，事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則所取的兩個數(shù)全是奇數(shù)或全是偶數(shù)，由古典概型的概率公式可得，因此，，故選：C?！绢}目點撥】本題考查條件概率的計算，數(shù)量利用條件概率公式，是解本題的關(guān)鍵，同時也考查了古典概型的概率公式，考查運算求解能力，屬于中等題。10、D【解題分析】

由正弦函數(shù)的周期變換以及平移變換即可得出正確答案.【題目詳解】函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再將所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到故選：D【題目點撥】本題主要考查了正弦函數(shù)的周期變換以及平移變換，屬于中檔題.11、A【解題分析】由正態(tài)分布的特征得＝，選A.12、B【解題分析】

令，求出系數(shù)和，再令，可求得奇數(shù)項的系數(shù)和，令，求出即可求解.【題目詳解】令，得，令，得，所以，令，得，所以，故選：B【題目點撥】本題主要考查了賦值法求多項式展開式的系數(shù)和，考查了學(xué)生的靈活解題的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因為曲線y=x3，則，故在點（1，1）切線方程的斜率為3，利用點斜式方程可知切線方程為14、【解題分析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出，進而求出答案?！绢}目詳解】由題可得，令，則，解得，所以，則【題目點撥】本題考查導(dǎo)函數(shù)，解題的關(guān)鍵是先求出，屬于一般題。15、【解題分析】

把復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)代入直線上，由此得到復(fù)數(shù)，即可求出答案【題目詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，代入直線，可得，解得：，故復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；故答案為【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)以及與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。16、.【解題分析】以AD,DC,DD1建立空間直角坐標(biāo)系，則：得直線和所成角的余弦值等于三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），（Ⅱ）的取值范圍是．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）設(shè)，則，故只需證即可．由題意得，即，又由，得，，分，，三種情況分別討論判斷是否恒成立即可得到結(jié)論．試題解析：（I）∵，∴，，由題意得，，解得，．∴，．（II）由（I）知，，設(shè)，則，由題設(shè)可得，即，令，得，．（i）若，則，從而當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在的最小值為，而，故當(dāng)時，，即恒成立．（ii）若，則，從而當(dāng)時，，即在單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時，，即恒成立．（iii）若，，則在上單調(diào)遞增，而，從而當(dāng)時，不可能恒成立，綜上可得的取值范圍是．18、（1）；（2），，.【解題分析】

（1）展開式的通項公式為，則前3項的系數(shù)分別為1，，，成等差，即可列式求解．（2）由（1）知，則，對r賦值，即可求出所有的有理項．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，（）n的展開式的通項為Tr+1＝?nr（）n﹣r（）r，其系數(shù)為?nr，則前3項的系數(shù)分別為1，，，成等差，∴，解可得：或，又由，則，在中，令可得：．（2）由（1）的結(jié)論，，則的展開式的通項為，當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，當(dāng)時，有；則展開式中所有的有理項為.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，熟練掌握展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．19、（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.【解題分析】

試題分析：第一問求拋物線的焦點弦長問題可直接利用焦半徑公式，先寫出直線的方程，再與拋物線的方程聯(lián)立方程組，設(shè)而不求，利用根與系數(shù)關(guān)系得出x1+x2，然后利用焦半徑公式得出焦點弦長公式AB=x1+試題解析：(1)直線AB的方程是y＝22（x-p2），與y2＝2px聯(lián)立，消去y得8x2－10px＋2p由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝54p.由拋物線定義得|AB|＝54(2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，從而A(1，－22)，B(4，42)．設(shè)OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.【題目點撥】求弦長問題，一般采用設(shè)而不求聯(lián)立方程組，借助根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長公式去求；但是遇到拋物線的焦點弦長問題時，可直接利用焦半徑公式，使用焦點弦長公式AB=x1+x2+p，求出弦長.遇到與向量有關(guān)的問題，一般采用坐標(biāo)法去解決，根據(jù)聯(lián)立方程組解出的20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由得，解出即可（2）用三角函數(shù)的和差公式和二倍角公式將化為，然后求出即可【題目詳解】（1）又，.（2），，，的單調(diào)遞增區(qū)間為【題目點撥】解決三角函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題時應(yīng)先將函數(shù)化為基本型.21、(1)極小值為，沒有極大值．(2)【解題分析】

（1）根據(jù)題意，先對函數(shù)進行求導(dǎo)，解出的根，討論方程的解的左右兩側(cè)的符號，確定極值點，從而求解出結(jié)果。（2）根據(jù)題意，將其轉(zhuǎn)化為在上至少有兩個不同的正根，再利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍。【題目詳解】解：（1）定義域為，，時，，時，，∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴的極小值為，沒有極大值．（2），則，令，則．當(dāng)時，，（即）為增函數(shù)，又，所以在區(qū)間上遞增．因為在上的值域是，所以，，，則在上至少有兩個不同的正根．，令，求導(dǎo)得．令，則，所以在上遞增，，，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴