2024屆浙江省杭州市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2024屆浙江省杭州市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A．4 B．5 C．6 D．72．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．， C． D．，3．如圖，陰影部分的面積是（）A． B． C． D．4．“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知A（2，0），B（0，1）是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與直線AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若，則斜率k的值為（）A． B． C．或 D．或6．若離散型隨機(jī)變量的分布如下：則的方差（）010.6A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．17．如果函數(shù)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知等比數(shù)列中,，則等于（）A．9 B．5 C． D．無(wú)法確定9．已知四個(gè)命題：①如果向量與共線，則或；②是的充分不必要條件；③命題：，的否定是：，；④“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”此三段論大前提錯(cuò)誤，但推理形式是正確的.以上命題正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知函數(shù)，若且對(duì)任意的恒成立，則的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知函數(shù)為內(nèi)的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，記，則間的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．12．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線為曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)的值是______．14．已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15．設(shè)為虛數(shù)單位，若，則________．16．從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人，組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有__________種不同的選法．（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）函數(shù)，，實(shí)數(shù)為常數(shù).（I）求的最大值；（II）討論方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).18．（12分）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)(1)求(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)1求出的線性同歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?(附:,,,,其中,為樣本平均值)19．（12分）“DD共享單車”是為城市人群提供便捷經(jīng)濟(jì)、綠色低碳的環(huán)保出行方式，根據(jù)目前在三明市的投放量與使用的情況，有人作了抽樣調(diào)查，抽取年齡在二十至五十歲的不同性別的騎行者，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：男性女性合計(jì)20～35歲4010036～50歲4090合計(jì)10090190(1)求統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表中的值；(2)假設(shè)用抽到的100名20～35歲年齡的騎行者作為樣本估計(jì)全市的該年齡段男女使用“DD共享單車”情況，現(xiàn)從全市的該年齡段騎行者中隨機(jī)抽取3人，求恰有一名女性的概率；(3)根據(jù)以上列聯(lián)表，判斷使用“DD共享單車”的人群中，能否有的把握認(rèn)為“性別”與“年齡”有關(guān)，并說(shuō)明理由.參考數(shù)表：參考公式：，.20．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程點(diǎn)是曲線：上的動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，以極點(diǎn)為中心，將點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程；（2）射線，（）與曲線，分別交于兩點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)，求的面積.21．（12分）實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是：（1）實(shí)數(shù)；（2）純虛數(shù)；（3）表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限.22．（10分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)是，令得的系數(shù)是，因?yàn)榈南禂?shù)為，所以，即，解得：或，因?yàn)?，所以，故選C．【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理．2、D【解題分析】分析：結(jié)合函數(shù)的圖象求出成立的的取值范圍，即可得到結(jié)論．詳解：結(jié)合函數(shù)的圖象可知：和時(shí)，，又由，則，令，解得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解單調(diào)區(qū)間，其中結(jié)合圖象，得到，進(jìn)而得到的解集是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力．3、C【解題分析】

運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以求出陰影部分的面積.【題目詳解】設(shè)陰影部分的面積為，則.選C【題目點(diǎn)撥】考查了定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、A【解題分析】

若方程表示雙曲線，則有，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷.【題目詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線等價(jià)于，所以“”，是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查充分條件與必要條件以及雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

依題可得橢圓的方程，設(shè)直線AB，EF的方程分別為，，，且滿足方程，進(jìn)而求得的表達(dá)式，根據(jù)，求得的表達(dá)式，由D在AB上知，進(jìn)而求得的另一個(gè)表達(dá)式，兩個(gè)表達(dá)式相等即可求得k．【題目詳解】依題設(shè)得橢圓的方程為，直線AB，EF的方程分別為，．設(shè)，其中，且滿足方程，故，由，知，得，由D在AB上知，得．所以，化簡(jiǎn)得，解得或．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線和橢圓聯(lián)立，求交點(diǎn)，以及向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．6、C【解題分析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，進(jìn)而使用期望公式先求出數(shù)學(xué)期望，再代入方差公式求出方差．詳解：由題意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，所以E（x）=0×0.4+1×0.6=0.6，所以D（x）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1．故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，熟記期望、方差的公式是解題的關(guān)鍵．7、A【解題分析】

由零點(diǎn)存在性定理得出“若，則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”舉反例即可得出正確答案.【題目詳解】由零點(diǎn)存在性定理可知，若，則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)而若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則不一定成立，比如在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分而不必要條件故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了充分不必要條件的判斷，屬于中檔題.8、A【解題分析】

根據(jù)等比中項(xiàng)定義，即可求得的值?！绢}目詳解】等比數(shù)列，由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)定義可知而所以所以選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比中項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。9、B【解題分析】

由向量共線定理可判斷①；由充分必要條件的定義可判斷②；由特稱命題的否定為全稱命題，可判斷③；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷④．【題目詳解】①，如果向量與共線，可得xy，不一定或，故①錯(cuò)誤；②，|x|≤3?﹣3≤x≤3，x≤3不能推得|x|≤3，但|x|≤3能推得x≤3，x≤3是|x|≤3的必要不充分條件，故②錯(cuò)誤；③，命題p：?x0∈（0，2），的否定是￢p：?x∈（0，2），x2﹣2x﹣3≥0，故③錯(cuò)誤；④，“指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”由于a＞1時(shí)，y＝ax為增函數(shù)，0＜a＜1時(shí)，y＝ax為減函數(shù)，此三段論大前提錯(cuò)誤，但推理形式是正確的，故④正確．其中正確個(gè)數(shù)為1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷，主要是向量共線定理和充分必要條件的判斷、命題的否定和三段論，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】分析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，求正整數(shù)的值．設(shè)函數(shù)，求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)位于內(nèi)，且知此零點(diǎn)為函數(shù)的最小值點(diǎn)，經(jīng)求解知，從而得到0，則正整數(shù)的最大值可求．．詳解：因?yàn)?，所以?duì)任意恒成立，

即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立．

令，則令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

因?yàn)?/p>

所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．

當(dāng)時(shí)，，

即，當(dāng)時(shí)，，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增．

所以所以

因?yàn)椋?/p>

故整數(shù)的最大值是3，

故選：B．點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是，如何求解函數(shù)的最小值，屬難題．11、D【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)解得，設(shè)，求導(dǎo)計(jì)算單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)性質(zhì)判斷大小得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，令.則為內(nèi)的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減又，故，選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，比較大小，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.12、B【解題分析】

解析：考察均值不等式，整理得即，又，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】設(shè)切點(diǎn)為，又，所以切點(diǎn)為（0,1）代入直線得b=114、【解題分析】

由題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的值域，可得答案．【題目詳解】函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，則f′（x），當(dāng)x∈[，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，f′（x）＞0，故當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故當(dāng)x＝e時(shí)，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)的值域，難度中檔．15、【解題分析】由，得，則，故答案為.16、660【解題分析】

第一類，先選女男，有種，這人選人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有種，故有種；第二類，先選女男，有種，這人選人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有種，故有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有種，故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求最大值；（2）對(duì)方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)存在定理等，判斷函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【題目詳解】（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)為.在區(qū)間，，是增函數(shù)；在區(qū)間上，，是減函數(shù).所以的最大值是.（Ⅱ），方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)..在區(qū)間上，，是減函數(shù)；在區(qū)間上，，是增函數(shù).在處取得最小值.①當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，是增函數(shù)，并且.，所以在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)；在區(qū)間上，是減函數(shù)，并且，，所以在區(qū)間上有唯一零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，原方程有唯一的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.【題目點(diǎn)撥】在使用零點(diǎn)存在定理時(shí)，證明在某個(gè)區(qū)間只有唯一的零點(diǎn)，一定要證明函數(shù)在該區(qū)間是單調(diào)的，且兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值相乘小于0；本題對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等進(jìn)行綜合考查，對(duì)解決問(wèn)題的綜合能力要求較高.18、（1）；（2）；（3）19.65【解題分析】分析：（1）根據(jù)最小二乘法，求得，進(jìn)而得到，即可得到回歸直線的方程；（2）由（1）中的回歸直線方程，即可求解求解技前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的能耗，進(jìn)而求得降低的生產(chǎn)能耗.詳解：（1）由知:,所以由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為:,因此,所求的線性回歸方程為.（3）由1的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,得降低的生產(chǎn)能耗為:(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).點(diǎn)睛：本題主要考查了回歸直線方程的求解以及回歸直線方程的應(yīng)用，其中利用最小二乘法準(zhǔn)確計(jì)算和的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了考生的推理與運(yùn)算能力.19、(1)，.(2)；(3)答案見(jiàn)解析.【解題分析】試題分析：(1)由題意結(jié)合題中所給的列聯(lián)表可得，.(2)由題意結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式可得恰有一名女性的概率是；(3)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論求得.所以在使用共享單車的人群中，有的把握認(rèn)為“性別”與“年齡”有關(guān).試題解析：(1)，.(2)依題意得，每一次抽到女性的概率，故抽取的3人中恰有一名女性的概率.(3).所以在使用共享單車的人群中，有的把握認(rèn)為“性別”與“年齡”有關(guān).點(diǎn)睛：獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說(shuō)結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問(wèn)題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問(wèn)題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋．20、（Ⅰ）,;（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）由相關(guān)點(diǎn)法可求曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅱ）到射線的距離為，結(jié)合可求得試題解析：（Ⅰ）曲線的極坐標(biāo)方程為．設(shè)，則，則有．所以，曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅱ）到射線的距離為，，則．21、（1）；（2）；（3）【解題分析】

由復(fù)數(shù)的解析式可得，（1）當(dāng)虛部等于零時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)虛部不等于零且實(shí)部為零時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；（3）