北京市西城區(qū)西城外國(guó)語學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

北京市西城區(qū)西城外國(guó)語學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若向量，，則向量與（）A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不對(duì)2．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件.其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）(附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N，則，)A． B． C． D．4．設(shè)滿足約束條件，則的最大值是（）A．-3 B．2 C．4 D．65．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為線段CD和上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面上的正投影的面積之和（）A．有最小值 B．有最大值 C．為定值3 D．為定值26．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查高中生的寫作水平與離好閱讀是否有關(guān)，隨機(jī)詢問120名高中生是否喜好閱讀，利用2×2列聯(lián)表，由計(jì)算可得K2＝4.236P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參照附表，可得正確的結(jié)論是（）A．有95%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”B．有97.5%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”C．有95%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”D．有97.5%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”7．如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為A． B． C． D．8．已知e1，e2是單位向量，且e1?e2=0，向量a與eA．定值－1 B．定值1C．最大值1，最小值－1 D．最大值0，最小值－19．已知隨機(jī)變量,且,則與的值分別為A．16與0.8 B．20與0.4C．12與0.6 D．15與0.810．設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A．B．C．D．11．已知是拋物線上一點(diǎn)，則到拋物線焦點(diǎn)的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．612．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)是虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)等于（）A．-2 B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離______.14．已知，則________．15．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是____________(用數(shù)字作答)16．中，，則邊上中線的長(zhǎng)為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個(gè)“安檢”入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客求—個(gè)小組4人進(jìn)站的不同方案種數(shù)，要求寫出計(jì)算過程.18．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）．(1)設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求；(2)曲線為（為參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值．19．（12分）已知向量，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，成等差數(shù)列，且，求a的值．20．（12分）已知，不等式的解集是．（）求的值．（）若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：22．（10分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系得解.【題目詳解】，所以向量與平行.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

由題意可知有解，即在有解，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知m的范圍.【題目詳解】∵函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，∴有解，∴，∴在有解，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查對(duì)稱性的運(yùn)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在有解，屬于中檔題．3、B【解題分析】

利用原則，分別求出的值，再利用對(duì)稱性求出.【題目詳解】正態(tài)分布中，，所以，，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布知識(shí)，考查利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求隨機(jī)變量在給定區(qū)間的概率.4、D【解題分析】

先由約束條件畫出可行域，再利用線性規(guī)劃求解.【題目詳解】如圖即為，滿足約束條件的可行域，由，解得，由得，由圖易得：當(dāng)經(jīng)過可行域的時(shí)，直線的縱截距最大，z取得最大值，所以的最大值為6，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

分別在后，上，左三個(gè)平面得到該四邊形的投影，求其面積和即可．【題目詳解】依題意，設(shè)四邊形D1FBE的四個(gè)頂點(diǎn)在后面，上面，左面的投影點(diǎn)分別為D'，F(xiàn)'，B'，E'，則四邊形D1FBE在上面，后面，左面的投影分別如上圖．所以在后面的投影的面積為S后=1×1=1，在上面的投影面積S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面積S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四邊形D1FBE所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面上的正投影的面積之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=1．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方體中四邊形的投影問題，考查空間想象能力．屬于中檔題．6、A【解題分析】

根據(jù)題意知觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論.【題目詳解】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法求得，對(duì)照臨界值得出：有95%的把握認(rèn)為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”．故選A項(xiàng)．【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】試題分析：由三角形面積為，，所以陰影部分面積為，所求概率為考點(diǎn)：定積分及幾何概型概率8、A【解題分析】

由題意可設(shè)e1=(1,0),e【題目詳解】由題意設(shè)e1=(1,0),e2=(0,1)所以a-所以(x-1)2又a-2所以數(shù)量積a?故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量基本定理以及模長(zhǎng)問題，用解析法，設(shè)出向量的坐標(biāo)，用坐標(biāo)運(yùn)算會(huì)更加方便。9、D【解題分析】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，且，解得，故選D.10、C【解題分析】

由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。绢}目詳解】是R的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．11、B【解題分析】分析：直接利用拋物線的定義可得：點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離．詳解：由拋物線方程可得拋物線中，則利用拋物線的定義可得點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離．故選B.點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)得到答案.【題目詳解】知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)且故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

先根據(jù)雙曲線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合雙曲線的定義可得到，進(jìn)而可求出的值，得到答案.【題目詳解】雙曲線，，，，和為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，解或，，或，故答案為：或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時(shí)，若已知該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求結(jié)果；若已知該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離，則根據(jù)求解，注意對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行必要的驗(yàn)證，負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于.14、【解題分析】分析：由題意，利用目標(biāo)角和已知角之間的關(guān)系，現(xiàn)利用誘導(dǎo)公式，在結(jié)合二倍角公式，即可求解．詳解：由題意，又由，所以．點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問題，其中解答中正確構(gòu)造已知角與求解角之間的關(guān)系，合理選擇三角恒等變換的公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力．15、【解題分析】

將二項(xiàng)式變形為，得出其展開式通項(xiàng)為，再利用，求出，不存在，再將代入可得出所求常數(shù)項(xiàng)?！绢}目詳解】，所以，展開式的通項(xiàng)為，令，可得，不存在，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)是，故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，考查指定項(xiàng)系數(shù)的求解，解這類問題一般是利用二項(xiàng)式定理將展開式表示為通項(xiàng)，利用指數(shù)求出參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題。16、【解題分析】

通過余弦定理可以求出的長(zhǎng)，而，用余弦定理求出的表達(dá)式，代入上式可以直接求出的長(zhǎng)．【題目詳解】由余弦定理可知：,設(shè)，由余弦定理可知：而，即解得，故邊上中線的長(zhǎng)為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用余弦定理求三角形中線長(zhǎng)的問題．本題也可以應(yīng)用中點(diǎn)三角形來求解，過程如下：延長(zhǎng)至，使得,易證出,,由余弦定理可得：.．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）56；（2）840種，計(jì)算過程見解析【解題分析】

（1）利用隔板法求結(jié)果；（2）將問題分4種情況分別得出其方案數(shù)，可求得結(jié)果，注意需考慮從同一個(gè)安檢口的旅客的通過順序.【題目詳解】（1）若定義，其中，則是從方程的非負(fù)整數(shù)解集到方程的正整數(shù)解集的映射，利用隔板法得，方程正整數(shù)解得個(gè)數(shù)是從而方程的非負(fù)整數(shù)解得個(gè)數(shù)也是56；（2）這4名旅客通過安檢口有4種情況：從1個(gè)安檢口通過，從2個(gè)安檢口通過，從3個(gè)安檢口通過，從4個(gè)安檢口通過。從1個(gè)安檢口通過共有：種方案；從2個(gè)安檢口通過，可能有1個(gè)安檢口通過1人，另一個(gè)安檢口通過3人有：種方案；從2個(gè)安檢口通過，可能每一個(gè)安檢口都通過2人有：種方案；從3個(gè)安檢口通過，可能有2個(gè)安檢口各通過1人，有1個(gè)安檢口通過2人有：種方案；從4個(gè)安檢口通過共有：種方案，所以這4個(gè)旅客進(jìn)站的不同方案有：種.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用隔板法解決不定方程非負(fù)整數(shù)解問題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（1）1；（2）．【解題分析】分析：(1)由題意，，求得直線的普通方程，聯(lián)立方程組，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得的長(zhǎng)；(2)根據(jù)曲線的方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得點(diǎn)到直線的距離，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解結(jié)果．詳解：(1)直線的普通方程為，的普通方程為．聯(lián)立方程組，解得與的交點(diǎn)為，則．………5分(2)曲線為（為參數(shù)），故點(diǎn)的坐標(biāo)是，從而點(diǎn)到直線的距離是，由此當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為．…10分點(diǎn)睛：本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，以及曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用，把直線和曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．19、（1），（2）【解題分析】

（1）利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡(jiǎn)得，故可求其周期與單調(diào)性；（2）根據(jù)圖像過得到，故可求得的大小，再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積，最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可．【題目詳解】（1），最小正周期：，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由可得：，所以．又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以而，．20、(1),(2).【解題分析】試題分析：（1）通過討論a的范圍，求出不等式的解集，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求出a的值即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出最小值，得到關(guān)于k的不等式，解出即可．解析：（1）由，得，即，當(dāng)時(shí)，，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，所以無解.所以.(2)因?yàn)?，所以要使存在?shí)數(shù)解，只需，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，以及函數(shù)恒成立求參的方法．21、證明見解析【解題分析】

利用數(shù)學(xué)歸納法的證明標(biāo)準(zhǔn)，驗(yàn)證時(shí)成立，假設(shè)時(shí)成立，證明時(shí)等式也成立即可.【題目詳解】證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，

那么，當(dāng)時(shí)，左邊＝，

這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立.

根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何都成立.【題目點(diǎn)撥】本題是