虎門外國語學校2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測試題含解析

虎門外國語學校2024屆數(shù)學高二下期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個均勻的正方體，把其中相對的面分別涂上紅色、黃色、藍色，隨機向上拋出，正方體落地時“向上面為紅色”的概率是A． B． C． D．2．若函數(shù)為奇函數(shù)，則A． B． C． D．3．已知定義域為的奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，若，則的大小關系正確的是A． B． C． D．4．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．設m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m＝()A．5 B．6 C．7 D．86．下列命題中真命題的個數(shù)是（）①若是假命題，則、都是假命題；②命題“，”的否定是“，”③若：，:，則是的充分不必要條件.A．0 B．1 C．2 D．37．設為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則A．1 B． C．2 D．8．已知的二項展開式中常數(shù)項為1120，則實數(shù)的值是（）A． B．1 C．或1 D．不確定9．“”是“”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知雙曲線的焦距為，兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的標準方程是（）A． B．或C． D．或11．已知，，且，則向量在方向上的正射影的數(shù)量為A．1 B．C． D．12．設S為復數(shù)集C的非空子集，若對任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：①集合為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集.其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為____________．14．在直角中，，，，為斜邊的中點，則=．15．已知橢圓（a>b>0）的離心率為e，，分別為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使得∠是鈍角，則滿足條件的一個e的值為____________16．關于圓周率，祖沖之的貢獻有二：①；②用作為約率，作為密率，其中約率與密率提出了用有理數(shù)最佳逼近實數(shù)的問題.約率可通過用連分數(shù)近似表示的方法得到，如：，舍去0.0625135，得到逼近的一個有理數(shù)為，類似地，把化為連分數(shù)形式：（m，n，k為正整數(shù)，r為0到1之間的無理數(shù)），舍去r得到逼近的一個有理數(shù)為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正項數(shù)列中，且（1）分別計算出的值，然后猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.18．（12分）設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.19．（12分）已知,命題:對,不等式恒成立；命題，使得成立.（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）當時，若假，為真，求的取值范圍.20．（12分）近年來，鄭州經(jīng)濟快速發(fā)展，躋身新一線城市行列，備受全國矚目．無論是市內(nèi)的井字形快速交通網(wǎng)，還是輻射全國的米字形高鐵路網(wǎng)，鄭州的交通優(yōu)勢在同級別的城市內(nèi)無能出其右．為了調(diào)查鄭州市民對出行的滿意程度，研究人員隨機抽取了1000名市民進行調(diào)查，并將滿意程度以分數(shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖，其中．（1）求的值；（2）若按照分層抽樣從[50，60)，[60，70)中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，求至少有1人的分數(shù)在[50，60)的概率．21．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是線段PC中點，G為線段EC中點．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．22．（10分）某工廠為檢驗車間一生產(chǎn)線工作是否正常，現(xiàn)從生產(chǎn)線中隨機抽取一批零件樣本，測量它們的尺寸(單位：)并繪成頻率分布直方圖，如圖所示.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布，其中近似為零件樣本平均數(shù)，近似為零件樣本方差.(1)求這批零件樣本的和的值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，求；(3)若從生產(chǎn)線中任取一零件，測量其尺寸為，根據(jù)原則判斷該生產(chǎn)線是否正常？附：；若，則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

∵隨機拋正方體，有6種等可能的結果，其中正方體落地時“向上面為紅色”有2種情況，

∴正方體落地時“向上面為紅色”的概率是

.故選B.2、A【解題分析】分析：運用奇函數(shù)的定義，可得，再計算即可詳解：函數(shù)為奇函數(shù)，故選點睛：本題主要考查的是奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)的應用，屬于基礎題。根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解題的關鍵3、C【解題分析】分析：構造函數(shù)，利用已知條件確定的正負，從而得其單調(diào)性．詳解：設，則，∵，即，∴當時，，當時，，遞增．又是奇函數(shù)，∴是偶函數(shù)，∴，，∵，∴，即．故選C．點睛：本題考查由導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題關鍵是構造新函數(shù)，通過研究的單調(diào)性和奇偶性，由奇偶性可以把變量值轉化到同一單調(diào)區(qū)間上，從而比較大?。?、B【解題分析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關系得到正弦值.【題目詳解】如圖所示：連接與交于點，連接，過點作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設正方體邊長為1在中故答案選B【題目點撥】本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關鍵，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.5、B【解題分析】試題分析：由題意可知,,,即,,解得．故B正確．考點：1二項式系數(shù)；2組合數(shù)的運算．6、C【解題分析】分析：由復合命題的真假判斷判斷①；寫出全程命題的否定判斷②；由不等式的性質(zhì)結合充分必要條件的判定方法判斷③．詳解：①若p∧q是假命題，則p，q中至少一個是假命題，故①錯誤；②命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”，故②正確；③若x＞1＞0，則，反之，若，則x＜0或x＞1．又p：x≤1，q：，∴￢p是q的充分不必要條件，故③正確．∴正確命題的個數(shù)是2個．故選：C．點睛：本題考查命題的真假判斷與應用，考查充分必要條件的判定方法，考查命題的否定，屬于中檔題．7、B【解題分析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，再由復數(shù)的模的計算公式求解即可．【題目詳解】由，得，，故選．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算以及復數(shù)的模的計算．8、C【解題分析】

列出二項展開式的通項公式，可知當時為常數(shù)項，代入通項公式構造方程求得結果.【題目詳解】展開式的通項為：令，解得：，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)二項展開式指定項的系數(shù)求解參數(shù)值的問題，屬于基礎題.9、A【解題分析】

利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【題目詳解】解：當時，，所以，當時，，所以，即所以“”是“”的充分不必要條件故選：A【題目點撥】此題考查充分條件，必要條件的應用，屬于基礎題10、B【解題分析】

根據(jù)題意，有，根據(jù)斜率公式求出的值，進而聯(lián)立組成方程組求出，的值，將其代入雙曲線的標準方程即可得出結果.【題目詳解】解：根據(jù)題意雙曲線的焦距為，則雙曲線的一個焦點為，則①，雙曲線的兩條漸近線的夾角為，一條漸近線的斜率為或則或②，聯(lián)立①、②可得或.則雙曲線的標準方程是或.故選：B.【題目點撥】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，涉及雙曲線的焦點、漸近線的求法，屬于中檔題.11、D【解題分析】

由與、可得出，向量在方向上的正射影的數(shù)量=【題目詳解】向量在方向上的正射影的數(shù)量=【題目點撥】本題考查兩向量垂直，其數(shù)量積等于0.向量在方向上的正射影的數(shù)量=.12、B【解題分析】

由題意直接驗證①的正誤；令x＝y(tǒng)可推出②是正確的；舉反例集合S＝{0}判斷③錯誤；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不屬于T，判斷④錯誤．【題目詳解】解：由a，b，c，d為整數(shù)，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集，①正確；當S為封閉集時，因為x﹣y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確；對于集合S＝{0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯誤；取S＝{0}，T＝{0，1}，滿足S?T?C，但由于0﹣1＝﹣1不屬于T，故T不是封閉集，④錯誤．故正確的命題是①②，故選B．【題目點撥】本題是新定義題，考查對封閉集概念的深刻理解，對邏輯思維能力的要求較高.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、25【解題分析】

由＋＝1，得x＋y＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x＋4y＝(9x＋4y)＝13＋＋≥13＋2＝25.當且僅當?shù)忍柍闪?4、【解題分析】試題分析：由于為直角三角形，且，，所以，由正弦定理得，，.考點：1.正弦定理；2.平面向量的數(shù)量積15、（答案不唯一，<e<1）【解題分析】

當為短軸端點時，最大，因此滿足題意時，此角必為鈍角．【題目詳解】由題意當為短軸端點時，為鈍角，∴，∴，，，∴．答案可為．【題目點撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)．解題中注意性質(zhì)：是橢圓上任意一點，是橢圓的兩個焦點，當為短軸端點時，最大．16、.【解題分析】

利用題中的定義以及類比推理直接進行求解即可.【題目詳解】舍去得到逼近的一個有理數(shù)為.故答案為：【題目點撥】本題考查了類比推理，解題的關鍵是理解題中的定義，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）見解析.【解題分析】

（1）逐個計算計算出的值，再通過觀察可猜。（2）先檢驗n=1滿足，再假設時（*）式成立，即，下證即可證明?！绢}目詳解】（1）令得化簡得，解得或.令得化簡得，解得或令得化簡得，解得或猜想（*）.①當時，，（*）式成立；②假設時（*）式成立，即，那么當時，化簡得所以當時，（*）式也成立.綜上：由①②得當時，【題目點撥】本題考查歸納-猜想-證明，這一常見思維方式，而與自然數(shù)相關的結論證明我們常用數(shù)學歸納法。18、(1)；(2).【解題分析】

分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．詳解：（1）當時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1），即，可解出實數(shù)的取值范圍；（2）先求出命題為真命題時實數(shù)的取值范圍，再分析出命題、中一個是真命題，一個是假命題，即可的得出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）∵對任意，不等式恒成立，，即，即，解得，因此，若為真命題時，實數(shù)的取值范圍是；（2），且存在，使得成立，，命題為真時，.∵且為假，或為真，∴、中一個是真命題，一個是假命題．當真假時，則，解得；當假真時，，即.綜上所述，的取值范圍為.【題目點撥】本題考查利用命題的真假求參數(shù)，同時也考查了利用復合命題的真假求參數(shù)問題，解題的關鍵就是要確定簡單命題的真假，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.20、（1）；（2）.【解題分析】

根據(jù)頻率分布直方圖的特點:可列的式子：，求得，根據(jù)圖，可知a＝4b，繼而求得a,b，先利用分層抽樣得方法，確定[50，60)，[60，70)中分別抽取的人數(shù)，然后利用古典概型，求得概率【題目詳解】（1）依題意得，所以，又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.1．（2）依題意，知分數(shù)在[50，60）的市民抽取了2人，記為a，b，分數(shù)在[60，70）的市民抽取了6人，記為1，2，3，4，5，6，所以從這8人中隨機抽取2人所有的情況為：（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28種，其中滿足條件的為（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），