2024屆甘肅省蘭州市第五十八中學教育集團高三上學期建標考試數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024屆甘肅省蘭州市第五十八中學教育集團高三上學期建標考試數(shù)學試題一、單選題1．，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的性質(zhì)分別求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】，，所以.故選：A.2．已知復數(shù)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先化簡復數(shù)，再利用復數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：因為復數(shù)，所以z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，故選：D3．已知向量，，若與反向共線，則的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算，求得參數(shù)，再結(jié)合向量線性運算的坐標運算求模長即可.【詳解】根據(jù)題意可得：，解得或；當時，與共線同向，故舍去；當時，，，.故選：C.4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩角和正切公式化簡并計算得或3，利用充分必要條件定義即可判斷.【詳解】由，得，即或3，（經(jīng)檢驗均為原分式方程的解），所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．已知圓錐曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由離心率建立關(guān)于的方程，通過解三角方程，即可得到值.【詳解】由圓錐曲線的離心率大于1，可知該圓錐曲線為雙曲線，且，即，又，所以.故選：D.6．林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級，樹齡300~500年之間的古樹為二級，樹齡100~299年的古樹為三級，樹齡低于100年不稱為古樹．林業(yè)工作者為研究樹木年齡，多用年輪推測法，先用樹木測量生長錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計算年輪個數(shù)，由經(jīng)驗知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評估某棵大樹的級別，特測量數(shù)據(jù)如下：樹干周長為3.14米，靠近樹芯的第5個年輪寬度為0.4cm，靠近樹皮的第5個年輪寬度為0.2cm，則估計該大樹屬于（

）A．一級 B．二級 C．三級 D．不是古樹【答案】C【分析】由條件抽象出等差數(shù)列的基本量，再結(jié)合等差數(shù)列的前項和，求.【詳解】設樹干的截面圓的半徑為，樹干周長，，從內(nèi)向外數(shù)：，，，∴年，所以為三級.故選:C7．已知過點與圓相切的兩條直線的夾角為，設過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設過點的直線與兩個圓分別交于點和，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合題意，在直角中，求得，結(jié)合倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由圓，可化為，可得圓心，半徑，又由圓，可化為，可得圓心，半徑，設過點的直線與圓切于點，與圓切于點，如圖所示，連接，則，因為過點與圓相切的兩條直線的夾角為，所以，則，所以，在直角中，，所以，所以，因為，所以，即，所以.故選：B.8．已知函數(shù)的定義域為，，且在恒有成立，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而可判斷出函數(shù)的正負分布情況，即為或，進而可得出答案.【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，因為在恒有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對稱性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，故當時，，當或時，，由，得或，所以或，解得或，即的解集為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題意得出函數(shù)的對稱性及單調(diào)性，從而判斷出函數(shù)的正負分布情況，是解決本題的關(guān)鍵.二、多選題9．若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合作差比較法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，可得，因為，可得，所以A正確；對于B中，由，所以，所以B正確；對于C中，因為，且，可得，所以，所以C錯誤；對于D中，因為，且，可得，則，所以D正確.故選：ABD.10．已知函數(shù)的一個極大值點為1，與該極大值點相鄰的一個零點為，將的圖象向左平移1個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．為奇函數(shù)D．若在區(qū)間上的值域為，則．【答案】BD【分析】對于A，根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷；對于B，由余弦型函數(shù)增區(qū)間公式得出結(jié)果；對于C，根據(jù)圖象平移變換及函數(shù)奇偶性定義進行判斷；對于D，根據(jù)余弦型函數(shù)的定義域、值域的關(guān)系以及圖像與性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】設的最小正周期為T，由題意，，得，所以，所以，又點在的圖象上，所以，所以，，即，，又，所以，對于A，因為，故A錯誤；對于B，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，故B正確；對于C，因為，所以為偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，當時，，又的值域為，如圖，當時，，

所以，解得，故D正確．故選：BD.11．已知正方體的棱長為4，正四面體的棱長為a，則以下說法正確的是（

）A．正方體的內(nèi)切球直徑為4B．正方體的外接球直徑為C．若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最大值是D．若正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最小值是【答案】ACD【分析】求得正方體外接球的直徑判斷選項A、B，對于C，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球；對于D，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球.【詳解】對于A，正方體的內(nèi)切球直徑即其棱長，所以直徑為4，A正確；對于B，正方體的外接球直徑即其體對角線，所以直徑為，B錯誤；正四面體的棱長為a

因為正四面體的外接球的球心O到點F、G、H的距離相等，所以O在平面BCD內(nèi)的射影，到點F、G、H的距離相等，又因為在正四面體中是正三角形，所以是的中心，進而在正四面體中，有平面，所以球心O在高線上，同理：球心O也在其它面的高線上，又正四面體中各面上的高都相等，所以由得，點O到正四面體各面的距離相等，所以點O也是正四面體的內(nèi)切球的球心，這樣正四面體的內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合．記正四面體的高為，則.因此，只要求出其中一個，則另一個也出來了.因為在正四面體中，是正三角形，是其中心，所以，因為平面,平面，所以，在中，由勾股定理，得，所以，解得，，故所求的外接球的半徑和內(nèi)切球的半徑分別為.對于C，若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球，又由棱長為a的正四面體的外接球半徑，C正確；對于D，正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球，又由棱長為a的正四面體的內(nèi)切球半徑，D正確.故選：ACD.12．已知分別是函數(shù)和的零點，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標，再結(jié)合反函數(shù)圖像的特點得到點和關(guān)于點對稱，根據(jù)可判斷A、B選項；結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)可以判斷C選項；利用特殊值的思路得到的范圍即可判斷D選項.【詳解】因為，分別是函數(shù)，的零點，所以，，那么，可以看做函數(shù)和與函數(shù)圖像交點的橫坐標，如圖所示，點，，分別為函數(shù)，，的圖像與函數(shù)圖像的交點，所以，因為函數(shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于的圖像對稱，的圖像也關(guān)于的圖像對稱，所以點和關(guān)于點對稱，，，故AB正確；由反函數(shù)的性質(zhì)可得，因為單調(diào)遞增，，所以，所以，故C錯；當時，函數(shù)對應的函數(shù)值為，函數(shù)對應的函數(shù)值為，因為，所以，所以的范圍為，那么，而，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．展開式中含項的系數(shù)是．【答案】【分析】利用二項式定理求解.【詳解】展開式通項公式為令，故展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：14．已知圓錐的母線長為2，側(cè)面展開圖扇形的面積為，那么該圓錐的體積是．【答案】/【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求得底面半徑以及圓錐的高，進而可求體積.【詳解】設圓錐的底面半徑為，由題意可得：，解得，可得圓錐的高為，所以該圓錐的體積是.故答案為：.15．校運會期間，需要學生志愿者輔助裁判老師進行記錄工作，學生會將從6名志愿者中任意選派3名同學分別承擔鉛球記錄、跳高記錄、跳遠記錄工作，其中甲、乙2人不承擔鉛球記錄工作，則不同的安排方法共有種．【答案】【分析】先安排鉛球工作，再安排其他兩項工作進而求解.【詳解】依題意，分兩步：①在甲乙之外人中任選人，承擔鉛球記錄工作，有種情況；②在剩下的人中任選人，承擔跳高和跳遠記錄工作，有種情況，則不同的安排方法有種故答案為：16．已知函數(shù)，設是四個互不相同的實數(shù)，滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象變換作出時，函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象設，從而得到，且，，即可求解【詳解】當時，，作出函數(shù)圖象，如圖所示：

當時，，設，且，則由圖象得：，則由題意知，，且，，所以，即，則，所以的取值范圍是，故答案為：.四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合通項公式與前項和公式即可得解；（2）利用分組求和差，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和公式即可得解.【詳解】（1）（1）設數(shù)列等差數(shù)列的公差為d，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，，所以，即.（2）因為，所以，所以．18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最值及取得最值時的取值集合；(2)設的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且，求的面積．【答案】(1)答案見解析(2)或【分析】（1）化簡解析式后求解最值和取值集合即可.（2）依據(jù)正余弦定理得到等量關(guān)系，求解邊長后算面積即可.【詳解】（1），，，，易知的最大值為，此時，化簡得，的最小值為，此時，化簡得，綜上當時，取到最小值，當時，取到最大值.（2）在中，結(jié)合，故，解得(其它解舍去)，故由余弦定理得，由已知得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組，解得或，當，時，,當，時，.19．如圖，線段是圓柱的母線，BC是圓柱下底面圓的直徑．(1)弦AB上是否存在點，使得平面，請說明理由；(2)若，，，求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，當點為中點時，理由見解析.(2)【分析】（1）先確定點為的中點，再證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）當點為的中點時，平面，證明如下：取的中點，連接，∵分別為的中點，則，又平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面，，平面，∴平面平面，由于平面，故平面；（2）∵是的直徑，可得，即，且，，故，，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，，，，得，，設為平面的一個法向量，則，令，則，可得，因為軸平面，則可取平面的一個法向量為，設二面角為，則，所以二面角的余弦值為.20．某學校為了提升學生學習數(shù)學的興趣，舉行了“趣味數(shù)學”闖關(guān)比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學能答對10道題中的6道題.(1)求小明同學在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關(guān)成功相互獨立，問：小明同學在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對應概率取值最大？【答案】(1)分布列見解析，(2)3次或4次【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的知識求得分布列并求得數(shù)學期望.（2）根據(jù)二項分布的知識求得闖關(guān)成功的次數(shù)的分布列，由此求得正確答案.【詳解】（1）由題知：可取0，1，2，3，則:，，，，故的分布列為：0123則的期望為：.（2）方法1、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為若小明同學在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功的次數(shù)為，則.故所以的分布列為：012345故小明同學在5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對應概率取值最大.方法2、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為若小明同學在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功的次數(shù)為，則故∴假設當時，對應概率取值最大，則解得，而故小明同學在5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對應概率取值最大.21．已知A，B分別是橢圓的右頂點和上頂點，，直線AB的斜率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與軌跡交于M，N兩點，O為坐標原點，直線OM，ON的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．【答案】(1)(2)定值1【分析】（1）由已知可得，計算即可得到橢圓的方程；（2）設聯(lián)立方程組，求得，又由直線OM，ON的斜率之積等于，化簡求得，再由弦長公式和面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意可知，，直線AB的斜率為．依題意得，橢圓的方程為（2）設，由，得，則，即，且，因為直線OM，ON的斜率之積等于，，所以，即，又O到直線MN的距離為,，所以.所以的面積為定值1.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是將直線與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理式，再通過斜率乘積為定值得到，最后利用點到直線距離公式和弦長公式得到面積表達式，代入即可得到答案.22．已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明：；(2)若恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用導數(shù)求出的最小值，即可得證；（2）在上恒成立，即在上恒成立，由（1）得，再分和兩種情況討論即可得出答案.【詳解】（1）由題可知，當時，，，故恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則當時，，得證；（2）在上恒成立，即在上恒成立，設，則，，由（1）得，（?。┊敃r，，此時在上單調(diào)遞增，故，符合題意；（ⅱ）當時