預(yù)習(xí)07講平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)提升課（人教A版2019）原卷版

2024年高一數(shù)學(xué)寒假自學(xué)精品課（人教A版2019必修第二冊(cè)）預(yù)習(xí)07講平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（精講+精練）①平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示②坐標(biāo)表示中的垂直問(wèn)題③坐標(biāo)表示中的模長(zhǎng)問(wèn)題④坐標(biāo)表示中的夾角問(wèn)題一、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，分別是軸，軸上的單位向量．向量分別等價(jià)于，，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，有：由于，為正交單位向量，故，，，，從而．即，其含義是：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．二、兩個(gè)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示已知非零向量，（1）．（2）三、向量模的坐標(biāo)表示（1）向量模的坐標(biāo)表示若向量，由于，所以．其含義是：向量的模等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．（2）兩點(diǎn)間的距離公式已知原點(diǎn)，點(diǎn)，則，于是．其含義是：向量的模等于A，B兩點(diǎn)之間的距離．（3）向量的單位向量的坐標(biāo)表示設(shè)，表示方向上的單位向量四、兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示已知非零向量，是與的夾角，則．五、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)題型一：題型一：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示策略方法平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法【題型精練】一、單選題1．已知向量，則（

）A．0 B．3 C．2 D．12．已知，，若，則x等于（

）A．6 B．5 C．4 D．33．已知，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知（

）A． B． C． D．5．已知向量，，，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．26．在矩形ABCD中，若，，且，則的值為（

）A． B．1 C． D．2二、填空題7．已知向量，則.8．如圖所示，為正三角形，，則．9．已知向量，，若，則．10．在邊長(zhǎng)為的正方形中，是中點(diǎn)，則；若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是.三、解答題11．已知，，，分別求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．12．已知三點(diǎn)，，，P為平面ABC上的一點(diǎn)，且，．(1)求；(2)求的值．題型二：題型二：坐標(biāo)表示中的垂直問(wèn)題策略方法1．利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．【題型精練】一、單選題1．已知向量．若，則（

）A． B． C．2 D．32．已知向量，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若實(shí)數(shù)λ滿足，則（

）A． B． C． D．14．已知向量，，若，則（

）A． B．C． D．5．已知向量，且，則實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合是（

）A． B．C． D．6．已知向量，若，則在上的投影為（

）A．1 B． C． D．二、填空題7．已知向量，，若，則.8．已知向量，若與垂直，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的向量的一個(gè)坐標(biāo)．9．已知向量，且，則．10．已知向量，且，則向量在向量方向上的投影向量為.三、解答題11．已知向量，滿足且.(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.12．已知為平面向量，且.(1)若，且與垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且，求向量的坐標(biāo).題型三：題型三：坐標(biāo)表示中的模長(zhǎng)問(wèn)題策略方法求向量模的方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)．(2)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2)．【題型精練】一、單選題1．已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知向量，，則（

）A． B．5 C． D．43．已知平面向量，且，那么等于（

）A． B． C． D．4．已知向量，，則（

）A．0 B．1 C． D．25．已知向量，.若與垂直，則（

）A．1 B． C．2 D．46．已知平面向量，，且，則（

）A．2 B．3 C．4 D．57．已知平面向量，，滿足，，且．若，則（

）A． B． C． D．8．已知平面向量，滿足，且，則（

）A．4 B．5 C． D．29．已知平面向量，，，的夾角為60°，，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．二、多選題10．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．11．已知向量，若，則等于（

）A．0 B．－1 C．1 D．－2三、填空題12．已知向量，滿足，，，則等于．13．已知平面向量，且.若，則.14．平面向量與的夾角為，已知，，則.15．已知向量，且，則向量在向量方向上的投影向量為.四、解答題16．已知向量，，，且；(1)求與的夾角；(2)若，求的值．17．已知兩個(gè)非零向量與不共線.(1)若與平行，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，，且，求.18．已知向量，的夾角為，且．(1)若，求的坐標(biāo)；(2)若，，求的最小值．題型四：題型四：坐標(biāo)表示中的夾角問(wèn)題策略方法求向量夾角問(wèn)題的方法【題型精練】一、單選題1．已知向量，，且與的夾角余弦值為，則（

）A．或 B．或 C． D．或2．已知向量，，則向量與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．已知向量，，，則（

）A． B． C． D．4．設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C． D．5．已知向量，，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知向量，，若與的夾角的余弦值為，且，則可以是（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為8．已知向量，且，則（

）A．B．C．向量與向量的夾角是D．向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是9．已知向量，則（

）A． B．C． D．向量的夾角為10．下列說(shuō)法中不正確的為（

）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．已知向量，的夾角為，，，則在方向上的投影向量的模為D．非零向量和滿足，則與的夾角為三、填空題11．，，且，則，的夾角為．12．若向量，，且，則與的夾角為.13．已知向量，，，若，則等于14．已知點(diǎn)，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為．四、解答題15．已知向量，向量．(1)若，求與的夾角；(2)若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．已知向量，且與的夾角為.(1)求及；(2)若與所成的角是銳角，求實(shí)數(shù)的取