2024屆吉林省延邊朝鮮族自治州延吉二中數(shù)學(xué)高二下期末檢測(cè)試題含解析

2024屆吉林省延邊朝鮮族自治州延吉二中數(shù)學(xué)高二下期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．三位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則女同學(xué)甲站在女同學(xué)乙的前面的概率是（）A． B． C． D．3．已知直線l的參數(shù)方程為x=t+1，y=t-1，（tA．0° B．45° C．904．定積分（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知函數(shù)，將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．6．在10個(gè)籃球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品.從中抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為A． B． C． D．7．已知拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)M（0，4）的距離之和的最小值為，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為A． B． C． D．8．以下四個(gè)命題中，真命題有（）．A．是周期函數(shù)，：空集是集合的子集，則為假命題B．“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要不充分條件D．已知命題：“如果，那么或”，在命題的逆命題，否命題，逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)有個(gè)．9．若離散型隨機(jī)變量的分布如下：則的方差（）010.6A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．110．給出下列命題：①命題“若，則方程無實(shí)根”的否命題；②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題；③命題“若，則”的逆否命題；④“若，則的解集為”的逆命題；其中真命題的序號(hào)為（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③11．一工廠生產(chǎn)的100個(gè)產(chǎn)品中有90個(gè)一等品，10個(gè)二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取4個(gè)，則最多有一個(gè)二等品的概率為（）A．B．C．D．12．下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（1）對(duì)于命題使得，則都有；（2）已知，則（3）已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為（4,5），則回歸直線方程為；（4）“”是“”的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學(xué)校食堂早餐只有花卷、包子、面條和蛋炒飯四種主食可供食用，有5名同學(xué)前去就餐，每人只選擇其中一種，且每種主食都至少有一名同學(xué)選擇．已知包子數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學(xué)腸胃不好不會(huì)選擇蛋炒飯，則這5名同學(xué)不同的主食選擇方案種數(shù)為________．（用數(shù)字作答）14．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為________.15．已知，的取值如下表所示：從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，以此預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，_______.16．如圖，已知正方體，,E為棱的中點(diǎn)，則與平面所成角為_____________.（結(jié)果用反三角表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）觀察下列等式：；；；；……（1）照此規(guī)律，歸納猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.18．（12分）“公益行”是由某公益慈善基金發(fā)起并主辦的一款將用戶的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為公益步數(shù)的捐助公益項(xiàng)目的產(chǎn)品，捐助規(guī)則是滿10000步方可捐助且個(gè)人捐出10000步等價(jià)于捐出1元，現(xiàn)粗略統(tǒng)計(jì)該項(xiàng)目中其中200名的捐助情況表如下：捐款金額(單位：元)捐款人數(shù)4152261035(1)將捐款額在200元以上的人稱為“健康大使”，請(qǐng)?jiān)诂F(xiàn)有的“健康大使”中隨機(jī)抽取2人，求捐款額在之間人數(shù)的分布列；(2)為鼓勵(lì)更多的人來參加這項(xiàng)活動(dòng)，該公司決定對(duì)捐款額在100元以上的用戶實(shí)行紅包獎(jiǎng)勵(lì)，具體獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：捐款額在的獎(jiǎng)勵(lì)紅包5元；捐款額在的獎(jiǎng)勵(lì)紅包8元；捐款額在的獎(jiǎng)勵(lì)紅包10元；捐款額大于250的獎(jiǎng)勵(lì)紅包15元.已知該活動(dòng)參與人數(shù)有40萬人，將頻率視為概率，試估計(jì)該公司要準(zhǔn)備的紅包總金額.19．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求．（2）若，求面積的最大值．20．（12分）（1）化簡(jiǎn)：；（2）若、為銳角，且，，求的值．21．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門共有員工60人，為調(diào)查他們的睡眠情況，通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）甲部門678乙部門5.566.577.58丙部門55.566.578.5（1）求該單位乙部門的員工人數(shù)？（2）從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機(jī)選取一人，甲部門選出的員工記為A，乙部門選出的員工記為B，假設(shè)所有員工睡眠的時(shí)間相互獨(dú)立，求A的睡眠時(shí)間不少于B的睡眠時(shí)間的概率；（3）若將每天睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=的單調(diào)性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1得到f（x）=m或f（x）=．畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．【題目詳解】設(shè)y=，則y′=，由y′=1，解得x=e，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，y′＞1，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，y′＜1，函數(shù)為減函數(shù)．∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值為f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1化為[f（x）﹣m][2f（x）+1]=1．解得f（x）=m或f（x）=．如圖畫出函數(shù)圖象：可得m的取值范圍是（1，）．故答案為：C．【題目點(diǎn)撥】（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)本題的解答關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是利用導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖像，其二是化簡(jiǎn)得到f（x）=m或f（x）=．2、A【解題分析】

三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．【題目詳解】三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．即概率都為【題目點(diǎn)撥】本題考查排位概率，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得出該直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角。【題目詳解】直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0，斜率k=tanα=1,所以α=45【題目點(diǎn)撥】本題考查利用直線的參數(shù)方程求直線的傾斜角，參數(shù)方程化為普通方程是常用方法，而參數(shù)方程化為普通方程有兩種常見的消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。4、B【解題分析】

直接利用定積分公式計(jì)算得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、B【解題分析】

由平移變換得到，由偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求.【題目詳解】由題意得：，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，所以，所以，解得：，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，故選B.【題目點(diǎn)撥】平移變換、伸縮變換都是針對(duì)自變量而言的，所以函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)，不能錯(cuò)誤地得到.6、A【解題分析】

正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品兩種情況，根據(jù)情況寫出所有的組合數(shù)計(jì)算即可.【題目詳解】正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品這兩種情況為，總數(shù)為，所以概率為．選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率問題，解題的關(guān)鍵是正確的求出所有可能的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

由拋物線的定義將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)M（0，4）的距離之和的最小值，也即為最小，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值．所以，解得，由內(nèi)切圓的面積公式，解得．故選D．8、C【解題分析】選項(xiàng)中，由題意得為真，為真，則為真，故不正確．選項(xiàng)中，命題的否定應(yīng)是“，”，故不正確．選項(xiàng)中，由“”不能得到“”成立；由“”一定能得到“”成立。故“”是“”的必要不充分條件．故C正確。選項(xiàng)中，命題的逆命題、否命題、逆否命題都為真，所以有個(gè)真命題，故不正確．綜上選．9、C【解題分析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，進(jìn)而使用期望公式先求出數(shù)學(xué)期望，再代入方差公式求出方差．詳解：由題意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，所以E（x）=0×0.4+1×0.6=0.6，所以D（x）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1．故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，熟記期望、方差的公式是解題的關(guān)鍵．10、A【解題分析】

①寫出其否命題，再判斷真假；②寫出其逆命題，再判斷真假；③根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，直接判斷原命題的真假即可；④寫出其逆命題，再判斷真假.【題目詳解】①命題“若，則方程無實(shí)根”的否命題為：“若，則方程有實(shí)根”,為真命題，所以正確.②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題為：“若為等邊三角形，則”為真命題，所以正確.③命題“若，則”為真命題，根據(jù)原命題與逆否命題真假性相同，所以正確.④“若，則的解集為”的逆命題為：“若的解集為，則”當(dāng)時(shí)，不是恒成立的.當(dāng)時(shí),則解得：，所以正確.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查四種命題和互化和真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】解：解：從這批產(chǎn)品中抽取4個(gè)，則事件總數(shù)為個(gè)，其中恰好有一個(gè)二等品的事件有個(gè)，根據(jù)古典概型的公式可知恰好有一個(gè)二等品的概率為12、C【解題分析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要條件的判定方法，即可判定．【題目詳解】由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題使得，則都有，是錯(cuò)誤的；（2）中，已知，正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對(duì)稱軸的方程為，所以是正確的；（3）中，回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為（4,5），由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，可得回歸直線方程為是正確；（4）中，當(dāng)時(shí)，可得成立，當(dāng)時(shí)，只需滿足，所以“”是“”成立的充分不必要條件．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

分類討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，剩下2人選其余主食；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，或沒有人選甲選的主食，相加后得到結(jié)果．【題目詳解】分類討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，方法為=18，剩下2人選其余主食，方法為=2，共有方法18×2=36種；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，若有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，方法為3=6；若沒有人選甲選的主食，方法為=6，共有4×2×（6+6）=96種，故共有36+96=1種，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】(1)解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．14、4【解題分析】

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用勾股定理即可求出截得的弦長(zhǎng)【題目詳解】由圓可得則圓心坐標(biāo)為，半徑圓心到直線的距離直線被圓截得的弦長(zhǎng)為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求直線被圓所截的弦長(zhǎng)，由弦長(zhǎng)公式，分別求出半徑和圓心到直線的距離，然后運(yùn)用勾股定理求出弦長(zhǎng)15、【解題分析】

根據(jù)表格數(shù)據(jù)分別求出，代入求出的值，再計(jì)算當(dāng)時(shí)的值?！绢}目詳解】由表格知道代入得即當(dāng)時(shí)故填6【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸直線，屬于基礎(chǔ)題，掌握線性回歸直線過中心點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。16、【解題分析】

作出輔助線，由題意首先找到AE與平面所成角，然后結(jié)合幾何關(guān)系求解線面角的大小即可.【題目詳解】如圖所示，連結(jié)BE,由題意可知：，∵AB⊥平面B1BCC1,∴∠AEB是AE與平面B1BCC1所成的角，，.故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面角的計(jì)算，空間幾何體中的線面關(guān)系等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）第個(gè)等式為.(2)利用個(gè)數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.詳解：（1）第個(gè)等式為；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊,所以當(dāng)時(shí)，原等式成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)原等式成立，即,則當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想對(duì)任何都成立.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是證明n=k+1時(shí)，=.18、(1)答案見解析；(2)大約為63萬元.【解題分析】試題分析：(1)的所有情況是0，1，2，結(jié)合超幾何分布的概率公式即可求得分布列；(2)結(jié)合分布列考查平均值，據(jù)此可得該公司要準(zhǔn)備的紅包總額大約為63萬元.試題解析：(1)捐款額在之間人數(shù)的所有情況是0，1，2，，，，所以捐款額在之間人數(shù)的分布列為：012(2)設(shè)紅包金額為，可得的分布列為：0581015所以.又.故該公司要準(zhǔn)備的紅包總額大約為63萬元.19、（1）；（2）．【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理得到，再由余弦定理得到，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到結(jié)果；（2）根據(jù)余弦定理可知：，根據(jù)重要不等式和a=4得到，即，再由面積，最終得到結(jié)果.【題目詳解】（1）根據(jù)正弦定理可知：，整理得，由余弦定理的推論得，，．（2）根據(jù)余弦定理可知：，且，，即.面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故面積的最大值為．【題目點(diǎn)撥】1．解三角形的應(yīng)用中要注意與基本不等式的結(jié)合，以此考查三角形中有關(guān)邊、角的范圍問題.利用正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式，建立如“”之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，通過基本不等式考查相關(guān)范圍問題;2．注意與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合考查，將兩者結(jié)合起來，既考查解三角形問題，也注重對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算及考查相關(guān)性質(zhì)等;3．正、余弦定理也可能結(jié)合平面向量及不等式考查面積的最值或求面積，此時(shí)注意應(yīng)用平面向量的數(shù)量積或基本不等式進(jìn)行求解.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用誘導(dǎo)公式對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)，得出、的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算出和，再利用兩角差的余弦公式得出的值.【題目詳解】（1）；（2）因?yàn)椤殇J角，且，，，，所以，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，考查利用兩角差的余弦公式求值，解題時(shí)要注意利用已知角去配湊未知角，在利用同角三角函數(shù)求值時(shí)，要考查角的象限或取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21、（1）詳見解析（2）【解題分析】

（1）由已知數(shù)列遞推式可得，又，得，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到，然后分類分組求數(shù)列的前項(xiàng)和．【題目詳解】（1）由已知得代入得又，所以數(shù)列是等比數(shù)列（2）由（1）得，，因?yàn)椋?/p>