2024屆云南省楚雄州永仁一中數(shù)學高二下期末考試試題含解析

2024屆云南省楚雄州永仁一中數(shù)學高二下期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某軍工企業(yè)為某種型號的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生產(chǎn)出的槍管中隨機取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，）A． B． C． D．2．1-2x5展開式中的x3系數(shù)為（A．40 B．-40 C．80 D．-803．若函數(shù)，則（）A．0 B．8 C．4 D．64．設實數(shù)x，y滿足約束條件3x-2y+4≥0x+y-4≤0x-ay-2≤0，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是A．6B．-6C．-1D．15．函數(shù)的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中m，n均大于0，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．166．如下圖所示的圖形中，每個三角形上各有一個數(shù)字，若六個三角形上的數(shù)字之和為36，則稱該圖形是“和諧圖形”，已知其中四個三角形上的數(shù)字之和為二項式的展開式的各項系數(shù)之和.現(xiàn)從0，1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字標在另外兩個三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為（）A． B． C． D．7．已知集合滿足，則集合的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．18．若展開式中只有第四項的系數(shù)最大，則展開式中有理項的項數(shù)為（）A． B． C． D．9．某次戰(zhàn)役中，狙擊手A受命射擊敵機，若要擊落敵機，需命中機首2次或命中機中3次或命中機尾1次，已知A每次射擊，命中機首、機中、機尾的概率分別為0.2、0.4、0.1，未命中敵機的概率為0.3，且各次射擊相互獨立。若A至多射擊兩次，則他能擊落敵機的概率為（）A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.110．已知函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）11．“石頭、剪刀、布”，又稱“猜丁殼”，是一種流行多年的猜拳游戲，起源于中國，然后傳到日本、朝鮮等地，隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展，它傳到了歐洲，到了近代逐漸風靡世界．其游戲規(guī)則是：出拳之前雙方齊喊口令，然后在語音剛落時同時出拳，握緊的拳頭代表“石頭”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸開代表“布”．“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、而“布”又勝過“石頭”．若所出的拳相同，則為和局．小軍和大明兩位同學進行“五局三勝制”的“石頭、剪刀、布”游戲比賽，則小軍和大明比賽至第四局小軍勝出的概率是（）A． B． C． D．12．將5名學生分到三個宿舍，每個宿舍至少1人至多2人，其中學生甲不到宿舍的不同分法有（）A．18種 B．36種 C．48種 D．60種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3.1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，則p（X>4）=14．某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布N（1000，1002），且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1100小時的概率為_________(附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則.15．若不等式|x－a|<1的解集為{x|1<x<3}，則實數(shù)a的值為________．16．由曲線，坐標軸及直線圍成的圖形的面積等于______。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).證明：；已知，證明：.18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，且，.（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法予以證明.19．（12分）如圖在直三棱柱中，，為中點．（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）若，且，求二面角的余弦值．20．（12分）把一根長度為5米的繩子拉直后在任意位置剪斷，則剪得兩段的長都不小于1米的概率為________．21．（12分）如圖直線經(jīng)過圓上的點，OA=OB，CA=CB，圓交直線于點、，其中在線段上，連接、.（1）證明：直線是圓的切線；（2）若，圓的半徑為，求線段的長.22．（10分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)已知可得，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.【題目詳解】.故選：C【題目點撥】本題考查正態(tài)分布中兩個量和的應用，以及正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題.2、D【解題分析】

由二項式定理展開式的通項公式，賦值即可求出?！绢}目詳解】1-2x5展開式的通項公式是T令r=3，所以x3系數(shù)為C53【題目點撥】本題主要考查如何求二項式定理的展開式中某一項的系數(shù)。3、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)解析式可求得，結合函數(shù)奇偶性可得到，從而得到結果.【題目詳解】由題意得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應用，關鍵是能夠根據(jù)解析式確定為定值，從而求得結果.4、D【解題分析】試題分析：畫出不等式組表示的區(qū)域如圖，從圖形中看出當不成立，故，當直線經(jīng)過點時,取最大值，即，解之得，所以應選D.考點：線性規(guī)劃的知識及逆向運用．【易錯點晴】本題考查的是線性約束條件與數(shù)形結合的數(shù)學思想的求參數(shù)值的問題,解答時先構建平面直角坐標系,準確的畫出滿足題設條件3x-2y+4≥0x+y-4≤0x-ay-2≤0的平面區(qū)域,然后分類討論參數(shù)的符號,進而移動直線,發(fā)現(xiàn)當該直線經(jīng)過點時取得最大值,以此建立方程,通過解方程求出參數(shù)的值.5、C【解題分析】

試題分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2時，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2?=8，當且僅當m=，n=時取等號．故選C．考點：基本不等式在最值問題中的應用．6、B【解題分析】

先求得二項式的展開式的各項系數(shù)之和為.然后利用列舉法求得在一共個數(shù)字中任選兩個，和為的概率，由此得出正確選項.【題目詳解】令代入得，即二項式的展開式的各項系數(shù)之和為.從0，1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字方法有：共種，其中和為的有共兩種，所以恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為，故選B.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和，考查列舉法求古典概型概率問題，屬于基礎題.7、B【解題分析】

利用列舉法，求得集合的所有可能，由此確定正確選項.【題目詳解】由于集合滿足，所以集合的可能取值為，共種可能.故選：B【題目點撥】本小題主要考查子集和真子集的概念，屬于基礎題.8、D【解題分析】

根據(jù)最大項系數(shù)可得的值，結合二項定理展開式的通項，即可得有理項及有理項的個數(shù).【題目詳解】展開式中只有第四項的系數(shù)最大，所以，則展開式通項為，因為，所以當時為有理項，所以有理項共有4項，故選：D.【題目點撥】本題考查了二項定理展開式系數(shù)的性質(zhì)，二項定理展開式通項的應用，有理項的求法，屬于基礎題.9、A【解題分析】每次射擊，命中機首、機中、機尾的概率分別為,未命中敵機的概率為,且各次射擊相互獨立，若射擊一次就擊落敵機，則他擊中利敵機的機尾，故概率為；若射擊次就擊落敵機，則他次都擊中利敵機的機首，概率為；或者第一次沒有擊中機尾、且第二次擊中了機尾，概率為,若至多射擊兩次，則他能擊落敵機的概率為,故選.10、D【解題分析】

由方程的解與函數(shù)圖象的交點關系得：方程有五個不同的實數(shù)根等價于的圖象與的圖象有5個交點，作圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可。利用導數(shù)求過某點的切線方程得：過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，得解．【題目詳解】設，則的圖象與的圖象關于原點對稱，方程有五個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)的圖象與的圖象有5個交點，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可，設過原點的直線與切于點，，由，則過原點的直線與相切，，又此直線過點，所以，所以，即（e），即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，故選．【題目點撥】本題主要考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題的關系應用及利用導數(shù)求切線方程。11、B【解題分析】根據(jù)“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，而“布”又勝“石頭”，可得每局比賽中小軍勝大明、小軍與大明和局和小軍輸給大明的概率都為，∴小軍和大年兩位同學進行“五局三勝制”的“石頭、剪刀、布”游戲比賽，則小軍和大年比賽至第四局小軍勝出，由指前3局中小軍勝2局，有1局不勝，第四局小軍勝，∴小軍和大年比賽至第四局小軍勝出的概率是：.故選B.12、D【解題分析】試題分析：當甲一人住一個寢室時有：種，當甲和另一人住一起時有：，所以有種.考點：排列組合.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.1587【解題分析】

P(3≤X≤4)=12P(2≤X≤4)=0.3413,

觀察如圖可得,

∴P(X>4)=0.5-P(3≤X≤4)=0.5-0.3413

=0.1587考點：正態(tài)分布點評：隨機變量～N(μ,δ2)中，14、【解題分析】

先通過信息計算出每個電子元件使用壽命超過1100小時的概率，再計算該部件的使用壽命超過1100小時的概率．【題目詳解】由于三個電子元件的使用壽命都符合正態(tài)分布N（1000，1002），且.每個電子元件使用壽命超過1100小時的概率故該部件的使用壽命超過1100小時的概率【題目點撥】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)應用及相互獨立事件的概率求解，屬于中檔題．15、2.【解題分析】分析：由題意可得，1和3是方程|x－a|＝1的根，代入即可.詳解：由題意可得，1和3是方程|x－a|＝1的根，則有解得a＝2.故答案為：2.點睛：本題考查絕對值不等式的解法，考查等價轉(zhuǎn)化思想與方程思想的應用.16、1【解題分析】

根據(jù)定積分求面積【題目詳解】.【題目點撥】本題考查利用定積分求面積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析；證明見解析.【解題分析】

(1)，于是證明即可，左邊可由所證得到；（2）即證，表示成含n的表達式，利用數(shù)學歸納法可證.【題目詳解】令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，即①當時，由①可得，即，即由可知②下面用數(shù)學歸納法證明當時，，結論成立；假設時，結論成立，即；當時，設，其中，則在上單調(diào)遞增又，數(shù)列單調(diào)遞增，故由歸納假設和中結論時結論成立，即結合②可得，即【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)證明不等式，數(shù)列與數(shù)學歸納法的運用，意在考查學生的分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度較大.18、（1），，（2）猜想，證明見解析.【解題分析】

1利用代入計算，可得結論；2猜想，然后利用歸納法進行證明，檢驗時等式成立，假設時命題成立，證明當時命題也成立．【題目詳解】1，且，當時，，，當時，，，或舍，當時，，，或舍，，，；2由1猜想，下面用數(shù)學歸納法證明：①當時，，顯然成立，②假設時，結論成立，即，則當時，由，有，，，或舍，時結論成立，由①②知當，均成立．【題目點撥】本題考查了歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：驗證成立；假設成立；利用已知條件證明也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法，屬中檔題．19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（I）連結，由題意可證得，從而得為中點，所以，又由題意得得，所以得．（也可通過面面垂直證線面垂直）（II）由題意可得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量分別為，，由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值．試題解析：（I）證明：連結，∵平面平面，平面，∴，∵為中點，∴為中點，∵，∴①，法一：由平面，平面，得，②，由①②及，所以平面．法二：由平面，平面，∴平面平面，又平面平面,所以平面．（II）解：由，得，由（I）知，又，得，∵，∴，∴兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，得，，設是平面的一個法向量，由，得,令，得，設為平面的一個法向量，由，得.令，得，∴根據(jù)題意知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．點睛：向量法求二面角大小的兩種方法（1）分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，解題時要注意結合實際圖形判斷所求二面角為銳角還是鈍角．（2）分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小