2024屆江蘇省如皋市數(shù)學高二第二學期期末考試試題含解析

2024屆江蘇省如皋市數(shù)學高二第二學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中，系數(shù)最小的項為（）A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項2．設集合,，則（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．4．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復平面內(nèi)所對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．某單位有職工160人，其中業(yè)務員有104人，管理人員32人，后勤服務人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一個容量為20的樣本，則抽取管理人員()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人6．已知定義域為正整數(shù)集的函數(shù)滿足，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．7．設，，，，則（）A． B． C． D．8．在同一坐標系中，將曲線變?yōu)榍€的伸縮變換公式是（）A． B． C． D．9．供電部門對某社區(qū)位居民2017年12月份人均用電情況進行統(tǒng)計后，按人均用電量分為，，，，五組，整理得到如下的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是A．月份人均用電量人數(shù)最多的一組有人B．月份人均用電量不低于度的有人C．月份人均用電量為度D．在這位居民中任選位協(xié)助收費，選到的居民用電量在一組的概率為10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．11．如果，那么的值是（）A． B． C． D．12．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x)=f(x+4),且x∈(-1,0)時,f(x)=2x+A．1B．45C．-1D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平面四邊形中，，，，.若點為上的動點，則的最小值為______.14．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為__．15．參數(shù)方程（為參數(shù)，且）化為普通方程是_________；16．圓：在矩陣對應的變換作用下得到了曲線，曲線的矩陣對應的變換作用下得到了曲線，則曲線的方程為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一個商場經(jīng)銷某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，每位顧客采用的分期付款次數(shù)的分布列為：123450.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；采用2期或3期付款，其利潤為250元；采用4期或5期付款，其利潤為300元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．(1)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位采用1期付款的概率；(2)求的分布列及期望．18．（12分）在平面直角坐標系xoy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθy=2+2sinθ(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=1-22（1）寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標方程（2）若直線l與曲線的C兩個交點分別為M,N,直線l與x軸的交點為P,求PM?19．（12分）在中，，，的對邊分別為，，，若，（1）求的大?。唬?）若，，求，的值.20．（12分）甲、乙、丙3人均以游戲的方式?jīng)Q定是否參加學校音樂社團、美術社團，游戲規(guī)則為：①先將一個圓8等分（如圖），再將8個等分點，分別標注在8個相同的小球上，并將這8個小球放入一個不透明的盒子里，每個人從盒內(nèi)隨機摸出兩個小球、然后用摸出的兩個小球上標注的分點與圓心構造三角形.若能構成直角三角形，則兩個社團都參加；若能構成銳角三角形，則只參加美術社團；若能構成鈍角三角形，則只參加音樂社團；若不能構成三角形，則兩個社團都不參加.②前一個同學摸出兩個小球記錄下結果后，把兩個小球都放回盒內(nèi)，下一位同學再從盒中隨機摸取兩個小球．（1）求甲能參加音樂社團的概率；（2）記甲、乙、丙3人能參加音樂社團的人數(shù)為隨機變量，求的分布列、數(shù)學期望和方差21．（12分）如圖，四核錐中，，是以為底的等腰直角三角形，，為中點，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）已知．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當時，證明對于任意的成立．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由題設可知展開式中的通項公式為，其系數(shù)為，當為奇數(shù)時展開式中項的系數(shù)最小，則，即第8項的系數(shù)最小，應選答案C。2、C【解題分析】

先求出集合、，再利用交集的運算律可得出集合.【題目詳解】，，因此，，故選C.【題目點撥】本題考查集合的交集運算，考查學生對于集合運算律的理解應用，對于無限集之間的運算，還可以結合數(shù)軸來理解，考查計算能力，屬于基礎題．3、C【解題分析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，可求得首項和公差，然后可求出值。詳解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以由等差數(shù)列通項公式得，解方程組得所以所以選C點睛：本題考查了等差數(shù)列的概念和通項公式的應用，屬于簡單題。4、B【解題分析】分析：把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出的坐標即可得到結論.詳解：，，在復平面內(nèi)所對應的點坐標為，位于第二象限，故選B.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.5、B【解題分析】

根據(jù)分層抽樣原理求出應抽取的管理人數(shù)．【題目詳解】根據(jù)分層抽樣原理知，應抽取管理人員的人數(shù)為：故選：B【題目點撥】本題考查了分層抽樣原理應用問題，是基礎題．6、A【解題分析】分析：通過求出，再利用等差數(shù)列的求和公式即可求得答案.詳解：當時，有；當時，有；當時，有；…...，.故答案為：A.點睛：本題主要考查了數(shù)列求和以及通項公式的求法，考查計算能力與分析能力，屬于中檔題.7、A【解題分析】

根據(jù)條件，令，代入中并取相同的正指數(shù)，可得的范圍并可比較的大小；由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可判斷的范圍，進而比較的大小.【題目詳解】因為令則將式子變形可得，因為所以由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知綜上可得故選：A.【題目點撥】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式大小比較，指數(shù)冪的運算性質(zhì)應用，對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)應用，屬于基礎題.8、C【解題分析】

根據(jù)新舊兩個坐標的對應關系，求得伸縮變換的公式.【題目詳解】舊的，新的，故，故選C.【題目點撥】本小題主要考查曲線的伸縮變換公式，屬于基礎題，解題關鍵是區(qū)分清楚新舊兩個坐標的對應關系.9、C【解題分析】根據(jù)頻率分布直方圖知，12月份人均用電量人數(shù)最多的一組是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正確；12月份人均用電量不低于20度的頻率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正確；12月份人均用電量為5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C錯誤；在這1000位居民中任選1位協(xié)助收費,用電量在[30,40)一組的頻率為0.1，估計所求的概率為，∴D正確.故選C.10、D【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球，據(jù)此可以計算出結果.【題目詳解】解：由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球.表面積.故選：D.【題目點撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，屬于基礎題.11、D【解題分析】

由誘導公式，可求得的值，再根據(jù)誘導公式化簡即可．【題目詳解】根據(jù)誘導公式，所以而所以選D【題目點撥】本題考查了誘導公式在三角函數(shù)式化簡中的應用，屬于基礎題．12、C【解題分析】試題分析：由于，因此函數(shù)為奇函數(shù)，，故函數(shù)的周期為4，，即，，，故答案為C考點：1、函數(shù)的奇偶性和周期性；2、對數(shù)的運算二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

建立直角坐標系，得出，，利用向量的數(shù)量積公式即可得出，結合，得出的最小值.【題目詳解】因為，所以以點為原點，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，所以，又因為，所以直線的斜率為，易得，因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，所以，設點坐標為，則，則，，所以又因為，所以當時，取得最小值為．【題目點撥】本題主要考查平面向量基本定理及坐標表示、平面向量的數(shù)量積以及直線與方程．14、【解題分析】

由三視圖可分析，幾何體應是相同的兩個三棱錐，并排放置，并且三棱錐的某個頂點的三條棱兩兩垂直，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)直接計算體積.【題目詳解】由三視圖可分析，幾何體應是相同的兩個三棱錐，并排放置，并且三棱錐的某個頂點的三條棱兩兩垂直，.故填：.【題目點撥】本題考查了根據(jù)三視圖計算幾何體的體積，屬于簡單題型.15、【解題分析】

利用消去參數(shù)可得普通方程?！绢}目詳解】由題意，即，又，∴所求普通方程為。故答案為：?！绢}目點撥】本題考查參數(shù)方程化為普通方程，應用消元法可得，但要注意變量的取值范圍，否則會出錯。16、【解題分析】分析：詳解：，設為曲線上任意一點，是圓：上與P對應的點，，得，，是圓上的點，的方程為，即.故答案為：.點睛：本題考查了幾種特殊的矩陣變換，體現(xiàn)了方程的數(shù)學思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解題分析】試題分析：（1）每位顧客采用1期付款的概率為，3位顧客采用1期付款的人數(shù)記為，則，（2）分別計算利潤為200元、250元、300元的概率，再列出分布列和期望；試題解析：（1）；（2）η的可能取值為200元，250元，300元.P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2.η的分布列為：

200

250

300

P

0.4

0.4

0.2

E（η）＝200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）.考點：1.二項分布；2.分布列與數(shù)學期望；18、（2）x+y-1=0，ρ=4sinθ；（2）2.【解題分析】分析：(2)消去參數(shù)t可得直線l的普通方程為x＋y－2＝2．曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝2．化為極坐標即ρ＝4sinθ．(2)聯(lián)立直線參數(shù)方程與圓的一般方程可得t2－32t＋2＝2，結合直線參數(shù)的幾何意義可得|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．詳解：(2)直線l的參數(shù)方程為x=1-22ty=消去參數(shù)t，得x＋y－2＝2．曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθy=2+2sinθ(θ為參數(shù)利用平方關系，得x2＋(y－2)2＝4，則x2＋y2－4y＝2．令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的極坐標方程為ρ＝4sinθ．(2)在直線x＋y－2＝2中，令y＝2，得點P(2，2)．把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t2－32t＋2＝2，∴t2＋t2＝32，t2t2＝2．由直線參數(shù)方程的幾何意義，|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．點睛：本題主要考查參數(shù)方程與直角坐標方程、極坐標方程與普通方程之間的轉化方法，直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19、（1）（2），或，.【解題分析】分析：（1）利用正弦定理把化成，即為，從而解得.（2）利用余弦定理及構建關于的方程，解出.詳解：（1）由已知得，∴.∵，∴.∵，所以，∴，所以（2）∵，即，∴∴，又∵，∴，或，點睛：三角形中共有七個幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個量（除三個角外），可以求得其余的四個量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.20、(1)；(2)分布列見解析；數(shù)學期望；方差【解題分析】

（1）先求得基本事件的總數(shù)為，然后計算出與圓心構成直角三角形或鈍角三角形的取法數(shù)之和，再利用古典概型概率計算公式，求得所求概率.（2）利用二項分布概率計算公式，計算出分布列，并求得數(shù)學期望和方差.【題目詳解】解：（1）從盒中隨機摸出兩個小球，即是從8個等分點中隨機選取兩個不同的分點，共有種，其中與圓心構成直角三角形的取法有8種:，與圓心構成鈍角三角形的取法有種:.所以甲能參加音樂社團的概率為：.（2）由題意可知：，的可能取值為：0,1,2,3.所以的分布列為：0123數(shù)學期望方差【題目點撥】本小題主要考查古典概型概率計算，考查二項分布分布列、期望和方差的計算，屬于中檔題.21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）過作垂線，垂足為，由得，．又，可得平面，即可證明．（Ⅱ）易得到平面距離等于到平面距離．過作垂線，垂足為，在中，過作垂線，垂足為，可證得：平面．求得：，從而，即可求解.【題目詳解】(Ⅰ)過作垂線，垂足為，由得，．又，∴平面，∴平面平