《微積分在生活中的應(yīng)用》5500字

微積分在生活中的應(yīng)用TOC\o"1-3"\h\u96281.微積分在生活中應(yīng)用的必要性和重要性 1243632.微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用 1190942.1.速度 115322.2.變力做功 4186973.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 455253.1.邊際 4201023.2.彈性 7268554.微積分在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 8100704.1.函數(shù)極值問題 9275944.2.切線問題 10260725.總結(jié)語 1120967參考文獻(xiàn) 13微積分是\t"/item/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86/_blank"高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的\t"/item/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86/_blank"微分、\t"/item/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86/_blank"積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。微積分是對(duì)事物發(fā)生變化進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的主要手段，包含了\t"/item/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86/_blank"極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分學(xué)、積分學(xué)等的知識(shí)應(yīng)用，其中極限的概念和理論是關(guān)鍵內(nèi)容。而且隨著應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，它也可用相應(yīng)的符號(hào)來進(jìn)行討論，如三角函數(shù)曲線，速度，加速度和斜率k等，也包括了積分的運(yùn)算，并且為了算面積和體積提供了可行的辦法。數(shù)學(xué)對(duì)于研究者來說是解決問題和支撐研究結(jié)果的基本方法。隨著信息技術(shù)的不斷突破，現(xiàn)在的實(shí)際問題越來越困難復(fù)雜，如果只是利用初等數(shù)學(xué)知識(shí)理論很明顯已經(jīng)不能滿足對(duì)問題進(jìn)行解決，這時(shí)候就需要更加深層次的知識(shí)。此時(shí)微積分相關(guān)知識(shí)理論可以為分析問題和解決問題提供更加可靠的支撐。因?yàn)樗且环N先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。在數(shù)學(xué)這棵大樹里，微積分就是樹干的主要部分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一?？陀^世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。而且可以利用微積分為宏觀計(jì)算信息提供幫助，在信息化高速發(fā)展的時(shí)代，可以用計(jì)算公式的軟件借助微積分的基礎(chǔ)理論進(jìn)行更高效的數(shù)據(jù)處理，這樣可以讓解決問題的的效率更進(jìn)一步。微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用速度當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的位置x隨時(shí)間t變化而變化，即x=x(t)。物體在到時(shí)間內(nèi)，位置的變化應(yīng)為，所以和的比值表示該時(shí)間內(nèi)的平均速度，用表示，平均速度表示物體在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的快慢。但是對(duì)于某一時(shí)刻的情況，用平均速度是反映不出來的，需要用到瞬間速度，它是路程變化和變化發(fā)生所需時(shí)間之間的比值，即。它是物體在某一時(shí)刻或通過某一位置時(shí)的時(shí)速，以及與該時(shí)間相鄰的無限短時(shí)候內(nèi)的位移與通過位移所用時(shí)刻的比值。若使→0，這時(shí)內(nèi)的平均速度就趨于瞬時(shí)速度。所以瞬時(shí)速度v可表示為:如果想知道速度隨時(shí)間的變化程度，就需要知道什么是加速度。加速度是速度變化和變化發(fā)生所需時(shí)間之間的比值，即，是描述物體速度變化快慢的\t"/item/%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%BA%A6/_blank"物理量，通常用a表示。根據(jù)之前的瞬時(shí)速度為切入點(diǎn)，取→0的極限即可得瞬時(shí)加速度:例1：已知A、B兩市相距3200m，一輛汽車從A市出發(fā)，向B市駛?cè)ィ撈囎鲎兯龠\(yùn)動(dòng)，啟動(dòng)時(shí)候的加速度=3.2，且做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B市之前，做的是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度=12.8，到達(dá)B市時(shí)便停止了。試求出汽車從A市到B市的最短時(shí)間，同時(shí)在這種情況下最大的速度。解：從題中知道A、B兩市相距s=3200m，啟動(dòng)時(shí)加速度為，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度。汽車在整段運(yùn)動(dòng)中分為3個(gè)不同的階段，勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻速運(yùn)動(dòng)、勻減速直線運(yùn)動(dòng)。其中，勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則將t視為最大速度v的函數(shù)并進(jìn)行求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于0，則帶入數(shù)據(jù)得v=128m/s所以，汽車從勻加速直線運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)速度達(dá)到128m/s后轉(zhuǎn)為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，這樣運(yùn)動(dòng)時(shí)間為最短為50s。在圖像中我們都知道物體勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)它們圍成的面積就是物體運(yùn)動(dòng)的位移的大?。▓D1）。圖SEQ圖\*ARABIC1當(dāng)一個(gè)物體以不均勻的速度移動(dòng)時(shí)（圖2），我們能將時(shí)間分割成許多段。在每一段中，它們近似地被視為勻速運(yùn)動(dòng)，因此每一段的面積就是每一段的位移。然后把所有分段的面積加起來，總面積就是總位移。TVTV圖SEQ圖\*ARABIC2處理曲線的時(shí)候，我們把時(shí)間切成很多塊，用每一個(gè)小塊的面積之和去無限接近總面積，這就是積分的思想。變力做功微積分在物理學(xué)中的形式千變?nèi)f化。不同的函數(shù)在物理學(xué)中有不同的含義。比如上面提到的速度問題。當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)有規(guī)律地運(yùn)動(dòng)時(shí)，它會(huì)在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生位移。當(dāng)時(shí)間無限接近0時(shí)，位移與時(shí)間之比的極限為瞬間速度。此外，微積分還能表示機(jī)械做功的快慢。當(dāng)機(jī)械在一段時(shí)間內(nèi)做功時(shí)，當(dāng)時(shí)間接近0時(shí)，通過機(jī)器所做的功與時(shí)間之比的極限即是瞬間功率。不僅如此，微積分還可表示機(jī)械做功的快慢，如某機(jī)械在一段時(shí)間內(nèi)做功時(shí)，當(dāng)時(shí)間的變化量趨近于0，機(jī)械所做的功與所用時(shí)間的比值的極限就是到瞬時(shí)功率。求質(zhì)點(diǎn)在變力作用下沿著曲線從起點(diǎn)到終點(diǎn)的總功。微積分是研究變力做功問題的最佳方法，對(duì)變力做功的每一個(gè)變化過程進(jìn)行微分，然后對(duì)微分范圍內(nèi)的力做功進(jìn)行計(jì)算分析，再對(duì)范圍內(nèi)的功進(jìn)行積分，這樣可以得到變力做功的多少，這種計(jì)算方法是計(jì)算變力做功最準(zhǔn)確的方法。若力的方向是變化的，我們也可以對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑進(jìn)行微分，每一個(gè)微分范圍內(nèi)的力的方向可以看作是不變的元位移（表示極小的位移）內(nèi)所做的功，因?yàn)樵谠灰粕厦娴牧梢钥醋鍪呛愣ú蛔兊?，之后再?duì)每一微分的部分的做功進(jìn)行計(jì)算分析，積分后即可得出。例：質(zhì)量為的木塊套在光滑的直桿上，一根輕繩（不可伸長）跨過固定的光滑小環(huán)，孔的直徑遠(yuǎn)小于它到桿的距離。繩子的端頭作用恒力，，木塊在處有向上的速度，求木塊被拉到時(shí)的速度。圖3解：木塊從A到B受到3個(gè)力的作用，雖然力的大小沒發(fā)生改變，但是力的方向在不斷變化，所以此題為變力做功。以地面為參考系建立坐標(biāo)系圖4三個(gè)變力做功分別為:由動(dòng)能定理可得,帶入數(shù)據(jù)可以得到微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用邊際微積分與經(jīng)濟(jì)工作緊密相連，所以在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的微積分的應(yīng)用有很多種，比如利用微積分進(jìn)行邊際分析和彈性分析、最值分析等。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，描述兩個(gè)變量之間的變化會(huì)經(jīng)常用到“邊際”這個(gè)詞匯。邊際一詞表示自變量x的變化量無限接近于0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)y相應(yīng)的變化量和自變量的變化量之間的比值的變化。從對(duì)邊際的描述我們可以看出邊際就是微積分中的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的表現(xiàn)形式，表示對(duì)自變量x的一階導(dǎo)數(shù)稱為的邊際函數(shù),記作。所以邊際函數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義：在一定范圍內(nèi),當(dāng)自變量x改變后，目標(biāo)函數(shù)的增加量。邊際函數(shù)經(jīng)濟(jì)意義的含義會(huì)隨著經(jīng)濟(jì)變量x和y的具體含義的不同,也有相應(yīng)的變化。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際涉及到很多方面，如邊際成本、邊際需求、邊際利潤等等，它們都可以通過數(shù)學(xué)來表達(dá)出來。其含義為表所示：函數(shù)表達(dá)式經(jīng)濟(jì)意義邊際成本為總成本函數(shù)，是產(chǎn)量為x時(shí)的邊際成本。邊際成本是指生產(chǎn)x個(gè)單位到(x+1)個(gè)單位的成本的增加量?？偝杀拘甭蕿檫呺H成本。邊際收入總收入函數(shù)對(duì)銷量x的變化率即為銷量x的邊際收入邊際收入是指銷售出個(gè)單位到個(gè)單位的收入的增加量?？偸杖肭€的斜率即為邊際收入。邊際利潤時(shí)，邊際利潤是指銷售出個(gè)單位到個(gè)單位的利潤的增加量?？偸杖肭€的斜率即為邊際利潤。例1：投資某個(gè)產(chǎn)品的固定成本為36元，且邊際成本（元/百臺(tái)），試求產(chǎn)量有400臺(tái)增加至600臺(tái)的總成本增加量，及產(chǎn)量是多少時(shí)可以讓平均成本最低。解：由題目可知：邊際成本：C'(X)=2x+40總成本為：C(X)=+40x+36400臺(tái)增加至600臺(tái)的總成本增加量為：(以百臺(tái)為單位)平均成本為：對(duì)上述函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，解得x=6，導(dǎo)數(shù)取最小值。所以產(chǎn)量600臺(tái)時(shí)平均成本最低。例2：某公司對(duì)產(chǎn)品的利潤和產(chǎn)量情況進(jìn)行分析后，得出總利潤L=L(x)（萬元）和每個(gè)月的產(chǎn)量x（千克）的關(guān)系表達(dá)式為：試著確定每月生產(chǎn)20千克，25千克，30千克的邊際利潤，并合理運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。解：由題目可得：總利潤：對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)：所以由結(jié)果可以知道，當(dāng)每個(gè)月產(chǎn)量為20千克時(shí)，每增加1千克，利潤將增加10萬元；當(dāng)每個(gè)月產(chǎn)量為25千克時(shí)，每增加1千克，利潤不發(fā)生改變；當(dāng)每個(gè)月產(chǎn)量為30千克時(shí)，每增加1千克，利潤將減少10萬元。所以對(duì)于一個(gè)公司來講，產(chǎn)品生產(chǎn)的越多利潤并不一定會(huì)增加。彈性在邊際分析中研究的是絕對(duì)變化量與絕對(duì)變化率。但是在實(shí)際生活中，我們不僅要用到邊際分析應(yīng)用，還要研究相對(duì)變化率與相對(duì)變化量，也就是彈性分析。彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中指的是經(jīng)濟(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系，它的大小是兩個(gè)變量之間的比值(彈性系數(shù)).彈性系數(shù)是兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)在一定期間內(nèi)的增長速度之比率。它衡量一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的增長率對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的增長率的依賴性。彈性公式：若用兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量來表達(dá)其函數(shù)關(guān)系,以分別表示x,y的變化量，用e來表示彈性系數(shù)當(dāng)x的變化量趨近于0時(shí)，彈性系數(shù)表示為：與邊際相似，在不同函數(shù)下也有著多種彈性。比如需求彈性，收入彈性，供給彈性等等。例如，在需求彈性，我們通常用價(jià)格彈性系數(shù)來表示：需求彈性系數(shù)=需求變化百分比/價(jià)格變化百分比。Q表示商品的需求量。P表示商品的價(jià)格。當(dāng)需求彈性大于1時(shí)，意味著商品具有彈性或高度彈性。此時(shí)，產(chǎn)品需求的變動(dòng)幅度大于價(jià)格的變化幅度。因此，此時(shí)應(yīng)降價(jià)，使產(chǎn)品需求量升高，從而達(dá)到提高總收入的目的。當(dāng)需求彈性等于1時(shí)，產(chǎn)品為單位彈性。此時(shí)，產(chǎn)品需求的變動(dòng)等于價(jià)格的變動(dòng)。因此，無論價(jià)格怎么變化，對(duì)總收入的影響都很小。當(dāng)需求彈性小于1時(shí)，意味著商品缺少彈性或低彈性。此時(shí)，產(chǎn)品需求的變化幅度小于價(jià)格的變化幅度。因此，當(dāng)物價(jià)上漲時(shí)，總收入就會(huì)提高。例2：一個(gè)工廠試著分析它的銷售量和價(jià)格政策，從而確定年生產(chǎn)水平。價(jià)格P與需求Q的關(guān)系為P＋3=500，可變成本為，假設(shè)生產(chǎn)水平等于其需求水平Q，固定成本為7000/年。求實(shí)現(xiàn)利潤最大化的時(shí)的需求彈性解：由題目可得：總收入函數(shù)：總成本函數(shù)：C(Q)=利潤函數(shù)：若求利潤最大，需對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)L’(Q)=0時(shí)最大。L’(Q)=-2Q+80，求得Q=40時(shí)利潤最大。當(dāng)Q=40時(shí)，P=500-120=380=-380/120=-3.16所以在P=380的基礎(chǔ)上每增加1%，就會(huì)減少3.16%的需求量。微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)用到的知識(shí)不僅僅是這些。數(shù)學(xué)作為經(jīng)濟(jì)分析的工具可以讓分析變得更加精準(zhǔn)。微積分在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用微積分是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展中的里程碑，它的出現(xiàn)為很多研究提供了重要的方法，加速了人們認(rèn)識(shí)世界。通過多次的教學(xué)變革，微積分也進(jìn)入了中學(xué)的課堂，而且越來越被重視，也是各類數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)，這是由微積分的重要地位決定的。它不僅是高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)，也是培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的重要途徑。微積分跟中學(xué)里的任何一點(diǎn)內(nèi)容都不相同，它所包含的數(shù)學(xué)思想對(duì)于初學(xué)者是一種全新且富有挑戰(zhàn)的。微積分是能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，大部分學(xué)生對(duì)于極限和無窮的概念都能理解的很快，即使一些學(xué)生理解起來有困難，他們也可以利用公式來解題。如果教師能夠用一些淺顯易懂的方法來把這一全新的知識(shí)傳授給學(xué)生，那么對(duì)于學(xué)生來講是理解數(shù)學(xué)，拓展思維的一次飛躍。社會(huì)在不斷發(fā)展，所以人才的需求量也在增加，很多大學(xué)都開始了擴(kuò)招。我認(rèn)為這樣的做法會(huì)導(dǎo)致生源的質(zhì)量下降，會(huì)有很多人無法適應(yīng)大學(xué)里的新學(xué)習(xí)生活。最讓大家頭疼的就是高等數(shù)學(xué)，而微積分又是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以這是原因之一。大學(xué)的教學(xué)模式與中學(xué)是截然不同的，主要是缺少了有強(qiáng)度的反復(fù)練習(xí)，缺少了這樣一步，學(xué)生無法對(duì)已學(xué)習(xí)的微積分知識(shí)進(jìn)行理解和鞏固，導(dǎo)致了許多人對(duì)微積分的知識(shí)都是一知半解，學(xué)習(xí)效果極其差勁。若能將微積分的知識(shí)引入中學(xué)課堂，讓學(xué)生們提前去了解、學(xué)習(xí)的話，這樣學(xué)生可以順利融入大學(xué)學(xué)習(xí)生活中去。函數(shù)極值問題函數(shù)的極值問題，同樣也是函數(shù)的難點(diǎn)之一，也是考試中經(jīng)常要考察的內(nèi)容。那么我們也可以利用微積分來解決。一般的，設(shè)在連續(xù)，在點(diǎn)處的某一空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)x由小增大經(jīng)過的時(shí)候，若：如果的符號(hào)由正變負(fù)，那么原函數(shù)的單調(diào)性為先增后減，所以就是函數(shù)的極大值點(diǎn).

(2)如果的符號(hào)由負(fù)變正，那么原函數(shù)的單調(diào)性為先減后增，所以就是函數(shù)的極小值點(diǎn)

(3)如果的符號(hào)一直不發(fā)生改編變，那么說明不是極值點(diǎn).

特別注意:

[1]駐點(diǎn)(使的點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn))不一定是的極值點(diǎn)例:雖然是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是函數(shù)的極值點(diǎn).

[2]函數(shù)極值點(diǎn)，它的導(dǎo)數(shù)也可能不存在.例如:對(duì)于函數(shù),在x=0處的導(dǎo)數(shù)是不存在的，但是x=0卻是函數(shù)的極小值點(diǎn).

一般的，函數(shù)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，則在[a,b]上的最大值與最小值求取方法:

(1)求函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;

.

(2)計(jì)算的極值點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值;

(3)將函數(shù)的各極值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行對(duì)比例1：求函數(shù)在區(qū)間[-5,5]上的最大值與最小值。先求出極值點(diǎn)，再把區(qū)間兩端的函數(shù)值與極值進(jìn)行比較。解：f’(x)=x2-16=(x+4)(x-4)，令得x=4或x=-4當(dāng)x∈[-5,-4]或x∈[4,5]，f’(x)>0,所以[-5,-4]，[4,5]為f(x)的單調(diào)增區(qū)間。當(dāng)x∈(-4,4)時(shí)，f’(x)<0,所以(-4,4)為f(x)的單調(diào)減區(qū)間。f(-4)=176/3,f(4)=-80/3,f(-5)=163/3,f(5)=-57/3,所以x=-4時(shí)，f(x)最大，f(-4)=179/3x=4時(shí),f(x)最小，f(4)=-80/3切線問題學(xué)生們對(duì)切線也是很熟悉，因?yàn)樵诔踔械臅r(shí)候，已經(jīng)學(xué)會(huì)了圓的切線。圓的切線定義：如果一條直線與一個(gè)圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線是圓的切線