2024屆內(nèi)蒙古喀喇沁旗錦山蒙古族中學高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆內(nèi)蒙古喀喇沁旗錦山蒙古族中學高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線與拋物線交于，兩點，若，則弦的中點到直線的距離等于（）A． B． C．4 D．22．已知，則（）A． B．186 C．240 D．3043．某幾何體的三視圖如圖，其正視圖中的曲線部分為半圓，則該幾何體的表面積為（）．A． B．C． D．4．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C．4033 D．5．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．6．已知10個產(chǎn)品中有3個次品，現(xiàn)從其中抽出若干個產(chǎn)品，要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應抽出的產(chǎn)品個數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．107．將函數(shù)圖象上的點向右平移個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則（）A．，的最小值為 B．，的最小值為C．，的最小值為 D．，的最小值為8．已知圓,在圓中任取一點,則點的橫坐標小于的概率為（）A． B． C． D．以上都不對9．名同學合影，站成了前排人，后排人，現(xiàn)攝影師要從后排人中抽人站前排，其他人的相對順序不變，則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為（）A． B． C． D．10．由曲線，圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．11．下列四個結(jié)論：①在回歸分析模型中，殘差平方和越大，說明模型的擬合效果越好；②某學校有男教師60名、女教師40名，為了解教師的體育愛好情況，在全體教師中抽取20名調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣；③線性相關系數(shù)越大，兩個變量的線性相關性越弱；反之，線性相關性越強；④在回歸方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量增加0.5個單位.其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④C．②③ D．②④12．若是關于x的實系數(shù)方程的一個虛數(shù)根，則（）A．， B．， C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設變量滿足約束條件：,則目標函數(shù)的最小值為．14．乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是,甲贏得比賽的概率是,則的最大值為_____.15．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則的取值范圍為______.16．若是函數(shù)的極值點，則的極小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知平行四邊形中，，，，是邊上的點，且，若與交于點，建立如圖所示的直角坐標系.（1）求點的坐標；（2）求.18．（12分）在直角坐標系中，設傾斜角為的直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于不同的兩點.（1）若，求線段中點的坐標；（2）若，其中，求直線的斜率.19．（12分）平面四邊形中，,為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折得到四面體，點分別為的中點.（Ⅰ）求證：四邊形為矩形；（Ⅱ）當平面平面時，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.21．（12分）在某中學高中某學科競賽中，該中學100名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示．（1）求這100名考生的競賽平均成績（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）；（2）記70分以上為優(yōu)秀，70分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有99%的把握認為該學科競賽成績與性別有關？合格優(yōu)秀合計男生18女生25合計100附：．0.0500.0100.0053.8416.6357.87922．（10分）某種子培育基地新研發(fā)了兩種型號的種子，從中選出90粒進行發(fā)芽試驗，并根據(jù)結(jié)果對種子進行改良.將試驗結(jié)果匯總整理繪制成如下列聯(lián)表：（1）將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為發(fā)芽和種子型號有關；（2）若按照分層抽樣的方式，從不發(fā)芽的種子中任意抽取20粒作為研究小樣本，并從這20粒研究小樣本中任意取出3粒種子，設取出的型號的種子數(shù)為，求的分布列與期望.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】直線4kx﹣4y﹣k=0可化為k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直線恒過定點（，0）∵拋物線y2=x的焦點坐標為（，0），準線方程為x=﹣，∴直線AB為過焦點的直線∴AB的中點到準線的距離∴弦AB的中點到直線x+=0的距離等于2+=.故選B．點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關的小題，很多時可以應用結(jié)論來處理的；平時練習時應多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化．2、A【解題分析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個二項式的乘積的形式，利用兩個二項式的通項公式，就可以求出的會下，最后可以計算出的值.【題目詳解】令，由已知等式可得：，，設的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，正確求出通項公式是解題的關鍵.3、C【解題分析】幾何體是一個組合體，包括一個三棱柱和半個圓柱，三棱柱的是一個底面是腰為的等腰直角三角形，高是，其底面積為：，側(cè)面積為：；圓柱的底面半徑是，高是，其底面積為：，側(cè)面積為：；∴組合體的表面積是，本題選擇C選項.點睛：(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．4、C【解題分析】,選C.5、B【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．【題目詳解】f′（x）=+2ax，若f（x）在區(qū)間（，2）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故選：B．【題目點撥】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)有解以及函數(shù)的最值的求法，可以用變量分離的方法求參數(shù)的范圍，也考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．6、C【解題分析】

根據(jù)題意，設至少應抽出個產(chǎn)品，由題設條件建立不等式，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解：要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，設至少抽出個產(chǎn)品，則基本事件總數(shù)為，要使這3個次品全部被抽出的基本事件個數(shù)為，由題設知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿足不等式，因為求的最小值，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查概率的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理的進行等價轉(zhuǎn)化.7、A【解題分析】由題意得由題意得所以，因此當時，的最小值為，選A.點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.8、C【解題分析】分析：畫出滿足條件的圖像，計算圖形中圓內(nèi)橫坐標小于的面積，除以圓的面積。詳解：由圖可知，點的橫坐標小于的概率為，故選C點睛：幾何概型計算面積比值。9、C【解題分析】分析：首先從后排的7人中選出2人，有C72種結(jié)果，再把兩個人在5個位置中選2個位置進行排列有A52，利用乘法原理可得結(jié)論．詳解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，首先從后排的7人中選出2人，有C72種結(jié)果，再把兩個人在5個位置中選2個位置進行排列有A52，∴不同的調(diào)整方法有C72A52，故選：C點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．10、C【解題分析】圍成的封閉圖形的面積為，選C.11、D【解題分析】

根據(jù)殘差的意義可判斷①；根據(jù)分成抽樣特征，判斷②；根據(jù)相關系數(shù)的意義即可判斷③；由回歸方程的系數(shù)，可判斷④．【題目詳解】根據(jù)殘差的意義，可知當殘差的平方和越小，模擬效果越好，所以①錯誤；當個體差異明顯時，選用分層抽樣法抽樣，所以②正確；根據(jù)線性相關系數(shù)特征，當相關系數(shù)越大，兩個變量的線性相關性越強，所以③錯誤；根據(jù)回歸方程的系數(shù)為0.5，所以當解釋變量每增加一個單位時，預報變量增加0.5個單位.綜上，②④正確，故選D.【題目點撥】本題考查了統(tǒng)計的概念和基本應用，抽樣方法、回歸方程和相關系數(shù)的概念和性質(zhì)，屬于基礎題．12、D【解題分析】

利用實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關系即可得出．【題目詳解】解：∵1i是關于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復數(shù)根，∴1i是關于x的實系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個復數(shù)根，∴，解得b＝﹣2，c＝1．故選：D．【題目點撥】本題考查了實系數(shù)一元二次的虛根成對原理、根與系數(shù)的關系，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．【題目詳解】的幾何意義為區(qū)域內(nèi)點到點G（0，-1）的斜率，

作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：

由圖象可知，AG的斜率最小，

由解得，即A（2，1），

則AG的斜率k=＝1，

故答案為1【題目點撥】本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及直線斜率的計算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．14、【解題分析】分析：采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：甲凈勝二局，前二局甲一勝一負，第三局甲勝，由此能求出甲勝概率；進而求得的最大值.詳解：采用三局兩勝制，

則甲在下列兩種情況下獲勝：（甲凈勝二局），（前二局甲一勝一負，第三局甲勝）．因為與互斥，所以甲勝概率為則設即答案為.，注意到，則函數(shù)在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，最大值為即答案為.點睛：本題考查概率的求法和應用以及利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．15、【解題分析】

將已知等式化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得，已知，由余弦定理和基本不等式，求出的最大值，結(jié)合，即可求解.【題目詳解】由正弦定理及，得.因為，所以.化簡可得.因為，所以.因為，所以.由已知及余弦定理，得，即，因為，，所以，得，所以，當且僅當時，取等號.又因三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以，所以.故的取值范圍為.故答案為：【題目點撥】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換解三角形，利用基本不等式求最值，屬于中檔題.16、【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，利用極值點，求出a，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極小值即可．【題目詳解】，是的極值點，，即，解得，，，由，得或；由，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

的極小值為．

故答案為：．【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意寫出各點坐標，利用求得點的坐標。（2）根據(jù)求得點的坐標，再計算、，求出數(shù)量積?！绢}目詳解】建立如圖所示的坐標系，則，，，，由，所以，設，則,所以，解得，所以（2）根據(jù)題意可知，所以,所以，從而，?！绢}目點撥】本題考查了平面向量的坐標運算以及數(shù)量積，屬于基礎題。18、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，當時，設點對應參數(shù)為．直線方程為代入曲線的普通方程，得，由韋達定理和中點坐標公式求得，代入直線的參數(shù)方程可得點的坐標；（2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程可得關于參數(shù)的一元二次方程，由已知條件和韋達定理可得，求得的值即得斜率.試題解析：設直線上的點，對應參數(shù)分別為，．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程．（1）當時，設點對應參數(shù)為．直線方程為（為參數(shù)）．代入曲線的普通方程，得，則，所以，點的坐標為．（2）將代入，得，因為，，所以．得．由于，故．所以直線的斜率為．考點：直線的參數(shù)方程與橢圓參數(shù)方程及其在研究直線與橢圓位置關系中的應用.19、（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【解題分析】【試題分析】（1）先運用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定定理證明，進而證明，從而證明四邊形為矩形；（2）先依據(jù)題設條件及面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，再建立空間直角坐標系，運用空間向量的數(shù)量積公式求出平面的一個法向量.進而求出直線與平面所成角的正弦值：解：（Ⅰ）∵點分別為的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形.取的中點，連結(jié).∵為等腰直角三角形，為正三角形，∴,∴平面.又∵平面，∴，由且可得，∴四邊形為矩形.（Ⅱ）由平面分別以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.依題意，設，則，∴.設為平面的一個法向量，則有令，則.∴直線與平面所成角的正弦值.點睛：解答本題的第一問時，先運用三角形中位線定理證得四邊形為平行四邊形，再借助等邊三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定定理證明，進而證明，從而證明四邊形為矩形；解答地二問時先依據(jù)題設條件平面平面及面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，再建立空間直角坐標系求解．20、(1);(2).【解題分析】

（1）由題意結(jié)合遞推關系式可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則.（2）由題意結(jié)合(1)的結(jié)論可得.錯位相減可得數(shù)列的前項和.【題目詳解】（1）①②①-②得，則，在①式中，令，得.數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，.（2）.所以，③則，④③-④得，，.【題目點撥】一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}