湖南省茶陵縣三中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

湖南省茶陵縣三中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若等差數(shù)列的前項和滿足，，則（）A． B．0 C．1 D．32．復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣13．某學(xué)校舉辦科技節(jié)活動，有甲、乙、丙、丁四個團(tuán)隊參加“智能機(jī)器人”項目比賽，該項目只設(shè)置一個一等獎．在評獎揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學(xué)對這四個參賽團(tuán)隊獲獎結(jié)果預(yù)測如下：小張說：“甲或乙團(tuán)隊獲得一等獎”；小王說：“丁團(tuán)隊獲得一等獎”；小李說：“乙、丙兩個團(tuán)隊均未獲得一等獎”；小趙說：“甲團(tuán)隊獲得一等獎”．若這四位同學(xué)中有且只有兩位預(yù)測結(jié)果是對的，則獲得一等獎的團(tuán)隊是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．根據(jù)中央對“精準(zhǔn)扶貧”的要求，某市決定派7名黨員去甲、乙、丙三個村進(jìn)行調(diào)研，其中有4名男性黨員，3名女性黨員現(xiàn)從中選3人去甲村若要求這3人中既有男性，又有女性，則不同的選法共有（）A．35種 B．30種 C．28種 D．25種5．已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．86．已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點，則的最小值為

A． B． C． D．7．已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布曲線如圖所示，若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個點，則落入陰影部分的點數(shù)估計值為（）（附：則）A．6038 B．6587 C．7028 D．75398．觀察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根據(jù)上述規(guī)律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192 B．202 C．212 D．2229．為了得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位10．已知集合則A．[2,3] B．（-2,3] C．[1,2） D．11．下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺)的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30)內(nèi)的概率為()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.612．函數(shù)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))一定存在零點的區(qū)間是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，邊長為的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒粒豆子，粒中有粒落在陰影區(qū)域，則陰影區(qū)域的面積約為__________．14．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式解集為_______．15．若ξ～N，且P（2＜ξ＜4）＝0.4，則P（ξ＜0）＝_____．16．設(shè)某彈簧的彈力與伸長量間的關(guān)系為，將該彈簧由平衡位置拉長,則彈力所做的功為_______焦.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近個月廣告投入量（單位：萬元）和收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：月份廣告投入量收益他們分別用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：（Ⅰ）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；（Ⅱ）殘差絕對值大于的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：（?。┨蕹惓?shù)據(jù)后求出（Ⅰ）中所選模型的回歸方程；（ⅱ）若廣告投入量時，該模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.18．（12分）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．19．（12分）為慶祝黨的98歲生日，某高校組織了“歌頌祖國，緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽．從參加競賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將其成績分為六段，，，，，，到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù)；（2）若從競賽成績在與兩個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，設(shè)這兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于分為事件,求事件發(fā)生的概率.（3）為了激勵同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,現(xiàn)評出一二三等獎,得分在內(nèi)的為一等獎,得分在內(nèi)的為二等獎,得分在內(nèi)的為三等獎.若將頻率視為概率,現(xiàn)從考生中隨機(jī)抽取三名,設(shè)為獲得三等獎的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.20．（12分）在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目.（Ⅰ）3名女生相鄰，有多少種不同的站法？（Ⅱ）女生甲不能站在最左端，有多少種不同的站法？21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點是曲線上一點，若點到曲線的最小距離為，求的值．22．（10分）如圖（1）是一個仿古的首飾盒，其左視圖是由一個半徑為分米的半圓和矩形組成，其中長為分米，如圖（2）.為了美觀，要求.已知該首飾盒的長為分米，容積為4立方分米（不計厚度），假設(shè)該首飾盒的制作費用只與其表面積有關(guān)，下半部分的制作費用為每平方分米2百元，上半部制作費用為每平方分米4百元，設(shè)該首飾盒的制作費用為百元.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時，該首飾盒的制作費用最低？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)仍成等差數(shù)列，則，則，，選B.2、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出．【題目詳解】解：∵復(fù)數(shù)，∴復(fù)數(shù)的虛部是﹣1，故選：D．【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】1.若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預(yù)測都正確,與題意不符;2.若乙獲得一等獎,則只有小張的預(yù)測正確,與題意不符;3.若丙獲得一等獎,則四人的預(yù)測都錯誤,與題意不符;4.若丁獲得一等獎,則小王、小李的預(yù)測正確,小張、小趙的預(yù)測錯誤,符合題意，故選D.【思路點睛】本題主要考查演繹推理的定義與應(yīng)用以及反證法的應(yīng)用，屬于中檔題.本題中，若甲獲得一等獎,則小張、小李、小趙的預(yù)測都正確,與題意不符；若乙獲得一等獎,則只有小張的預(yù)測正確,與題意不符；若丙獲得一等獎,則四人的預(yù)測都錯誤,與題意不符；若丁獲得一等獎,則小王、小李的預(yù)測正確,小張、小趙的預(yù)測錯誤,符合題意.4、B【解題分析】

首先算出名黨員選名去甲村的全部情況，再計算出全是男性黨員和全是女性黨員的情況，即可得到既有男性，又有女性的情況.【題目詳解】從名黨員選名去甲村共有種情況，名全是男性黨員共有種情況，名全是女性黨員共有種情況，名既有男性，又有女性共有種情況.故選：B【題目點撥】本題主要考查組合的應(yīng)用，屬于簡單題.5、B【解題分析】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應(yīng)用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．6、B【解題分析】由題意，，其中，，且，所以.令，則，為增函數(shù).令，得.所以.時，時,所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時,.故選B.點睛：本題的解題關(guān)鍵是將要求的量用一個變量來表示，進(jìn)而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性求最值，本題中有以下幾個難點：（1）多元問題一元化，本題中涉及的變量較多，設(shè)法將多個變量建立等量關(guān)系，進(jìn)而得一元函數(shù)式；（2）含絕對值的最值問題，先研究絕對值內(nèi)的式子的范圍，最后再加絕對值處理.7、B【解題分析】∵隨機(jī)變量，∴，∴，∴落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為個．選B．8、C【解題分析】∵所給等式左邊的底數(shù)依次分別為1，2；1，2，3；1，2，3，4；

右邊的底數(shù)依次分別為3，6，10，（注意：這里，），

∴由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知：第五個等式左邊的底數(shù)為1，2，3，4，5，6，

右邊的底數(shù)為，又左邊為立方和，右邊為平方的形式，

故有，故選C.點睛：本題考查了，所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結(jié)論的推理．它與演繹推理的思維進(jìn)程不同．歸納推理的思維進(jìn)程是從個別到一般，而演繹推理的思維進(jìn)程不是從個別到一般，是一個必然地得出的思維進(jìn)程．解答此類的方法是從特殊的前幾個式子進(jìn)行分析找出規(guī)律．觀察前幾個式子的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個等式左邊為立方和，右邊為平方的形式，且左邊的底數(shù)在增加，右邊的底數(shù)也在增加．從中找規(guī)律性即可.9、D【解題分析】

先利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一這兩個三角函數(shù)的名稱，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【題目詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，故選D．【題目點撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，統(tǒng)一這兩個三角函數(shù)的名稱，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】有由題意可得：，則(-2,3].本題選擇B選項.11、B【解題分析】區(qū)間[22,31)內(nèi)的數(shù)據(jù)共有4個，總的數(shù)據(jù)共有11個，所以頻率為1．4,故選B．12、B【解題分析】

根據(jù)零點存在性定理，即可判斷出結(jié)果.【題目詳解】因為，所以，，，所以，由零點存在定理可得：區(qū)間內(nèi)必有零點.故選B【題目點撥】本題主要考查判斷零點所在的區(qū)間，熟記零點的存在定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.解析：正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率，∴．點睛：本題考查幾何概型的應(yīng)用，處理幾何概型問題的關(guān)鍵在于合理選擇幾何模型（長度、角度、面積和體積等），一般原則是“一個變量考慮長度、兩個變量考慮面積、三個變量考慮體積）.14、【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意求得，由此判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【題目詳解】令，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為，則，解得：．【題目點撥】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15、0.1．【解題分析】

由正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，進(jìn)而得到所以，即可求解.【題目詳解】由題意，隨機(jī)變量，且，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以.【題目點撥】本題主要考查了正態(tài)分布的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布曲線的對稱性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

用力沿著力的方向移動，則所做的功為，代入數(shù)據(jù)求得結(jié)果.【題目詳解】彈力所做的功為：焦本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查函數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠明確彈力做功的公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）應(yīng)該選擇模型①，理由見解析（2）（?。áⅲ窘忸}分析】

（1）結(jié)合題意可知模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，即可。（2）（i）利用回歸直線參數(shù)計算方法，分別得到，建立方程，即可。（ii）把代入回歸方程，計算結(jié)果，即可。【題目詳解】（Ⅰ）應(yīng)該選擇模型①，因為模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高.（Ⅱ）（?。┨蕹惓?shù)據(jù)，即月份為的數(shù)據(jù)后，得；.；.；，所以關(guān)于的線性回歸方程為：.（ⅱ）把代入回歸方程得：，故預(yù)報值約為萬元.【題目點撥】本道題考查了回歸方程的計算方法，難度中等。18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證平面CMD,得,再證，進(jìn)而完成證明．（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求得平面與平面所成二面角的正弦值．【題目詳解】解：（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因為M為上異于C，D的點,且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時，M為的中點.由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量,則即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.【題目點撥】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解，考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題．19、(1)0.06；87.5；87.5；(2)；(3)詳見解析【解題分析】

（1）根據(jù)小矩形的面積之和等于1，列出方程，求得的值，根據(jù)中位數(shù)定義估計中位數(shù)的范圍，在列出方程求解中位數(shù)，再根據(jù)眾數(shù)的定義，即可求解.（2）計算兩組的人數(shù)，再計算抽取的兩人在同一組的概率，即可求解；（3）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量服從二項分布，再利用二項分布的期望公式，即可求解.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，可知樣本的中位數(shù)在第4組中，不妨設(shè)為，則，解得，即樣本的中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可知，樣本的眾數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，在與兩個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生人數(shù)分別為和，設(shè)中兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于5分為事件M，則事件M發(fā)生的概率為，即事件M發(fā)生的概率為.（3）從考生中隨機(jī)抽取三名,則隨機(jī)變量為獲得三等獎的人數(shù),則，由頻率分布直方圖知，從考升中任抽取1人，此生獲得三等獎的概率為，所以隨機(jī)變量服從二項分布，則，，所以隨機(jī)變量的分布列為01230.3430.4410.1890.027所以.【題目點撥】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的求解，其中解答中認(rèn)真審題，熟練頻率分布直方圖的性質(zhì)，正確確定隨機(jī)變量的取值，求得相應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）720種；（Ⅱ）4320種【解題分析】

（Ⅰ）相鄰問題用“捆綁法”；（Ⅱ）有限制元素采取“優(yōu)先法”.【題目詳解】解：（Ⅰ）3名女生相鄰可以把3名女生作為一個元素，和4名男生共有5個元素排列，有種情況，其中3名女生內(nèi)部還有一個排列，有種情況，∴一共有種不同的站法.（Ⅱ）根據(jù)題意，女生甲不能站在最左端