2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷分析與評價

2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷評價一、整體分析：2024年新疆和貴州省的考生即將首次參加“新高考”，因此這次聯(lián)考（后文稱“九省聯(lián)考”）擴大到九省，分別是黑龍江、吉林、安徽、江西、甘肅、河南、新疆、廣西和貴州．隨著備受關(guān)注的九省聯(lián)考數(shù)學(xué)落下帷幕，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)試題發(fā)生巨大變化，題型、題量、分值、難易度等相比往年均有調(diào)整．其中單項選擇題數(shù)量不變，還是8個小題，多項選擇題、填空題和解答題各減少1個小題，多項選擇題和填空題分別由4個小題減少到3個小題，解答題由6個小題減少到5個小題，試題總數(shù)從22個變成了19個，減少了13．6%．相應(yīng)的分值也發(fā)生了變化：多選題（18分），填空題（15分），解答題（77分）．考生的作答時間隨之變得更加充分．這種變化值得我們關(guān)注！九省聯(lián)考試題類型分布表題型題號分值備注單選1—840分每題5分多選9—1118分每題6分填空12—1415分每題7分大題1513分導(dǎo)數(shù)1615分概率統(tǒng)計1715分立體幾何1817分解析幾何1917分新定義新情境考題的順序安排也打破常規(guī)，有所變化．2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)特點是靈活、科學(xué)地確定試題的內(nèi)容、順序和難度．與以往試題相比，各個題目的考查內(nèi)容、排列順序進行了大幅度的調(diào)整，以往壓軸的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題安排在解答題的第1題，即第15題位置，難度大幅度降低，為容易題，估計絕大多數(shù)考生能得滿分；概率與統(tǒng)計試題（第16題）也降低了難度，為常規(guī)題，中等偏易，計算量也不大；19題為壓軸題，安排了新情境試題（背景為密碼學(xué)理論中的蓋莫爾加密體制，后文詳細說明）．這些變化對于打破學(xué)生機械應(yīng)試的套路模式，對促使學(xué)生全面掌握主干知識、提升基本能力具有積極的導(dǎo)向作用．1．基礎(chǔ)題第1，2，3，4，5，9，10，12，13，15，16，17題，共90分，考查的是課程標準所要求必會知識，試題出的都比較簡潔，讀題不困難，計算也不困難．2．中檔題6，7，11題，共16分，讀題不困難，有的題需要多思考，在進行解決問題，沒有什么亮點題，中規(guī)中矩．3．困難題及極難題第8，14，18，19題為壓軸題，共44分，分別涉及解析幾何（雙曲線、拋物線）、條件最值問題和新定義新情境問題．總之，2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷通過改變題目的設(shè)計思路與風(fēng)格，力圖有效地遏制猜題押題、題海戰(zhàn)術(shù)的蔓延．基礎(chǔ)題只要掌握基礎(chǔ)知識、基本原理，就能解決，無需刷題．創(chuàng)新題新穎、靈活、不落俗套，脫離一般的解題套路．試卷打破了試題題型、命題方式、試卷結(jié)構(gòu)的固有模式，增強試題的靈活性，采取多樣的形式、多角度的提問，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，而不僅是學(xué)生刷題和訓(xùn)練的技巧，引導(dǎo)基礎(chǔ)教育扎實實施素質(zhì)教育．二、試卷變化對比：1．考點和題型變化對比2020新高考I卷2021新高考I卷2022新高考I卷2023新高考I卷2024屆九省聯(lián)考題號知識點題號知識點題號知識點題號知識點題號知識點1集合并集計算1交集的概念及運算1交集運算1集合的四則運算、共軛復(fù)數(shù)的概念1中位數(shù)的計算2復(fù)數(shù)除法2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算；共軛復(fù)數(shù)的概念及計算2共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的計算2復(fù)數(shù)的四則運算2橢圓的離心率3排列組合3圓錐中截面的有關(guān)計算3三點共線的向量問題3向量垂直的充要條件3等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前n項和公式4數(shù)學(xué)文化，球計算4求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性4棱臺體積公式4復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性4空間平行于垂直的判斷5積事件的概率公式5基本不等式求積的最大值；橢圓定義及辨析5古典概型5橢圓的離心率5有限制條件的排列組合計算6指數(shù)型函數(shù)模型6正、余弦齊次式的計算；二倍角的正弦公式；給值求值型問題6三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)6直線和圓的位置關(guān)系6動點軌跡、點到直線距離公式7平面向量數(shù)量積7求過一點的切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)7函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)比較大小7充分條件與必要條件、等差數(shù)列7三角恒等變換，二倍角公式、弦化切8函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式8獨立事件的判斷8幾何體的外接球8三角恒等變換（兩角和差，二倍角）8雙曲線幾何性質(zhì)、雙曲線離心率9曲線方程9眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標準差9線線垂直、線面垂直9樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差）9三角函數(shù)輔助角公式、三角函數(shù)圖像及其性質(zhì)10正弦型三角函數(shù)圖形10逆用和、差角的余弦公式化簡、求值；二倍角的余弦公式；數(shù)量積的坐標表示；坐標計算向量的模10函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，零點、對稱中心10在新定義情境下考察理解能力，對數(shù)的運算10復(fù)數(shù)的運算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)11不等式、指數(shù)函數(shù)11切線長；直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值11拋物線的定義、標準方程及其幾何性質(zhì)11抽象函數(shù)為載體，考察奇偶性，賦值法，極值的概念11抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性12新定義的理解和運用12求空間向量的數(shù)量積；立體幾何中的軌跡問題12函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)奇偶性、抽象函數(shù)12球的體積，四面體體積，圓柱體積公式12集合的交集運算、子集運算性質(zhì)13拋物線焦點弦長13根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值13二項式系數(shù)13分類加法原理13（雙空題）圓錐及球的表面積、體積公式14等差數(shù)列的公共項14根據(jù)拋物線方程求焦點或準線；根據(jù)拋物線上的點求標準方程14圓和圓的位置關(guān)系、兩圓的公切線14正四棱臺的體積公式14新定義，條件最值問題15三角函數(shù)應(yīng)用15由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）15導(dǎo)數(shù)的幾何意義15含參三角函數(shù)的零點問題15（解答題，13分）導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值16直棱柱的結(jié)構(gòu)特征16錯位相減法求和；數(shù)與式中的歸納推理16橢圓的定義、弦長問題16雙曲線離心率16（解答題，15分）古典概型概率的計算、離散型隨機變量分布列及數(shù)學(xué)期望17三角函數(shù)組合條件17由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)；利用定義求等差數(shù)列通項公式；求等差數(shù)列前n項和17由遞推公式求通項公式、裂項求和、放縮問題17正弦定理、三角形面積公式17（解答題，15分）線面垂直的證明、二面角的計算18等比數(shù)列18寫出簡單離散型隨機變量分布列；求離散型隨機變量的均值18三角函數(shù)倍角公式、對稱中心、三角函數(shù)最值18線線平行證明、二面角的計算18（解答題，17分）直線與拋物線位置關(guān)系、拋物線中定點問題及最值的解法19古典概型、列聯(lián)表、獨立性檢驗19正弦定理邊角互化的應(yīng)用；幾何圖形中的計算19立體幾何點面距、二面角19導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式19（解答題，17分）新情境問題，離散對數(shù)，對數(shù)式與指數(shù)式互化20線面角的計算20錐體體積的有關(guān)計算；線面垂直證明線線垂直；面面垂直證線面垂直；由二面角大小求線段長度或距離20獨立性檢驗、條件概率、數(shù)學(xué)建模20等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式21導(dǎo)數(shù)、不等式恒成立21求雙曲線的軌跡方程；雙曲線中的定值問題21雙曲線標準方程及其幾何性質(zhì)、雙斜率問題、弦長問題、三角形面積21以馬爾科夫鏈為背景，考察全概率公式，概率乘法公式，數(shù)學(xué)期望的計算；遞推數(shù)列；等比數(shù)列求和22橢圓定點、定值問題22利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題22利用導(dǎo)數(shù)求參變量、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、同構(gòu)問題22拋物線方程及其幾何性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系、拋物線中最值問題（周長不等式）的證明2．考點分布的變化2024九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2020年修訂版）》考點進行規(guī)劃，沒有考查映射、線性規(guī)劃、幾何概型、算法框圖、定積分等內(nèi)容，其他考點繼承了以前高考的特點，重點考查主干知識、注重試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性．3．情境及背景新穎創(chuàng)新探索情境設(shè)置，考查學(xué)習(xí)潛能．選取未見于（或部分見于）學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)歷的新知識或新方法，為情境型材料，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)或拓展遷移試題情境，命制情境化試題．情境可能是考生未見過的，提出的問題是新穎的，解決問題必備知識是高考所要求掌握的，思想方法是高中數(shù)學(xué)重要而典型的．情境題難在情景背后的數(shù)學(xué)化，要求學(xué)生多角度理解、開放地思考問題，并創(chuàng)造性地運用所學(xué)知識去解決新問題，如第14，16，18，19等題．第14題討論的一類最大最小問題在實際應(yīng)用中具有普遍性，題目中的條件或來自于實際問題．如果單純從數(shù)學(xué)的角度，在上面兩個條件中任取其一，已經(jīng)可以構(gòu)成一個完整的數(shù)學(xué)問題．這個題目雖然沒有直接指明應(yīng)用的背景，但實際上體現(xiàn)了試題的應(yīng)用性．第16題考查概率，情境設(shè)置較為新穎，相比常見概率試題有所創(chuàng)新，打破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)題目具有接受性、封閉性和確定性等特征，更加倡導(dǎo)“問題解決”這一數(shù)學(xué)教學(xué)模式，凸顯了核心素養(yǎng)下對數(shù)學(xué)知識的綜合考查．第18，19題更加注重綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，這兩個題分值最高，試題容量明顯增大，對學(xué)科核心素養(yǎng)的考查也更深入．兩個題有各自特點，不適用以傳統(tǒng)“壓軸題”的想法看待其中某一個題．第18題以拋物線為基本情境，第（1）問的考查內(nèi)容屬于解析幾何中的通性通法，第（2）問如果仍使用解析幾何的常規(guī)方法，將導(dǎo)致非常復(fù)雜的計算，可行的解法需要將所求三角形的面積轉(zhuǎn)換為一個適合計算的四邊形面積，然后由基本不等式得到解答．這個解法的關(guān)鍵步驟雖然屬于初中數(shù)學(xué)學(xué)過的平面幾何知識內(nèi)容，但對學(xué)科核心素養(yǎng)之一的直觀想象有很高的要求，能綜合運用不同的幾何方法解決問題也是學(xué)科核心素養(yǎng)水平的重要體現(xiàn)．第19題的試題情境是在密碼學(xué)理論中有重要地位的蓋莫爾（ElGamal）加密體制．在大數(shù)據(jù)時代，數(shù)據(jù)安全問題越來越受到重視．蓋莫爾公鑰密碼體制是在網(wǎng)絡(luò)上進行保密通信和數(shù)字簽名的有效安全算法，應(yīng)用十分廣泛，其數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)就是題目中討論的離散對數(shù)．在蓋莫爾公鑰密碼體制的情境下，題目中的是明文，是公鑰，離散對數(shù)是密鑰，是對加密得到的密文，由得到是解密．對于充分大的素數(shù)和適當(dāng)?shù)?，求解離散對數(shù)是困難的，但其逆運算（離散指數(shù)運算）可以用平方-乘算法快速有效地進行計算，這是蓋莫爾公鑰密碼體制安全有效性的依據(jù)．第19題考查的數(shù)學(xué)內(nèi)容是指數(shù)、對數(shù)的運算以及指數(shù)與對數(shù)的互逆運算等常規(guī)知識點在離散指數(shù)及離散對數(shù)中的遷移，其中第（2）問是證明離散對數(shù)形式上滿足普通對數(shù)的運算規(guī)則，第（3）問本質(zhì)上是進行離散指數(shù)運算，然而更重要的是對邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng)的考查．離散對數(shù)與普通對數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在于同余運算．同余的概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中非常重要的概念，對同余問題的研究也是中國優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的重要部分（如著名的中國剩余定理）．題目中沒有明確引入同余的概念，僅僅使用了余數(shù)概念，這是在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)過的概念．題目中附加了條件兩兩不同，在這個限制條件下不需要一般形式的費馬小定理，簡化了問題敘述，降低了題目難度，通過第（1）問又進一步對給出啟發(fā)性提示．這樣的處理符合多數(shù)考生的實際知識水平和認知能力．第（3）問中的隨機常數(shù)完全來自于實際應(yīng)用，對每一條明文使用隨機選取的是安全性的必要保證．三、重點試題、亮點題、創(chuàng)新題點評：第3題，常規(guī)題，除了可以應(yīng)用方程思想列出基本量（首項、公差）的方程組求解，也可以靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)求解：（快速解法）由已知，，又，，故選C．第5題：解法一（直接法）：甲一定在乙丙中間，否則甲就要在兩端，．解法二（間接法）：先僅考慮乙丙之間恰好有兩人的站法，再減去不符合題意的站法（甲在兩端）：，共16種，故選B．第7題：解法一：由已知，，即，∴，或（舍），故選A．解法二：（拼湊角）∵，∴，∴或又，∴，∴，∴故選A．第8題，解法多，下面列出幾種較簡單的解法：可知，∴，∵，可得，從而．法1：由，平方可得，故的離心率為．法2：∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故的離心率為．法3：∵，∴，，故．由可得，故的離心率為．第14題，背景是切比雪夫最佳逼近線問題，較簡單的解法：解法一：若，則當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號．若，則當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號．解法二：令①若令②若，即令當(dāng)時，例如時可取“＝”，∴．解法三：記，則，且，或，，．①當(dāng)時，，；②當(dāng)時，，即，，當(dāng)，即，也就是對，．綜上，，即的最小值為．解法四：記，則．又，或，∴，或．①當(dāng)，即時，．．②當(dāng)，即時，，，當(dāng)即時，可取得等號．綜上，，即的最小值為．解法五：記，則，，，即，其中．①若，則，令，則，，即②若，則，令，則，，即，，當(dāng)即時，可取“＝”綜上，，即的最小值為．解法六：記．則，．．①若，則由得，，②若，則，，且當(dāng)時，．綜上，，即的最小值為．當(dāng)，由不等式性質(zhì)得，再根據(jù)定義得出最小值．當(dāng)，由不等式性質(zhì)得，再根據(jù)定義得出最小值．解法七：（1）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號．②當(dāng)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號．綜上，的最小值為．第18題，考查拋物線幾何性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系，背景是圓錐曲線的極點極線理論，對圓錐曲線來說，焦點與相應(yīng)的準線是極點與極線，更一般地結(jié)論如下：【定理】如圖，設(shè)點關(guān)于圓錐曲線Γ的極線為，過點任作一割線交于，，交于，則①；反之，若有①成立，則點，調(diào)和分割線段，或稱點與關(guān)于調(diào)和共軛，或稱點（或點）關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點為點（或點）．點關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點是一條直線，這條直線就是點的極線．面是本題幾種典型的解法：第（1）小題：（1）設(shè)，．則，（利用拋物線方程可得拋物線上任意兩點的斜率），，從而．又，故．從而：，即．即，故過．第（2）小題：思路一：．．思路二：取中點，則．故．同理．故．思路三：（利用割補）．第19題的試題情境是在密碼學(xué)理論中有重要地位的蓋莫爾（ElGamal）加密體制．【分析】對于整數(shù)和正整數(shù)，如果存在，，使得，則稱為除以的余數(shù)．根據(jù)帶余除法，這樣的，是必定存在的．我們以下記表示與除以的余數(shù)相等．①②等價于且．另外我們直接利用如下的費馬小定理：當(dāng)時，．【解析】（1），時，，∴．（2）證法一：記，，，只需記即，，，，故，①．②由①②，得即由②知不是的倍數(shù)，故，即，易知，而1，，，，兩兩不同，則與1，，，，之一相同，設(shè)，（假設(shè)）即而時，．因此，即故必有或0，則得證．（2）證法二：記，，，則有，使得，，∴，又根據(jù)的定義，∴．∵1，，，，兩兩不同，并且根據(jù)費馬小定理，當(dāng)，時，，而，，，∴只可能有兩種情況出現(xiàn)：或，兩種情況下都有，因此．（3）證法一：∵，∴．另一方面，．由于，∴．（3）證法二：，且，，．四、復(fù)習(xí)建議1．立足課程標準，鉆研中國高考評價體系《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2020年修訂版）》是高考數(shù)學(xué)考查內(nèi)容范圍和考查要求層次的依據(jù)，數(shù)學(xué)測試卷的命題理念、考查的內(nèi)容范圍與課程標準完全吻合．試卷立足課程標準，考查的內(nèi)容依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標準和課程內(nèi)容，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，很好處理數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系，充分考慮對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用．?dāng)?shù)學(xué)測試卷注重考查學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的熟練掌握和靈活應(yīng)用，強調(diào)知識的整體性和連貫性，引導(dǎo)教學(xué)要注重內(nèi)容的基礎(chǔ)性和方法的普適性，要避免盲目鉆研套路訓(xùn)練和機械訓(xùn)練．試卷引導(dǎo)教學(xué)要立足課程標準，要求以課程目標和核心素養(yǎng)為指引，以數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能為載體，在學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考與發(fā)現(xiàn)，進而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．2．用好教材，突出對課本基礎(chǔ)知識的再挖掘高中數(shù)學(xué)教材是體現(xiàn)和落實課程標準基本理念和目標要求的科學(xué)范本，是高考數(shù)學(xué)命題的重要參考．?dāng)?shù)學(xué)測試卷部分試題以教材中的典型試題和素材為基礎(chǔ)，進行了改造、重組和引申，考查考生對基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解和靈活應(yīng)用，要深入研究教材，回歸教材，用好教材，講清講透基本概念、原理的來龍去脈，避免過度依賴教輔、深陷死記硬背和題海訓(xùn)練；要立