2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)拔高訓(xùn)練-三角形的綜合題

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)拔高訓(xùn)練--三角形的綜合題一、綜合題1．如圖①，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．（1）求證：∠PMN=∠PNM．（2）（結(jié)論應(yīng)用）如圖②，在上邊題目的條件下，延長(zhǎng)上圖中的線段AD交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BC交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：∠AEN=∠F．（3）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，則∠F的大小為．2．如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC上，連接DE、DC，DE交AC于點(diǎn)G，且DE=DC．（1）找出一個(gè)與∠BDE相等的角；（2）若AB=mAD，求DGGE（3）如圖2，將△ABC沿BC翻折，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在DE的延長(zhǎng)線上，求BE3．如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，CD⊥AB于點(diǎn)D，將△BCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△BFE（1）如圖2，當(dāng)α＝60°時(shí)，求點(diǎn)C、E之間的距離.（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，求AF的長(zhǎng).（3）連結(jié)AF，記AF的中點(diǎn)為點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CP長(zhǎng)度的最小值．4．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，延長(zhǎng)CB，并將射線CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線l，D為射線l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且BE=CD，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE于M．（1）依題意補(bǔ)全圖1，并用等式表示線段DM與ME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）取BE的中點(diǎn)N，連接AN，添加一個(gè)條件：CD的長(zhǎng)為，使得AN=15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC，連接AE，∠AED=∠CED，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CP//AE交AB于點(diǎn)P．（1）求證：AE=BE．（2）求證：PB=26．如圖①，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．（1）求證：∠PMN=∠PNM．（2）如圖②，在上邊題目的條件下，延長(zhǎng)上圖中的線段AD交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BC交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：∠AEN=∠F．（3）若（1）中的∠A+∠ABC=122°，則∠F的大小為．7．如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點(diǎn)D，且BD=8cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)直線PQ由點(diǎn)B出發(fā)，沿BA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點(diǎn)P、交BC于點(diǎn)Q、交BD于點(diǎn)F．連接（1）填空：BP=cm，CM=cm（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形？（3）連接PC，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(0，2)分別是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，連接AB．把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A′BO′．點(diǎn)A，O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)O′落在AB邊上時(shí)，求α的值和點(diǎn)O（2）如圖②，當(dāng)α=60°時(shí)，求AA′的長(zhǎng)和點(diǎn)（3）連接AO′，直接寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中9．綜合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師給出如下問(wèn)題，讓同學(xué)們展開(kāi)探究活動(dòng)：[問(wèn)題情境]如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)(0<AD<12AB)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到的對(duì)應(yīng)線段為CE，過(guò)點(diǎn)E作EF//AB[解決問(wèn)題]下面是學(xué)習(xí)小組提出的三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答這些問(wèn)題：（1）“興趣”組提出的問(wèn)題是：求證：AD=EF；（2）“實(shí)踐”小組提出的問(wèn)題是：如圖②，若將△ACD沿AB的垂直平分線對(duì)折，得到△BCG，連接EG，則線段EG與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）“奮進(jìn)”小組在“實(shí)踐”小組探究的基礎(chǔ)上，提出了如下問(wèn)題：延長(zhǎng)EF與AC交于點(diǎn)H，連接HD、FG，求證：四邊形DGFH是矩形．10．（1）（問(wèn)題背景）如圖1，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，∠ABD=∠C，求證：BDBC（2）（變式遷移）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上一點(diǎn)，CD=CA,DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，連接AE.求證：AEAB（3）（拓展遷移）如圖3，在菱形ABCD中，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，EC=1,FDCF=2311．如圖（1）回歸教材：北師大七年級(jí)下冊(cè)P44，如圖1所示，點(diǎn)P是直線m外一點(diǎn)，PO⊥m，點(diǎn)O是垂足，點(diǎn)A、B、C在直線m上，比較線段PO，PA，PB，PC的長(zhǎng)短，你發(fā)現(xiàn)了什么？最短線段是，于是，小明這樣總結(jié)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，．（2）小試牛刀：如圖2所示，Rt△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a．則點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則CP的最小值為．（3）嘗試應(yīng)用：如圖3所示△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，其中點(diǎn)P為高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE．①請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的最小值．②在①的條件下求△BPE的面積．（4）拓展提高：如圖4，Rt△BEF頂點(diǎn)F在矩形ABCD的對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，連接AE．∠EBF=∠ACD．AB=3，BC=4，請(qǐng)求出AE的最小值．12．（1）問(wèn)題探究：在圖1和圖2中，AB∥CD，AD⊥BC于點(diǎn)O．①如圖1，若點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，AD＝6，BC＝8，則AD2＝，BC2＝，（AB+CD）2＝；②如圖2，AO：DO＝1：3，AO＝3，BO＝4，則AD2＝，BC2＝，（AB+CD）2＝；（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想AD2，BC2，（AB+CD）2三者之間的關(guān)系．（3）歸納證明：請(qǐng)利用圖2證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；（4）應(yīng)用結(jié)論：如圖3，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)兩點(diǎn)均在AD邊上，BE⊥CF交于G點(diǎn)，EF：BE＝1：4，CF＝3，BC＝4．求證：CG＝CD；（5）拓展應(yīng)用：如圖4，已知BD為△ABC的中線，CE⊥BD交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，AE＝5，BD＝10，EC＝15，求BC的長(zhǎng)．13．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，連接DE．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，∠DEA＝60°，DE＝4，求AE的長(zhǎng)度；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF平行于AC交BC于點(diǎn)F，且∠C＝∠BDE＋∠AED，求證：FD＝CD；（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)D且交AB于點(diǎn)G，在BD上取點(diǎn)H使得AH＝EG，連接AH分別交GD、ED于點(diǎn)M、N．若∠HAD＝∠B，∠HMD＝2∠BDE，設(shè)tan∠AHC＝ba，請(qǐng)直接寫(xiě)出sin∠BGD的值（用關(guān)于a、b14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作∠DEF=90°，EF交射線BC于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，△BED的面積為y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似，求△BED的面積．15．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=?x+6交x軸的B，交y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，tan∠OBC=（1）如圖1，求直線BC的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)L在第三象限的直線BC上，過(guò)點(diǎn)L作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，線段LM的長(zhǎng)為y，求y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；16．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將△COD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△C1OD1，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接AC1、BD1，AC1與BD1交于點(diǎn)P．（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形．①求證：△AOC1≌△BOD1；②請(qǐng)直接寫(xiě)出AC1與BD1的位置關(guān)系；（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC＝3，BD＝5，設(shè)AC1＝kBD1．判斷AC1與BD1的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出k的值．（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝6，BD＝12，連接DD1，設(shè)AC1＝kBD1．請(qǐng)直接寫(xiě)出k的值和AC12+（kDD1）2的值．

答案解析部分1．【答案】（1）證明：∵P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，∴PM、PN分別是△BCD和△ABD的中位線，∴PM＝12BC，PN＝1∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM．（2）解：由（1）可得∠PMN＝∠PNM，MP//BF,AE//NP∴∠AEN=∠MNP,∠F=∠NMP∴∠AEN=∠F（3）29°2．【答案】（1）∠ACD（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF//AC交AB于點(diǎn)F，∴∠EFD=∠CAD，在△EFD與△DAC中，∠EFD=∠CAD∠BDE=∠ACD∴△EFD≌△DAC(AAS)，∴FD=AC=AB，∵AB=mAD，∴FD=mAD，∴AF=FD?AD=(m?1)AD，∵EF//AC，∴DGGE（3）解：設(shè)AG=a，GC=b，則AC=AG+GC=a+b，由（1）可知∠ADG=∠ACD，又∵∠DAG=∠CAD，∴△ADG∽△ACD，∴AGAD∴aAD解得：AD=a(a+b)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵翻折，∴AC=A′C=AB=a+b∴∠A∴BD//A∴BEEC同理可得：A′∴BEEC∴1+a整理得：a2解得：ab∴BEEC3．【答案】（1）解：如圖1中，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，BC＝42?2∵CD⊥AB，∴12?AB?CD＝1∴CD＝AC·BCAB＝2×234＝3，∴∵∠ABE＝α＝60°，∴∠CBE＝30°+60°＝90°，∴CE＝BC2+BE2（2）解：如圖2﹣1中，∵A，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，∴∠AEB＝90°，AE＝AB2?BE2∴AF＝AE﹣EF＝7﹣3．如圖2﹣2中，當(dāng)Q，E，F(xiàn)共線時(shí)，∠AEB＝90°，AE＝AB2?BE2∴AF＝AE+EF＝7+3．綜上所述，AF的長(zhǎng)為7+3或7﹣3．（3）解：如圖3中，取AB的中點(diǎn)O，連接OP，CO．∵AO＝OB，AP＝PF，∴OP＝12BF＝12BC＝∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心3為半徑的圓，∵OC＝12AB＝2，∴CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣34．【答案】（1）解：補(bǔ)全圖形如下圖，DM與ME之間的數(shù)量關(guān)系為DM=ME．證明：連接AE，AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABE=180°-∠ABC=135°．∵由旋轉(zhuǎn)，∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°．∴∠ABE=∠ACD．∵AB=AC，BE=CD，∴△ABE≌△ACD．∴AE=AD．∵AM⊥DE于M，∴DM=EM．（2）解：CD=2證明：連接AD，AE，BM．∵AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=2．∵BE=CD=2，∴BE=BC．∵由（1）得DM=EM，∴BM是△CDE的中位線．∴BM=12CD，BM∥CD．∴∠EBM=∠ECD=90°．∵∠ABE=135°，∴∠ABM=135°=∠ABE．∵N為BE中點(diǎn)，∴BN=12BE=12CD．∴BM=BN．∵AB=AB，∴△ABN≌△ABM．∴AN=AM．∵由（1），△ABE≌△ACD，∴∠EAB=∠DAC，AD=AE．∵5．【答案】（1）證明：∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC，∴∠BAC=∠DEC，∵∠ADF=∠EDC，∴∠AFD=∠ECD=90°，在△AEF與△BEF中，∠AFD=∠BFE=90°EF=EF∴△AEF≌△BEF(ASA)，∴EA=EB（2）證明：連接PD，△ABC≌△EDC，∴AC=EC，DC=BC，∵∠ACB=90°，∴∠AEC=45°，∵EA=EB，∴∠B=∠BAE=67.5°，∵CP//AE，∴∠BPC=∠BAE=67.5°，∠BCP=∠AEC=45°，∴∠DCP=90°?45°=45°，在△BCP與△DCP中，BC=DC∠BCP=∠DCP=45°∴△BCP≌△DCP(SAS)，∴∠DPC=∠BPC=67.5°，PB=PD，∴∠FPD=180°?67.5°?67.5°=45°，∵∠BFE=90°，∴∠FPD=∠PDF=45°，∴PF=DF，在Rt△PFD中，由勾股定理得：PD=P∴PB=6．【答案】（1）解：∵P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，∴PM、PN分別是△BCD和△ABD的中位線，∴PM＝12BC，PN＝1∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM．（2）解：由（1）可得∠PMN＝∠PNM，MP//BF,AE//NP∴∠AEN=∠MNP,∠F=∠NMP∴∠AEN=∠F（3）29°7．【答案】（1）t；（10-2t）（2）解：假設(shè)四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，∴AP：∵AB=AC，∴AP=AM，即10?t=2t，解得t=10∴當(dāng)t=103s（3）解：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使得M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC，過(guò)M作MH⊥AB，交AB與H，∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，∴△AHM∽△ADB，∴HMBD又AD=1∴HM8∴HM=85t，AH=在直角三角形HMP中，MP又∵M(jìn)C∵M(jìn)P即375解得：t1=20∴t=2017s8．【答案】（1）解：如圖，∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），∴OA=OB=2，△ABO是等腰直角三角形，∴AB=22當(dāng)點(diǎn)O′∴點(diǎn)O′的橫坐標(biāo)是12AB=∴點(diǎn)O′的橫坐標(biāo)是(（2）解：如圖，當(dāng)α=60°時(shí)，∴∠ABA′=60°∴△ABA∴AA連接OA在△OBA′和OB=OA∴△OBA∴∠BOA′=∠AO∴直線OA∴OA∴OA∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(1+（3）2+29．【答案】（1）證明：如圖1所示：連接BE∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，AC=BC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°∴∠ABE=90°，∵EF//AB∴∠FEB+∠ABE=180°∴∠FEB=90°∴∠EFB=∠EBF=45°∴EF=BE∴AD=EF（2）解：EG=理由如下：如圖2所示，連接BE.由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB，∵AD=BG∴BE=BG=EF∴∠BGE=∠BEG=45°∴EG=∴EG=（3）證明：如圖3所示，連接BE∵FH//AB，∴∠CHF=∠A=45°，∠CFH=∠B=45°∴∠CHF=∠CFH，∴CH=CF∵△ACD與△BCG對(duì)稱，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，∴CD=CG，∠HCD=∠FCG，在△HCD和△FCG中，CD=CG∴△HCD≌△FCG(SAS)，∴DH=FG，∠CDH=∠CGF，又∵∠CDA=∠CGB，∴∠HDA=∠FGB，由（1）、（2）可知，BG=EF=BE，BG//EF，∠EBG=90°，∴四邊形BEFG為正方形，∴∠FGB=90°，∴∠HDG=∠HDA=90°，∴HD//FG，又∵HF//DG，∴四邊形DCFH是平行四邊形，∴四邊形DCFH為矩形10．【答案】（1）證明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴BD（2）證明：∵CD=CA,DE⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CAD=∠CDA，∠ACB=∠ADE=90°，∴∠CAD+∠B=∠CDA+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠B，∴根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得∠A+∠CED=180°，∴點(diǎn)C、A、D、E四點(diǎn)共圓，如圖所示：∴∠CAE=∠CDE，∴∠CAE=∠B，∴△CAE∽△CBA，∴CEAC∵CEAC∴AE（3）解：連接AC、EF，過(guò)點(diǎn)A分別作AH⊥BC于點(diǎn)H，AG⊥DC于一點(diǎn)G，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD//CB,AB=BC=CD=AD,∠ACB=∠ACD，∴∠BCD+∠D=180°，AH=AG，∵∠EAF=∠D，∴∠BCD+∠EAF=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∴點(diǎn)A、E、C、F四點(diǎn)共圓，同理（2）中可得∠AEF=∠ACD,∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴△AHE≌AGF（HL），∴HE=FG，由FDCF=2∴AD=BC=CD=5x，∵tan∠D=∴Rt△AGD的三邊之比為3∶4∶5，∴AG=AH=4x,GD=3x，∴CG=2x,GF=x，∵CE=1，∴HC=CG=2x,HE=2x?1，∴2x?1=x，解得：x=1，∴AH=4,HE=1，∴AE=A11．【答案】（1）PO；垂線段最短（2）ab（3）解：①DE的最小值是1；②由①得CD=2，DE=1，∴CE=CD∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE=3在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=AB∴PD=AD-AP=3，∴PB=PD∴等邊三角形△PBE的高為PB∴△BPE的面積為12×7（4）解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則∠BHC=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E與點(diǎn)H重合，∵AB=3，BC=4，∴AC=AB∵S△ABC=12AB×BC=12AC∴BH=125∴AH=AB取AB中點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GI⊥AB交AC于點(diǎn)I，則∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC，∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)I重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G重合，Rt△BEF頂點(diǎn)F在矩形ABCD的對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，且∠EBF=∠ACD，∠HBC=∠ACD∴∠EBH+∠HBF=∠FBC+∠HBF∴∠EBH=∠FBC∵∠BEF=∠BHC=90°∴E，∴∠BFC=∠BEH∴∠FCB=∠EHB∴點(diǎn)E在直線GH上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當(dāng)AE⊥GH時(shí)，AE最短，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AB于點(diǎn)P，∴△APH~△ABC，∴PHBC=AH∴PH=3625，AP=27∴PG=AG-AP=32∴GH=PH∵S△AGH=12AG×PH=12GH∴AE=3625∴AE的最小值為362512．【答案】（1）36；64；100；144；256；400（2）解：由（1）①∵AD2+BC2=36+64=100，（AB+CD）2=100，∴AD2+BC2=（AB+CD）2，②∵AD2+BC2=144+256=400，（AB+CD）2=400，∴AD2+BC2=（AB+CD）2，∴猜想AD2，BC2，(AB＋CD)2三者之間的關(guān)系是：AD2＋BC2＝(AB＋CD)2；（3）證明：過(guò)B點(diǎn)作BE∥AD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴四邊形ABED為平行四邊形，∠CBE＝∠COD，∴BE＝AD，DE＝AB，∵AD⊥BC，∴∠CBE＝∠COD＝90°，∴BE2＋BC2＝CE2，∴AD2＋BC2＝(CD＋DE)2，∴AD2＋BC2＝(CD＋AB)2，（4）證明：連接CE，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，EF∥BC，∵EF∶BE＝1∶4，∴設(shè)EF＝x，則BE＝4x，∵EF∥BC，BE⊥CF，∴由（2）中的結(jié)論得：(BC＋EF)2＝CF2＋BE2，(4＋x)2＝32＋(4x)2，∴15x2―8x―7＝0，解得：x1＝1，x2＝－715∴BE＝4x＝4，∴BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC，∴∠BEC＝∠DEC，又∵CG⊥EB，CD⊥ED，∴CG＝CD，（5）解：延長(zhǎng)BD至H，使DH＝BD＝10，連接HC，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDH，∴△ADB≌△CHD，∴CH＝AB＝BE+5，∠EBD=∠H，∴AB∥CH，由（2）的結(jié)論得：(BE＋CH)2＝EC2＋BH2，(BE＋BE+5)2＝152＋202，∴BE＝10，CH＝15，∵AB∥CH，∴BECH＝EFFC＝BFFH＝10∴BF＝25BH＝8，CF＝3∴BC＝BF2+F13．【答案】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，如圖1所示：∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，∴∠BAD=12在Rt△DEH中，∠DEH=60°，∴∠EDH=30°，∴EH=12∴DH=3EH=23，在Rt△DHA中，∠DAH=45°，∴△DHA是等腰直角三角形，∴∠HDA=45°，DH=AH=23，∴AE=EH+AH=2+23；（2）證明：延長(zhǎng)ED交AC的延長(zhǎng)線于K，如圖2所示：∵∠BDE=∠CDK，∴∠ACB=∠BDE+∠AED=∠CDK+∠AED，∵∠ACB=∠CDK+∠AKD，∴∠AED=∠AKD，在△AED和△AKD中，∠EAD=∠KAD∠AED=∠AED∴△AED≌△AKD（AAS），∴DE=DK，∠ADE=∠ADK=90°，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠DKC，在△DEF和△DKC中，∠DEF=∠DKCDE=DK∴△DEF≌△DKC（ASA），∴FD=CD；（3）解：∵DG⊥BC，∴∠BDG=90°，∵∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE，∴∠BDG-∠EDG=∠ADE-∠EDG，∴∠BDE=∠ADG，∵∠HMD=∠ADG+∠HAD=2∠BDE=2∠ADG，∴∠ADG=∠HAD，∵∠HAD=∠B，∴∠B=∠HAD=∠ADG=∠BDE，∴BE=DE，∵∠B+∠EGD=90°，∠BDE+∠EDG=90°，∴∠EGD=∠EDG，∴DE=EG，∵∠AHC=∠B+∠BAH=∠HAD+∠BAH=∠BAD，∴tan∠AHC=tan∠BAD=DEAD設(shè)DE=bk，則AD=ak，∴EG=DE=bk，∴AH=EG=bk，過(guò)點(diǎn)A作AJ⊥BC于J，如圖3所示：則tan∠AHC=∴sin∠AHC=∴AJ=AH?b∵∠ADJ+∠ADG=90°，∠EDG+∠BDE=90°，∠ADG+∠EDG=90°，∴∠ADJ=∠EDG=∠EGD，∴sin==b14．【答案】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB于H．∴EH∥AC在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=A∵E為AB上動(dòng)點(diǎn)可與A、B重合，當(dāng)x=5時(shí)，E為AB的中點(diǎn)，ED∥AC，∠DEF=90°，此時(shí)EF∥BC，EF于BC無(wú)交點(diǎn)，設(shè)C到AB的距離為?，則?=當(dāng)ED⊥AB時(shí)，DE=1此時(shí)BE=DB2?DE2=∴0≤x≤165∵EH∥AC∴△BEH∽△BAC∴EHEH=∴S△DEB∴y=65（2）解：由題意知∠BEF≠90°，故可以分兩種情況．①如圖2，當(dāng)∠BEF為銳角時(shí)，由已知以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BA于M，過(guò)E作EH⊥BC于H．∴∠MDE=∠HDE，∴EM=EH．由EM=MB?EB=又∵EH=∴165解得x=2∴y=②如圖3，當(dāng)∠BEF為鈍角時(shí)，同理可求得x?∴x=8．∴y=綜上所述，△BED的面積是125或4815．【答案】（1）解：∵直線y=?x+6交x軸的B，交y軸于點(diǎn)A，令x=0，得y=6，令y=0，得x=6，∴A(0，6)，B(6，0)，∴OB=6，∵tan∠OBC=13∴OC=2，∴C(0，?2)，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則?2=b0=6k+b，解得k=∴直線BC的解析式：y=1（2）解：根據(jù)題意得：M(m，?m+6)，L(m，1∴ML=?m+6?(1∴y=?43m+8(m<