寶山區(qū)高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精上海市寶山區(qū)2020屆高三二模數(shù)學(xué)試卷一：填空題（本大題共12題,1-6每題4分,7—12每題5分，共54分）1。已知復(fù)數(shù)z滿足（其中，i為虛數(shù)單位),則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運算法則可得結(jié)果.【詳解】因為，所以,故答案為：【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘方運算公式，屬于基礎(chǔ)題。2.函數(shù)的定義域是______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)反正弦函數(shù)的定義域列不等式可解得結(jié)果.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域是。故答案為：【點睛】本題考查了反正弦函數(shù)的定義域,屬于基礎(chǔ)題。3。計算行列式的值，______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)行列式的計算公式計算可得答案?！驹斀狻?故答案為:【點睛】本題考查了二階行列式的計算，屬于基礎(chǔ)題。4。已知雙曲線C:（，）的實軸與虛軸長度相等，則C:（，）的漸近線方程是______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)實軸與虛軸的定義可得，根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得答案?！驹斀狻恳李}意得，即,所以C:（,)的漸近線方程是。故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的實軸，虛軸,漸近線，屬于基礎(chǔ)題。5。已知無窮數(shù)列，，則數(shù)列的各項和為______.【答案】【解析】【分析】用定義可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，利用公式計算可得答案.【詳解】因為,所以,，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的各項和為。故答案為：【點睛】本題考查了無窮等比數(shù)列各項和的公式，屬于基礎(chǔ)題。6.一個圓錐的表面積為,母線長為，則其底面半徑為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)圓錐的底面半徑為，根據(jù)可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,則底面周長為，底面積為，側(cè)面展開圖扇形的半徑為，弧長為，扇形的面積為，所以,解得。故答案為：【點睛】本題考查了圓錐的表面積，考查了扇形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.7。某種微生物的日增長率r,經(jīng)過n天后其數(shù)量由變化為p，并且滿足方程，實驗檢測，這種微生物經(jīng)過一周數(shù)量由2。58個單位增長到14。86個單位，則增長率______.(精確到)【答案】【解析】【分析】依題意列出方程，改為對數(shù)式后，利用計算器可解得結(jié)果.【詳解】依題意有，所以,所以,所以.故答案為:【點睛】本題考查了指數(shù)式化對數(shù)式,考查了利用計算器求近似值,屬于基礎(chǔ)題.8.已知的展開式的常數(shù)項為第6項，則常數(shù)項為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)第6項為常數(shù)項，由通項公式可得，再由通項公式即可解得結(jié)果?！驹斀狻坑赏椆降?為常數(shù)項，所以,即,所以。故答案為：【點睛】本題考查了二項展開式的通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9。某醫(yī)院從3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生中任選2位赴武漢抗疫，則選出的2位醫(yī)生中至少有1位女醫(yī)生的概率是______.【答案】【解析】【分析】記3名男醫(yī)生分別為,2名女醫(yī)生分別為，利用列舉法列出所有基本事件，得到所有基本事件的種數(shù)和所求事件包含的基本事件個數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得結(jié)果.【詳解】記3名男醫(yī)生分別為,2名女醫(yī)生分別為，則從3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生中任選2位赴武漢抗疫的所有基本事件為：,，,，，，，，,共10種，其中至少有1位女醫(yī)生的有，，，，，，共7種，根據(jù)古典概型的概率公式可得選出的2位醫(yī)生中至少有1位女醫(yī)生的概率是.故答案為：.【點睛】本題考查了利用列舉法求古典概型的概率，使用列舉法是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。10。已知方程（）的兩個虛根是,，若，則______。【答案】【解析】【分析】根據(jù)虛根成對定理可設(shè)，，代入可解得,根據(jù)韋達(dá)定理可得，，將代入可解得，.【詳解】因為方程（）的兩個虛根是，，所以，解得，由虛根成對定理可設(shè),，所以，，因為，所以，所以,所以，所以，所以,所以，滿足，故答案為：?！军c睛】本題考查了實系數(shù)一元二次方程的虛根成對定理,考查了韋達(dá)定理,復(fù)數(shù)的模長公式，屬于基礎(chǔ)題.11.已知O是坐標(biāo)原點，點，若點為平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】因為，令目標(biāo)函數(shù)為,作出可行域，根據(jù)圖形得到最優(yōu)解即可得到結(jié)果.【詳解】因為，令目標(biāo)函數(shù)為,作出可行域,如圖：由圖可知，最小值最優(yōu)解為，最大值最優(yōu)解為，所以，即的取值范圍是。故答案為：【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了線性規(guī)劃求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.12。已知平面向量滿足，，，，則的最小值為_____【答案】-4【解析】【分析】設(shè),，，由,可求，再代入，可得，由此表示出,從而可求出最小值。【詳解】設(shè),，，由，得：，又，則，解得：，,故的最小值為—4。故答案為：—4.【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示,考查了向量在幾何中的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系表示出每個向量是常用的基本手段，屬中檔題。二.選擇題（本大題共4題,每題5分，共20分）13.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A。 B. C. D。【答案】D【解析】【分析】將拋物線方程化標(biāo)準(zhǔn)形式，可得，進一步可得準(zhǔn)線方程。【詳解】由可得,所以，所以準(zhǔn)線方程為。故選:D【點睛】本題考查了拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題。14.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（)A. B. C。1 D?！?【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對稱軸可知，代入可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱，則經(jīng)檢驗，滿足題意,本題正確選項:【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用,在已知對稱軸的情況下，通常采用特殊值的方式來進行求解。15.用數(shù)學(xué)歸納法證明,成立.那么,“當(dāng)時,命題成立”是“對時，命題成立"(）A。充分不必要 B.必要不充分 C。充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義可得結(jié)論。【詳解】“當(dāng)時，命題成立”不能推出“對時，命題成立”，“對時，命題成立”可以推出“當(dāng)時,命題成立”，所以“當(dāng)時，命題成立”是“對時，命題成立”的必要不充分/故選：B【點睛】本題考查了必要不充分條件的概念，關(guān)鍵是掌握必要不充分條件的概念,屬于基礎(chǔ)題.16.已知是定義在R上的奇函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)，都有，則函數(shù)（)A。是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減 B。是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增C.是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減 D。是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增【答案】A【解析】【分析】利用是定義在R上的奇函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的定義可得為偶函數(shù)，設(shè)，則，根據(jù)可得，所以,根據(jù)定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞減.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，,當(dāng)時，，所以時,恒有,即為偶函數(shù)，當(dāng)時，，設(shè)，則，由可知,則，因為，所以,又，所以，即，由減函數(shù)的定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.故選：A【點睛】本題考查了利用定義判斷函數(shù)奇偶性，考查了利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題。三。解答題（本大題共5題，共76分)17.如圖，在直三棱柱中，,，D是的中點.(1）若三棱柱的體積為，求三棱柱的高（2）若，求二面角的大小【答案】(1）6（2)【解析】【分析】(1)求出底面積后,根據(jù)棱柱的體積公式可求得棱柱的高；（2)以C為原點，為x軸，為y軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可求得結(jié)果?！驹斀狻?1）由題意,求得，所以，由，解得（2）以C為原點，為x軸，為y軸，為軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系：則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則由得，取,則，,所以，平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,記二面角為，則，所以?！军c睛】本題考查了棱柱的體積公式,考查了二面角的向量求法，正確建立空間直角坐標(biāo)系是求二面角的關(guān)鍵，屬于中檔題。18。已知函數(shù)，，,，它們的最小正周期為（1）若是奇函數(shù)，求和在上的公共遞減區(qū)間D（2）若的一個零點為，求的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)周期求出，根據(jù)是奇函數(shù)，求出，再求出和在上的遞減區(qū)間，然后求其交集即可得到結(jié)果；(2)將點代入，可得，再化簡得，可得最大值.【詳解】（1）由，以及得,又是奇函數(shù),所以,所以,，又，所以，在上,的遞減區(qū)間是，的遞減區(qū)間是，所以.(2），把點代入得,即，又因為，，所以，所以，所以因而.【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的周期公式,考查了函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的零點，考查了函數(shù)的最值，屬于中檔題.19.據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，2019年底全國已開通基站13萬個，部分省市的政府工作報告將“推進通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點工作，今年一月份全國共建基站3萬個。（1）如果從2月份起，以后的每個月比上一個月多建設(shè)2000個，那么，今年底全國共有基站多少萬個。（精確到0.1萬個）（2）如果計劃今年新建基站60萬個，到2022年底全國至少需要800萬個,并且，今后新建的數(shù)量每年比上一年以等比遞增，問2021年和2022年至少各建多少萬個オ能完成計劃？（精確到1萬個）【答案】（1）62。2萬個，（2)2021年181萬個，2022年547萬個【解析】【分析】（1）今年每月建設(shè)基站的數(shù)量構(gòu)成一個等差數(shù)列,首項為3萬個，公差為0.2萬，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得今年建設(shè)基站的個數(shù)，再加上去年基站的個數(shù)即可得到答案；(2）依題意，每年新建基站的數(shù)量構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為，根據(jù)題意列式，可得,再求出和即可得到答案.【詳解】(1）依題意，今年每月建設(shè)基站的數(shù)量構(gòu)成一個等差數(shù)列，首項為3萬個，公差為0。2萬，所以今年一共建設(shè)基站萬個，所以今年底全國共有基站萬個。(2）依題意，每年新建基站的數(shù)量構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，即，解得，所以萬個，萬個。所以2021年至少新建萬個基站，2022年至少新建萬個基站オ能完成計劃?！军c睛】本題考查了數(shù)列建模，考查了等差數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的通項公式，考查了運算求解能力，屬于中檔題。20。已知直線l：和橢圓：相交于點，（1)當(dāng)直線l過橢圓的左焦點和上頂點時，求直線l的方程（2）點在上，若，求面積的最大值：（3）如果原點O到直線l的距離是，證明：為直角三角形.【答案】（1）（2)（3）證明見解析【解析】【分析】(1)由橢圓方程得左焦點和上頂點坐標(biāo)，代入直線方程可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程可得的坐標(biāo)，可得弦長,求出點到直線的距離。利用三角形面積公式可得面積，然后利用基本不等式可得最大值；(3)利用原點O到直線l的距離是可得，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得,，求出，利用可證結(jié)論.【詳解】(1）由知，,，所以，所以,所以左焦點為,上頂點為，所以，，所以直線l的方程為。（2）聯(lián)立，可得或，所以,，所以，又點到直線的距離，所以三角形的面積，因為要求面積的最大值，所以，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以面積的最大值為.（3）原點到直線的距離為，所以，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，，所以,所以所以，所以為直角三角形.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了點到直線的距離公式，考查了三角形的面積公式,考查了基本不等式,考查了平面向量的數(shù)量積，考查了運算求解能力,屬于中檔題.21.定義:是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)k使得對任意，均有則稱是近似遞增(減)數(shù)列,其中k叫近似遞增（減)數(shù)列的間隔數(shù)（1)若，是不是近似遞增數(shù)列，并說明理由（2）已知數(shù)列的通項公式為，其前n項的和為，若2是近似遞增數(shù)列的間隔數(shù)，求a的取值范圍:（3)已知，證明是近似遞減數(shù)列，并且4是它的最小間隔數(shù).【答案】（1)近似遞增數(shù)列，詳見解析（2）(3）證明見解析；【解析】【分析】(1）根據(jù)近似遞增數(shù)列的定義判斷可知是近似遞增數(shù)列；（2）求出，根據(jù),即恒成立,可得;（3）因為等價于，因為n，k是正整數(shù),所以,均取不到，所以時上式恒成立，可得是近似遞減數(shù)列，再驗證時,不是近似遞減數(shù)列，則可得4是它的最小間隔數(shù)。