北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假班講義(基礎(chǔ)班)

第一講整式的乘方一．同底數(shù)冪的乘法(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點(diǎn)詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.例題1．計(jì)算a6?a2的結(jié)果是（）A．a(chǎn)3 B．a(chǎn)4 C．a(chǎn)8 D．a(chǎn)122．下列各式計(jì)算結(jié)果不為a14的是（）A．a(chǎn)7+a7 B．a(chǎn)2?a3?a4?a5C．（﹣a）2?（﹣a）3?（﹣a）4?（﹣a）5 D．a(chǎn)5?a93．化簡（﹣a）2a3所得的結(jié)果是（）A．a(chǎn)5 B．﹣a5 C．a(chǎn)6 D．﹣a同步練習(xí)1．計(jì)算（x﹣y）3?（y﹣x）=（）A．（x﹣y）4 B．（y﹣x）4 C．﹣（x﹣y）4 D．（x+y）42．2101×0.5100的計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．1 B．2 C．0.5 D．103．已知xm=2，xn=3，則xm+n的值是（）A．5 B．6 C．8 D．9二．冪的乘方與積的乘方冪的乘方法則：(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.積的乘方法則：(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡便.如：例題：1．計(jì)算a3?（a3）2的結(jié)果是（）A．a(chǎn)8 B．a(chǎn)9 C．a(chǎn)11 D．a(chǎn)182．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3=a6 B．a(chǎn)3+a2=a5 C．（a2）4=a8 D．a(chǎn)3﹣a2=a3．計(jì)算（﹣a2b）3的結(jié)果是（）A．﹣a6b3 B．a(chǎn)6b C．3a6b3 D．﹣3a6b34.（﹣5x3y）2計(jì)算的結(jié)果是（）A．25x5y2 B．25x6y2 C．﹣5x3y2 D．﹣10x6y25．計(jì)算（a2）3÷（a2?a3）的結(jié)果是（）A．0 B．1 C．a(chǎn) D．a(chǎn)3同步練習(xí)：1．計(jì)算：（x4）2+（x2）4﹣x（x2）2?x3﹣（﹣x）3?（﹣x2）2?（﹣x）2．計(jì)算：（2m2n﹣2）2?3m﹣3n3．3．已知ax=﹣2，ay=3．求：（1）ax+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值．4.計(jì)算：（﹣x）3?x2n﹣1+x2n?（﹣x）2．5．計(jì)算：（﹣3am）2﹣am+1?am﹣1+2（am+1）2÷a2．三．單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個(gè)因式.（3）運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.例題：1．計(jì)算：．2．計(jì)算：（﹣2x2y3）2﹣x3y4?3xy2．3．計(jì)算：（1）.2a?3a2（2）.[（﹣x）3]2．4．計(jì)算（1）.（﹣3a）?（2ab）（2）.（﹣2x2）3+4x3?x3．同步練習(xí)：1．計(jì)算：（1）.a6?a5?a7；（2）.2（m2）4+m4（m2）2．2．計(jì)算：（1）.x2?y2（﹣xy3）2．（2）.?（﹣2a2b2c）2．3.化簡.5a3b?（﹣3b）2+（﹣ab）（﹣6ab）2．四．單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算的過程中要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.例題：1．化簡：（1）.4m+2（m﹣2n）（2）.（2x）3﹣6x（x2+2x﹣1）．2．計(jì)算：（1）.（﹣2xy2）2?3x2y；（2）.（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）同步練習(xí)：1．計(jì)算：（1）.6ab（2a2b﹣ab2）．（2）.（3x3y2﹣6x2y）?．（3）.（﹣3x）（7x2+4x﹣2）五．多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.例題1．如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，規(guī)劃部門計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像，則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)a=3，b=2時(shí)的綠化面積．2.化簡（1）.（x+7）（x﹣6）﹣（x﹣2）（x+1）3．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值．（2）求x2+3xy+y2的值．同步練習(xí)：1．先閱讀后作答：我們已經(jīng)知道，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說明完全平方，實(shí)際上還有一些等式也可以用這種方式加以說明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用圖①的面積關(guān)系來說明．（1）根據(jù)圖②寫出一個(gè)等式：．（2）已知等式：（x+1）（x+3）=x2+4x+3，請(qǐng)你畫出一個(gè)相應(yīng)的幾何圖形加以說明（仿照?qǐng)D①或圖②畫出圖形即可）．2．計(jì)算：（1）.（﹣x6）?（﹣x3）?（﹣x2）?（﹣x5）（2）.（xm﹣2yn）（3xm+yn）3．計(jì)算：2x（x﹣4）+（3x﹣1）（x+3）綜合考查：1．下面的計(jì)算不正確的是（）A．5a3﹣a3=4a3 B．2m?3n=6m+n C．2m?2n=2m+n D．﹣a2?（﹣a3）=a52．已知3n=a，3m=b，則3m+n+1=3．計(jì)算a?a5﹣（2a3）2的結(jié)果為（）A．a(chǎn)6﹣2a5 B．﹣a6 C．a(chǎn)6﹣4a5 D．﹣3a64．計(jì)算：﹣（﹣x2）3?（﹣x2）2﹣x?（﹣x3）3．5．已知am=5，an=3，求a2m+3n的值．6．計(jì)算：（1）.b3?bm?bm+1（2）.（﹣2a6）2+（﹣3a3）3?a3．7．計(jì)算：（1）.a（a﹣b）+ab；（2）.2（a2﹣3）﹣（2a2﹣1）．8．計(jì)算：2x（x﹣4）+（3x﹣1）（x+3）第二講乘法公式一．平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 要點(diǎn)詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如例題:1．若（2a+3b）（）=4a2﹣9b2，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a2．（﹣5a2+4b2）（）=25a4﹣16b4，括號(hào)內(nèi)應(yīng)填（）A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b23．下列多項(xiàng)式乘法中可以用平方差公式計(jì)算的是（）A．（﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x） C．（+y）（y﹣） D．（x﹣2）（x+1）4．下列運(yùn)用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤的是（）A．（b+a）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（m2+n2）（m2﹣n2）=m4﹣n4C．（2﹣3x）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4 D．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1同步練習(xí)1．計(jì)算（a﹣3b）（a+3b）﹣（﹣a﹣2b）（a﹣2b）2．計(jì)算：（1）.（x+2y）（2x﹣y）（2）.（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）3．運(yùn)用乘法公式計(jì)算（1）.103×97（2）.1022二．完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：例題：1．運(yùn)用乘法公式計(jì)算（a﹣3）2的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2﹣6a+9 B．a(chǎn)2﹣3a+9 C．a(chǎn)2﹣9 D．a(chǎn)2﹣6a﹣92．若（a+b）2=（a﹣b）2+A，則A為（）A．2ab B．﹣2ab C．4ab D．﹣4ab3．運(yùn)算結(jié)果是x4y2﹣2x2y+1的是（）A．（﹣1+x2y2）2 B．（1+x2y2）2 C．（﹣1+x2y）2 D．（﹣1﹣x2y）24．若a+b=3，ab=2，則a2+b2的值是（）A．2.5 B．5 C．10 D．15同步練習(xí)1．計(jì)算（﹣2m﹣1）2等于（）A．﹣4m2﹣4m+1 B．4m2﹣4m+1 C．4m2+4m+1 D．﹣（4m2﹣4m﹣1）2．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：992．3．已知：a+b=﹣3，ab=2，求a2+b2的值．4．將4個(gè)數(shù)abcd排成兩行，兩列，兩邊各加一條豎直線記成，定義=ad﹣bc．上述記號(hào)叫做2階行列式，若=8．求x的值．綜合考查：1．下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（﹣3x﹣2y）（3x﹣2y） B．（﹣2a﹣b）（2a+b） C．（x+2y）（2x﹣y） D．（m﹣n）（n﹣m）2．下列關(guān)于962的計(jì)算方法正確的是（）A．962=（100﹣4）2=1002﹣42=9984B．962=（95+1）（95﹣1）=952﹣1=9024C．962=（90+6）2=902+62=8136D．962=（100﹣4）2=1002﹣2×4×100+42=92163．x2﹣4x+m2是一個(gè)完全平方式，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．+2和﹣2 D．44．如果二次三項(xiàng)式x2﹣8x+m能配成完全平方式，那么m的值是．5．若代數(shù)式x2﹣8x+m為完全平方式，則m=6.（一個(gè)正方形的面積是（a2+8a+16）cm2，則此正方形的邊長是cm．7．如果9x2+kx+25是一個(gè)完全平方式，那么k的值是．8．計(jì)算：（1）.（2a+1）（﹣a﹣2）；（2）.（x+y﹣3）（x﹣y+3）．第三講相交線及三線八角一.對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角對(duì)頂角1.對(duì)頂角的模型：∠1和∠2是對(duì)頂角，∠3和∠4是對(duì)頂角.要點(diǎn)詮釋：①成對(duì)出現(xiàn)；②兩個(gè)角有公共的頂點(diǎn)；③角的兩邊互為反向延長線.2.對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.鄰補(bǔ)角1.鄰補(bǔ)角：兩個(gè)角有一條公共邊，他們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.2.鄰補(bǔ)角的模型：∠1和∠3是鄰補(bǔ)角，∠1和∠4是鄰補(bǔ)角，∠2和∠3是鄰補(bǔ)角，∠2和∠4是鄰補(bǔ)角，要點(diǎn)詮釋：①成對(duì)出現(xiàn)；②兩個(gè)角有公共的頂點(diǎn)；③兩個(gè)角有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.3.鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：兩個(gè)角的和為180°.例題：1.如圖，直線a、b相交于點(diǎn)O，將量角器的中心與點(diǎn)O重合，發(fā)現(xiàn)表示60°的點(diǎn)在直線a上，表示138°的點(diǎn)在直線b上，則∠1=_________°．2.如圖，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O．（1）寫出∠BOE的對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角；（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，求∠BOC的度數(shù).同步練習(xí)：1．如圖，有一個(gè)破損的扇形零件，小明利用圖中的量角器量出這個(gè)扇形零件的圓心角度數(shù)為50°，你認(rèn)為小明測(cè)量的依據(jù)是（）A．垂線段最短B．對(duì)頂角相等 C．圓的定義D．三角形內(nèi)角和等于180°2.下面四個(gè)圖中，∠1=∠2是對(duì)頂角的是（）A．B． C．D．3．下列各圖中，∠1和∠2可能是鄰補(bǔ)角的只有（）A．B． C．D．4．如圖，在所標(biāo)識(shí)的角中，互為對(duì)頂角的兩個(gè)角是（）A．∠1和∠2 B．∠1和∠4 C．∠2和∠3 D．∠3和∠4二．垂線垂線1.兩直線相交所形成的角中，當(dāng)有一個(gè)角等于90°時(shí)，這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，他們的交點(diǎn)叫做垂足.2.垂直的模型：要點(diǎn)詮釋：①直線a是直線b的垂線（或直線b是直線a的垂線），垂足為O.②直線a垂直于直線b于點(diǎn)O（或直線b垂直于直線a于點(diǎn)O）.結(jié)論：兩垂直直線形成的四個(gè)角都是直角，均為90°.3.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線段1.過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，以這個(gè)點(diǎn)和垂足為端點(diǎn)的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的垂線段.2.垂線段模型：線段AB是點(diǎn)A到直線a的垂線段.3.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.4.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.注意：距離是長度，不是線段.例題：1.如圖，OM⊥NP，ON⊥NP，所以O(shè)N與OM重合，理由是_________________.2.如圖,直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB,垂足為O.（1）寫出圖中與∠1互為余角的角；（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度數(shù)．3.如圖所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，則BD的長度的取值范圍是________________.4.如圖，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么點(diǎn)B到AC的距離是________cm，點(diǎn)A到BC的距離是________cm，C到AB的距離是___________cm．同步練習(xí)：1．如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E在直線l上，點(diǎn)P在直線l外，PC⊥l于點(diǎn)C，在線段PA，PB，PC，PD，PE中，最短的一條線段是，理由是2．如圖，體育課上老師測(cè)量跳遠(yuǎn)成績是這樣操作的：用一塊直角三角板的一邊附在踏跳板上，另一邊與拉直的皮尺重合，并且使皮尺經(jīng)過被測(cè)試同學(xué)的落點(diǎn)，這樣做的理由是三．三線八角模型：1.同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角分別在兩直線的同一方，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．如∠1與∠8，∠2與∠5.2.內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩側(cè)，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．如∠1與∠6，∠4與∠5.3.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同一旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．如∠1與∠5，∠4與∠6.要點(diǎn)詮釋.三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形.例題：1.如圖，圖中∠1與∠2是同位角的序號(hào)是___________.2.如圖，已知直線a，b被直線c，d所截，直線a，c，d相交于點(diǎn)O，按要求完成下列各小題．（1）在圖中的∠1～∠9這9個(gè)角中，同位角共有多少對(duì)？請(qǐng)你全部寫出來；（2）∠4和∠5是什么位置關(guān)系的角？∠6和∠8之間的位置關(guān)系與∠4和∠5的相同嗎？同步練習(xí)：1．如圖，直線AB，AF被BC所截，則∠2的同位角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠42．如圖，與∠1是同旁內(nèi)角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠53．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，則∠DAC的內(nèi)錯(cuò)角是（）A．∠ABD B．∠BDC C．∠ACB D．∠DOC4．下列所示的四個(gè)圖形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④綜合考查：1.如圖是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．2.如圖，線段AD、AE、AF分別是△ABC的高線，角平分線，中線，比較線段AC、AD、AE、AF的長短，其中最短的是_________________.3.如圖所示，AB⊥l1，AC⊥l2，則點(diǎn)A到直線l1的距離是線段_________的長度．4.如圖所示，直線AD與直線BD相交于點(diǎn)D，BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，AC與DC垂直于點(diǎn)C.點(diǎn)B到直線AD的距離是線段_______的長度，點(diǎn)D到直線AB的距離是線段的長度．5.如圖，直線a、b被直線c所截，互為同旁內(nèi)角是______________.6.如圖所示，兩只手的食指和拇指在同一平面內(nèi)，它們構(gòu)成的一對(duì)角可以看成__________.7.如圖，OC⊥AB于點(diǎn)O，∠1=∠2，則圖中互余的角有____________對(duì)．8.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度數(shù)．9.如圖所示：（1）與∠B是同旁內(nèi)角的有哪些角？（2）與∠C是內(nèi)錯(cuò)角的有哪些角？它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？第四講平行線一.平行公理及推論1.在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行.直線a與直線b不相交時(shí)，直線a與b互相平行，記作a∥b.2.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.例題：1.如圖，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，為什么？2.如圖，AD∥BC，E為AB上任一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF∥AD交DC于F．問EF與BC的位置關(guān)系怎樣，為什么？同步練習(xí)：1．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，這個(gè)推理的依據(jù)是（）A．等量代換 B．兩直線平行，同位角相等 C．平行公理 D．平行于同一直線的兩條直線平行2．對(duì)于同一平面內(nèi)的直線a、b、c，如果a與b平行，c與a平行，那么c與b的位置關(guān)系是．二．平行線的判定1.平行線的判定方法：判定方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.如圖1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如圖2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如圖3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2.重要結(jié)論：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.注意：條件“同一平面”不能缺少，否則結(jié)論不成立.例題：1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE與DF平行嗎？為什么？解：BE∥DF．∵AB⊥BC，∴∠ABC=____°，即∠3+∠4=____°．又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴____=____．理由是：_________．∴BE∥DF．理由是：_____________．同步練習(xí)：2．如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，下列條件能判斷AB∥CD的是（）A．∠1=∠2B．∠3=∠4 C．∠D=∠DCED．∠D+∠ACD=180°3．如圖，能判定a∥b的條件是（）A．∠1=∠5 B．∠2+∠4=180° C．∠3=∠4 D．∠2+∠1=180°4．如圖，已知∠1=（3x+24）°，∠2=（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1=（度）．三．平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.如圖1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性質(zhì)2兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.如圖2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性質(zhì)3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如圖3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.例題：1.如圖，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于點(diǎn)D，若∠1=20°，求∠2的度數(shù)．2．如圖所示，AB，CD，AE和CE均為筆直的公路，已知AB∥CD，AE與AB的夾角∠BAE為32°，若線段CF與EF的長度相等，則CD與CE的夾角∠DCE為（）A．58° B．32° C．16° D．15°同步練習(xí)：1．把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若∠2=140°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．35° C．40° D．45°2．如圖，將一塊三角板疊放在直尺上，若∠1=25°，則∠2的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．80°四．平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用兩直線平行同位角相等.兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).“”叫做“等價(jià)于”，即由左邊能推出右邊，由右邊也能推出左邊.例題：1.把下面的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，連接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，連接BE交DF于點(diǎn)G，試說明：∠EGF+∠AEG=180°．理由：∵DE∥AB（已知），∴∠A=∠CED（___________________________），又∵∠BFD=∠CED（已知），∴∠A=∠BFD（___________________），∴DF∥AE（___________________________）∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.2.已知：如圖∠1=∠2，∠C=∠D，試說明：∠A=∠F．同步練習(xí)：1．如圖，若∠1+∠2=180度，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1=∠3B．∠2=∠4 C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠3=180°．2．如圖所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=40°，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，那么與∠FCD相等的角有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，如果∠D=∠C=40°，∠A=80°，那么∠B的度數(shù)是（）A．40° B．80° C．60° D．無法確定五．命題、定理、證明1.命題：判斷一件事情的語句叫做命題.數(shù)學(xué)中的命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问剑叭绻焙蠼拥牟糠质穷}設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論.2.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題.假命題：題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.3.定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理.判斷一個(gè)命題正確性的推理過程叫做證明.4.判斷一個(gè)命題是真命題，需要進(jìn)行證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.例題：1.如圖，已知：點(diǎn)A、B、C在一條直線上．（1）請(qǐng)從三個(gè)論斷①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，選兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題：條件：__________________________．結(jié)論：___________________________．（2）證明你所構(gòu)建的是真命題．2．下列命題中是真命題的是（）A．相等的角是對(duì)頂角 B．相等的角的余角相等 C．若xy=0，則x=0 D．若一個(gè)數(shù)帶有根號(hào)，則它是無理數(shù)同步練習(xí)：1．下列命題中，屬于假命題的是（）A．三角形的內(nèi)角和等于180° B．圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是圓的對(duì)稱軸 C．對(duì)頂角相等 D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行2．下列命題是真命題的是（）A．若a≠0，則ab≠0 B．所有的命題都是定理 C．若|a|=|b|，則a=b D．定理是用來判斷其他命題真假的依據(jù)綜合考查：1．下列說法：①兩點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)間的線段的長度；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；④若a⊥b，c⊥b，則a與b的關(guān)系是平行；⑤只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線叫做相交直線；其中正確的是2．下列結(jié)論正確的是（）A．同位角相等 B．同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線 C．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 D．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行3．已知：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求證：ED∥FB．4．如圖，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，則∠1的度數(shù)為．5．如圖，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求證：∠1=∠2．6．如圖，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度數(shù)．第五講函數(shù)一．常量與變量在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.注意：字母可以表示數(shù)，但不一定是變量.例題：1.我國是一個(gè)嚴(yán)重缺水的國家，我們都應(yīng)該倍加珍惜水資源，節(jié)約用水．據(jù)測(cè)試，擰不緊的水龍頭每秒會(huì)滴下2滴水，每滴水約0.5毫升．小燕子同學(xué)在洗手時(shí)，沒有擰緊水龍頭，當(dāng)小燕子離開x（時(shí)）后水龍頭滴了y（毫升）水．在這段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是變量？同步練習(xí)：1．（如果用總長為60m的籬笆圍成一個(gè)長方形場(chǎng)地，設(shè)長方形的面積為S（m2）周長為p（m），一邊長為a（m），那么S、p、a中，常量是（）A．a(chǎn) B．p C．S D．p，a2．駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時(shí)間的變化而發(fā)生較大的變化．在這一問題中，自變量是（）A．時(shí)間 B．駱駝 C．沙漠 D．體溫3．在圓的周長公式C=2πR中，是變量的是（）A．C B．R C．π和R D．C和R二．函數(shù)的相關(guān)概念1.函數(shù)：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數(shù).2.函數(shù)值：在一個(gè)函數(shù)中，如果當(dāng)x=a時(shí)y=b，那么b叫做自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.3.解析式：用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，這種式子叫做函數(shù)解析式.4.函數(shù)自變量的取值范圍確定自變量的取值范圍時(shí)，不僅要考慮使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還要注意問題的實(shí)際意義.例題：1.某公司銷售部門發(fā)現(xiàn)，該公司的銷售收入隨銷售量的變化而變化，其中_________是自變量，____________是因變量．2.下列四個(gè)圖象中，y是關(guān)于x的函數(shù)的是____________.3.判斷下列選項(xiàng)中的變量y是否為x的函數(shù)？①y=2x；②y=2x2；③y2=2x；④y=2|x|；⑤|y|=2x．4.求下列函數(shù)自變量x的取值范圍．（1）y=﹣x2﹣5x+6；（2）y=4x-3；（3）y=7-x4+5x5.著名的狄利克雷（DcicHer）函數(shù)是這樣定義的：y=&1，（1）這個(gè)函數(shù)的自變量與因變量分別是什么？（2）這個(gè)函數(shù)的自變量的取值范圍和函數(shù)值的取值范圍分別是什么？（3）請(qǐng)分別寫出當(dāng)x═1，2，6.4，3.1415時(shí)的函數(shù)值．同步練習(xí)：1．下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是（）A．B．． C．．D．．2．下列的曲線中，表示y是x的函數(shù)的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．使函數(shù)y=有意義的自變量x的取值范圍是（）A．x≥6 B．x≥0 C．x≤6 D．x≤04．函數(shù)y=1﹣的自變量x的取值范圍是（）A．x≤1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≤0三．函數(shù)的表示方法①函數(shù)的表示方法——圖象法1.函數(shù)圖象對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量x與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值y分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.注：①以滿足函數(shù)解析式的有序?qū)崝?shù)對(duì)為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在函數(shù)圖象上；②函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式.2.畫函數(shù)圖象的步驟：①列表（表中隨機(jī)取出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；②描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；③連線（按橫坐標(biāo)由小到大的順序把描出的各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來）.3.用圖象法表示函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：直觀的反應(yīng)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，形象的反應(yīng)函數(shù)的一些性質(zhì)及變化趨勢(shì).缺點(diǎn)：由圖象所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系不準(zhǔn)確.例題：1.小紅幫弟弟蕩秋千（如圖1），秋千離地面的高度h（m）與擺動(dòng)時(shí)間t（s）之間的關(guān)系如圖2所示．（1）根據(jù)函數(shù)的定義，請(qǐng)判斷變量h是否為關(guān)于t的函數(shù)？（2）結(jié)合圖象回答：①當(dāng)t=0.7s時(shí)，h的值是多少？并說明它的實(shí)際意義．②秋千擺動(dòng)第一個(gè)來回需多少時(shí)間？2.一天，王亮同學(xué)從家里跑步到體育館，在那里鍛煉了一陣后又走到某書店去買書，然后散步走回家如圖反映的是在這一過程中，王亮同學(xué)離家的距離s（千米）與離家的時(shí)間t（分）之間的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問題：（1）體育館離家的距離為________千米，書店離家的距離為________千米；王亮同學(xué)在書店待了________分鐘．（2）分別求王亮同學(xué)從體育館走到書店的平均速度和從書店出來散步回家的平均速度．②函數(shù)的表示方法——列表法列表法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：可以直接找到函數(shù)值.缺點(diǎn)：只能列出部分自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，總結(jié)出的規(guī)律不一定可靠.同步練習(xí)：1.父親告訴小明：“距離地面越遠(yuǎn)，溫度越低，”并給小明出示了下面的表格．根據(jù)上表，父親還給小明出了下面幾個(gè)問題，你和小明一起回答．（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）如果用h表示距離地面的高度，用t表示溫度，那么隨著h的變化，t是怎么變化的？（3）你知道距離地面5千米的高空溫度是多少嗎？（4）你能猜出距離地面6千米的高空溫度是多少嗎？③函數(shù)的表示方法——解析式法解析式法表示函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡單準(zhǔn)確的反應(yīng)兩個(gè)變量之間的關(guān)系.缺點(diǎn)：不能形象直觀的反應(yīng)函數(shù)關(guān)系的變化趨勢(shì).有些函數(shù)關(guān)系不能用解析式表示.例題：1.將長為40cm，寬為15cm的長方形白紙，按圖所示的方法粘合起來，粘合部分寬為5cm．（1）根據(jù)圖，將表格補(bǔ)充完整．（2）設(shè)x張白紙粘合后的總長度為ycm，求y與x之間的函數(shù)解析式.（3）你認(rèn)為粘合起來白紙的總長度可能為2017cm嗎？為什么？同步練習(xí)：1．下表反映的是某地區(qū)電的使用量x（千瓦時(shí)）與應(yīng)交電費(fèi)y（元）之間的關(guān)系，下列說法不正確的是（）用電量x（千瓦時(shí)）1234…應(yīng)交電費(fèi)y（元）0.551.11.652.2…A．x與y都是變量，且x是自變量，y是x的函數(shù) B．用電量每增加1千瓦時(shí)，電費(fèi)增加0.55元 C．當(dāng)交電費(fèi)20.5元時(shí)，用電量為37千瓦時(shí) D．若用電量為8千瓦時(shí)，則應(yīng)交電費(fèi)4.4元2．彈簧掛上物體后伸長，已知一彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量m（kg）之間的關(guān)系如下表：所掛物體的質(zhì)量m/kg012345彈簧的長度y/cm1012.51517.52022.5下列說法錯(cuò)誤的是（）A．在沒掛物體時(shí)，彈簧的長度為10cm B．彈簧的長度隨所掛物體的質(zhì)量的變化而變化，彈簧的長度是自變量，所掛物體的質(zhì)量是因變量 C．彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量m（kg）之間的關(guān)系可用關(guān)系式y(tǒng)=2.5m+10來表示 D．在彈簧能承受的范圍內(nèi)，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為4kg時(shí)，彈簧的長度為20cm綜合考查：1．在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫隨所曬時(shí)間的長短而變化，這個(gè)問題中因變量是（）A．太陽光強(qiáng)弱 B．水的溫度 C．所曬時(shí)間 D．熱水器2．生活中太陽能熱水器已進(jìn)入千家萬戶，你知道嗎，在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫所曬時(shí)間的長短而變化，這個(gè)問題中因變量是（）A．水的溫度 B．太陽光強(qiáng)弱C．所曬時(shí)間 D．熱水器3．李明準(zhǔn)備租用一輛出租車搞個(gè)體營運(yùn)，現(xiàn)有甲乙兩家出租車公司可以和他簽訂合同，設(shè)汽車每月行駛x千米，應(yīng)付給甲公司的月租費(fèi)y1元，應(yīng)付給乙公司的月租費(fèi)是y2元，y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題：（1）每月行駛的路程在多少時(shí)，租甲，乙兩家公司的費(fèi)用相同？（2）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時(shí)，租甲公司的車合算？（3）若李明估計(jì)每月行駛的路程為2300千米時(shí)，租哪家合算？4．如圖表示一人騎自行車離家的距離與時(shí)間的關(guān)系，騎車者9時(shí)離開家，15時(shí)到家，根據(jù)圖象回答問題：（1）到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是什么時(shí)間？離家多遠(yuǎn)？（2）第一次休息時(shí)離家多遠(yuǎn)？（3）返回時(shí)的平均速度是多少？5．哥哥與弟弟兩個(gè)人跑步，哥哥讓弟弟先跑，如圖所示的是兩個(gè)人之間的距離y與時(shí)間x之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖中信息回答下列問題．（1）哥哥讓弟弟先跑多少秒？哥哥出發(fā)幾秒后追上了弟弟？（2）哥哥與弟弟的速度分別是多少？6．根據(jù)科學(xué)研究表明，在彈簧的承受范圍內(nèi)，彈簧掛上物體后會(huì)伸長，測(cè)得一彈簧的長度y（cm）與所掛的物體的重量x（kg）間有下表的關(guān)系：下列說法不正確的是（）x/kg012345y/cm2020.52121.52222.5A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量 B．彈簧不掛重物時(shí)的長度為0cm C．隨著所掛物體的重量增加，彈簧長度逐漸變長 D．所掛物體的重量每增加1kg，彈簧長度增加0.5cm7．變量x與y之間的關(guān)系式y(tǒng)=x2﹣2，當(dāng)自變量x=2時(shí)，因變量y的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．18．校園里栽下一棵小樹高1.8米，以后每年長0.3米，則n年后的樹高L與年數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系式，其中變量是、常量是．第六講三角形一．與三角形相關(guān)的線段三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)1.三角形三邊的關(guān)系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．2.三角形按“邊”分類：3.三角形的重要線段：（1）三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．要點(diǎn)詮釋：三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.（2）三角形的中線三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線，要點(diǎn)詮釋：一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.（3）三角形的角平分線三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.例題：1．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm2．如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE同步練習(xí)：1．如圖，D、E分別是△ABC的邊AC、BC的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（）A．DE是△ABC的中線 B．BD是△ABC的中線C．AD=DC，BE=EC