2024屆山東省沂源縣二中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆山東省沂源縣二中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正三角形的邊長(zhǎng)是，若是內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到三角形三邊的距離之和是定值.若把該結(jié)論推廣到空間，則有：在棱長(zhǎng)都等于的正四面體中，若是正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到正四面體各面的距離之和等于（）A． B． C． D．2．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（）A． B．C． D．3．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是A． B．C． D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被13整除”的第二步中，當(dāng)時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對(duì)變形正確的是（）A． B．C． D．6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿(mǎn)足（，且是遞減數(shù)列，是遞增數(shù)列，則A．B．C．D．8．在含有2件次品的6件產(chǎn)品中任取3件，恰有1件次品的概率為（）A． B． C． D．9．在數(shù)列中，，則等于（）A．9 B．10 C．27 D．8110．已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，使得，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．己知某物體的溫度θ（單位：攝氏度）隨時(shí)間t（單位：分鐘）的變化規(guī)律是θ＝m·2t+（t≥0，m＞0），若物體的溫度總不低于2攝氏度，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．（1，+∞]12．將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某圓柱是將邊長(zhǎng)為2的正方形（及其內(nèi)部）繞其一條邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的，則該圓柱的體積為_(kāi)______.14．已知集合，集合，那么集合的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)__個(gè)．15．已知，則a與b的大小關(guān)系______．16．從包括甲乙兩人的6名學(xué)生中選出3人作為代表，記事件：甲被選為代表，事件:乙沒(méi)有被選為代表，則等于_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最大值．18．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)存在不小于的極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)（其中）．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn).（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.21．（12分）已知：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；：雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)大于虛軸長(zhǎng).若命題“”為真命題，“”為假命題，求的取值范圍．22．（10分）設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|x＋7|＋|x－1|≥m恒成立．(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)m取最大值時(shí)，解關(guān)于x的不等式|x－3|－2x≤2m－12.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

將正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和，計(jì)算得到答案.【題目詳解】棱長(zhǎng)都等于的正四面體：每個(gè)面面積為：正四面體的高為：體積為：正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了體積的計(jì)算，將正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和是解題的關(guān)鍵.2、B【解題分析】由條件知：是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；所以在內(nèi)是增函數(shù)；在內(nèi)是減函數(shù)；所以時(shí)，故選B3、B【解題分析】

分別將兩個(gè)不等式解出來(lái)即可【題目詳解】由得由得所以“”是“”的必要不充分條件故選：B【題目點(diǎn)撥】設(shè)命題p對(duì)應(yīng)的集合為A，命題q對(duì)應(yīng)的集合為B，若AB,則p是q的充分不必要條件，若AB，則p是q的必要不充分條件，若A=B，則p是q的充要條件.4、C【解題分析】

根據(jù)且，可依次排除，從而得到答案.【題目詳解】由圖象知，且中，，不合題意；中，，不合題意；中，，不合題意；本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，常用方法是利用排除法得到結(jié)果，排除時(shí)通常采用特殊位置的符號(hào)來(lái)進(jìn)行排除.5、A【解題分析】試題分析：假設(shè)當(dāng)，能被13整除，當(dāng)應(yīng)化成形式，所以答案為A考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法6、D【解題分析】分析：對(duì)求導(dǎo)，令，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，得?故選D點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】試題分析：由可得：，又是遞減數(shù)列，是遞增數(shù)列，所以，即，由不等式的性質(zhì)可得：，又因?yàn)?，即，所以，即，同理可得：；?dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，令，可得：，將這個(gè)式子相加得：，所以，則，所以選D．考點(diǎn)：1．裂項(xiàng)相消法求和；2．等比數(shù)列求和；8、A【解題分析】

求出基本事件的總數(shù)和恰有1件次品包含的基本事件個(gè)數(shù)即可.【題目詳解】在含有2件次品的6件產(chǎn)品中任取3件，基本事件的總數(shù)為：恰有1件次品包含的基本事件個(gè)數(shù)為在含有2件次品的6件產(chǎn)品中任取3件，恰有1件次品的概率為故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查的是古典概型及組合的知識(shí)，較簡(jiǎn)單.9、C【解題分析】

利用題設(shè)中遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【題目詳解】由題意，在數(shù)列中，，即可得數(shù)列表示首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】分析：數(shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，使得，等價(jià)于有兩個(gè)整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)在，由零點(diǎn)存在定理，列不等式組，從而可得結(jié)果..詳解：因?yàn)樗院瘮?shù)，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)，使得，等價(jià)于有兩個(gè)整數(shù)解，設(shè)，令，令恒成立，單調(diào)遞減，又，存在，使遞增，遞減，若解集中的整數(shù)恰為個(gè)，則是解集中的個(gè)整數(shù)，故只需，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查不等式有解問(wèn)題以及方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于難題.不等式有解問(wèn)題不能只局限于判別式是否為正，不但可以利用一元二次方程根的分布解題，還可以轉(zhuǎn)化為有解（即可）或轉(zhuǎn)化為有解（即可）,另外，也可以結(jié)合零點(diǎn)存在定理，列不等式（組）求解.11、C【解題分析】

直接利用基本不等式求解即可．【題目詳解】由基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)“m?2t＝21﹣t”時(shí)取等號(hào)，由題意有，，即，解得．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式的運(yùn)用，注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】試題分析：函數(shù)，的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得，選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意得到圓柱底面圓半徑為，高為，根據(jù)圓柱的體積公式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閳A柱是將邊長(zhǎng)為2的正方形（及其內(nèi)部）繞其一條邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的，則圓柱底面圓半徑為，高為，所以該圓柱的體積是.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的體積，熟記圓柱體積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、1．【解題分析】

可以求出集合M，N，求得并集中元素的個(gè)數(shù)，從而得出子集個(gè)數(shù)．【題目詳解】∵M(jìn)＝{﹣1，1}，N＝{1，2}；∴M∪N＝{﹣1，1，2}；∴M∪N的子集個(gè)數(shù)為23＝1個(gè)．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查描述法、列舉法的定義，以及并集的運(yùn)算，子集的定義，以及集合子集個(gè)數(shù)的求法．15、a＜b【解題分析】

可先利用作差法比較兩數(shù)平方的大小，然后得出兩數(shù)的大小關(guān)系.【題目詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，而，所以得?【題目點(diǎn)撥】本題考查了綜合法與分析法比較兩數(shù)的大小關(guān)系，解題時(shí)可先用分析法進(jìn)行分析，再用綜合法進(jìn)行書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程.16、【解題分析】因?yàn)椋?。?yīng)填答案。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）4【解題分析】

（Ⅰ）首先判斷函數(shù)是奇函數(shù)，再判斷在和上單調(diào)遞增，最后利用函數(shù)的性質(zhì)化為簡(jiǎn)單不等式得到答案.（Ⅱ）先求出表達(dá)式，再利用換元法化簡(jiǎn)函數(shù)，求函數(shù)的最大值代入不等式解得的最大值.【題目詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，又，所以在和上單調(diào)遞增又，即，所以，即，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；（Ⅱ），令，∵，∴，∴，又時(shí)，∴在上為增函數(shù)，∴，∴的值域是∵恒成立，∴，，∴，的最大值為4.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，解不等式，恒成立問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和解決問(wèn)題的能力.18、(1);(2).【解題分析】分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解便得增區(qū)間．（2）要使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是讓函數(shù)在[1，3]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，令，下面要做的就是考查在區(qū)間內(nèi)最值情況，若有最大值，則限制最大值大于0，然后兩個(gè)端點(diǎn)值都小于0，若有最小值，情況恰好相反．詳解：（1），∵，時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）令，則，∴時(shí)，，時(shí)，，∴是的極大值，也是在上的最大值.∵函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有，，.所以有.解得，所以的取值范圍是.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這個(gè)不難掌握，注意做第二題，，.，這幾個(gè)限制條件的得出，并掌握做這類(lèi)題的方法．.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，然后令極值大于等于，解出不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于，對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合條件可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，得，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在時(shí)取得極小值，且極小值為.令，即，得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于，記，由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)時(shí)，由可知，所以成立；②當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而，命題成立.③當(dāng)時(shí)，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，記，則，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，.，，所以在區(qū)間內(nèi)，存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，常利用分類(lèi)討論法，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)求解，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題.20、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（i）（ii）見(jiàn)解析【解題分析】

（Ⅰ）將代入解析式，并求得導(dǎo)函數(shù)及，由求得極值點(diǎn)并判斷出單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性可求得的最小值，由即可證明在上單調(diào)遞增，從而由即可證明不等式成立；（Ⅱ）（i）由極值點(diǎn)意義可知有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，并求得，分類(lèi)討論的符號(hào)及單調(diào)情況，即可確定的最小值，進(jìn)而由函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況確定的取值范圍；（ii）由（i）中的兩個(gè)交點(diǎn)可得，代入解析式并求得且令，分離參數(shù)可得并代入中，求得，從而證明在上單調(diào)遞增，即可由單調(diào)性證明不等式成立.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，由解得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，原不等式得證.（Ⅱ）（i）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)根，又顯然不是方程的根，所以方程有兩個(gè)根.令，，當(dāng)時(shí)，，且，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，且，，用直線(xiàn)截此圖象，所以當(dāng)，即時(shí)滿(mǎn)足題意.（ii）證明：由（i）知，，∴，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.原題得證.【題目點(diǎn)撥】本題考查了由導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)和最值的綜合應(yīng)用，分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，函數(shù)極值點(diǎn)與零點(diǎn)、函數(shù)圖像交點(diǎn)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，屬于難題.21、【解題分析】試題分析：若真，則，解得的范圍，若真，則，且，解得的范圍，由為真命題，為假命題，可得，中有且只有一個(gè)為真命題，即必一真一假，即可求得的范圍.試題解析：若真，則，解得：.若真，則，且，解得：.∵為真命題，為假命題∴，中有且只有一個(gè)為真命題，即必一真一假①