2024屆四川省成都市龍泉第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測試題含解析

2024屆四川省成都市龍泉第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．2．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．3．若a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分必要條件4．已知,,,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是()A． B． C． D．5．如圖，設(shè)D是邊長為l的正方形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)與所構(gòu)成(陰影部分)的區(qū)域，在D中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在E中的概率是（）A．B．C．D．6．若復(fù)數(shù)滿足，則=（）．A． B． C． D．7．已知全集，集合,，則（）A． B．C． D．8．若集合，，則()A． B．C． D．9．已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)作實(shí)軸的垂線交雙曲線于，兩點(diǎn)，若是直角三角形，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．10．當(dāng)輸入a的值為，b的值為時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的結(jié)果是()A． B． C． D．11．設(shè)，是雙曲線的左、右兩個焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．在一段線路中并聯(lián)著兩個獨(dú)立自動控制的開關(guān)，只要其中一個開關(guān)能夠閉合，線路就可以正常工作.設(shè)這兩個開關(guān)能夠閉合的概率分別為0.5和0.7，則線路能夠正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線l經(jīng)過點(diǎn)，且一個法向量為，則直線l的方程是________.14．除以9的余數(shù)為_______；15．若復(fù)數(shù)z滿足方程，其中i為虛數(shù)單位，則________.16．若平面的一個法向量為，直線的方向向量為，則與所成角的大小為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，且，橢圓上任意一點(diǎn)到，的距離之和為4.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實(shí)數(shù)的最小值.19．（12分）已知數(shù)列滿足：.（Ⅰ）若，且，，成等比數(shù)列，求；（Ⅱ）若，且，，，成等差數(shù)列，求.20．（12分）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱之為塹堵；將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱之為鱉臑[biēnào]．某學(xué)?？茖W(xué)小組為了節(jié)約材料，擬依托校園內(nèi)垂直的兩面墻和地面搭建一個塹堵形的封閉的實(shí)驗(yàn)室，是邊長為2的正方形．（1）若是等腰三角形，在圖2的網(wǎng)格中（每個小方格都是邊長為1的正方形）畫出塹堵的三視圖；（2）若，在上，證明：，并回答四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；（3）當(dāng)陽馬的體積最大時，求點(diǎn)到平面的距離．21．（12分）世界那么大，我想去看看，每年高考結(jié)束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動機(jī)強(qiáng)烈，旅游可支配收入日益增多，可見高中畢業(yè)生旅游是一個巨大的市場.為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費(fèi)支出（單位:百元）的情況，相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某市的1000名畢業(yè)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100）頻數(shù)22504502908（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在[80,100）范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生，3名男生，現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附:若，則，22．（10分）設(shè)，已知，為關(guān)于的二次方程兩個不同的虛根，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，求實(shí)數(shù)，的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

恒成立等價于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求其最大值，進(jìn)而得到答案?！绢}目詳解】恒成立等價于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，，令，則，所以當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞增，在上的單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，，所以故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)解答恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于一般題。2、B【解題分析】是定義在上的偶函數(shù)，，即，則函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故兩邊同時平方解得，故選3、B【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的概念，即可判斷出結(jié)果.【題目詳解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件與必要條件的概念，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解題分析】

容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，從而可得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；∴a＞b＞c．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，熟記單調(diào)性是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題5、A【解題分析】試題分析：正方形面積為1，陰影部分的面積為，所以由幾何概型概率的計算公式得，點(diǎn)在E中的概率是，選A.考點(diǎn)：定積分的應(yīng)用，幾何概型.6、D【解題分析】

先解出復(fù)數(shù)，求得，然后計算其模長即可.【題目詳解】解：因?yàn)椋运运怨蔬xD.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

試題分析：，所以．考點(diǎn)：集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算．8、A【解題分析】分析：求出及，即可得到.詳解：則.故選C.點(diǎn)睛：本題考查集合的綜合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】分析：由題意結(jié)合雙曲線的結(jié)合性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由雙曲線的對稱性可知：，則為等腰直角三角形，故，由雙曲線的通徑公式可得：，據(jù)此可知：，即，整理可得：，結(jié)合解方程可得雙曲線的離心率為：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．10、C【解題分析】

模擬程序的運(yùn)行，根據(jù)程序流程，依次判斷寫出a，b的值，可得當(dāng)a=b=4時，不滿足條件a≠b，輸出a的值為4，即可得解．【題目詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得a=16，b=12滿足條件a≠b，滿足條件a>b，a=16?12=4，滿足條件a≠b，不滿足條件a>b，b=12?4=8，滿足條件a≠b，不滿足條件a>b，b=4?4=4，不滿足條件a≠b，輸出a的值為4.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計算，直到達(dá)到輸出條件即可.11、D【解題分析】

取的中點(diǎn)，利用，可得，從而可得，利用雙曲線的定義及勾股定理，可得結(jié)論．【題目詳解】取的中點(diǎn)，則，，.，是的中點(diǎn)，，，，，，，.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，確定是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力。12、C【解題分析】試題分析：線路能夠了正常工作的概率=,故選C.考點(diǎn)：獨(dú)立事件，事件的關(guān)系與概率.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)法向量得直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程【題目詳解】因?yàn)橹本€一個法向量為，所以直線l的斜率為，因此直線l的方程是故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

將變?yōu)椋枚?xiàng)式定理展開可知余數(shù)因不含因數(shù)的項(xiàng)而產(chǎn)生，從而可知余數(shù)為.【題目詳解】由題意得：除以的余數(shù)為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查余數(shù)問題的求解，考查學(xué)生對于二項(xiàng)式定理的掌握情況，關(guān)鍵是能夠配湊出除數(shù)的形式，屬于?？碱}型.15、2【解題分析】

設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計算得到即可.【題目詳解】由已知，設(shè)，則，所以，解得，故，.故答案為：2.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)相等的概念，是一道容易題.16、.【解題分析】

利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值，即可得出直線與平面所成角的大小.【題目詳解】設(shè)，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，.因此，直線與平面所成角的大小為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用空間向量法求直線與平面所成的角，解題的關(guān)鍵就是利用空間向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由已知可求出，，問題得解；（Ⅱ）設(shè)，，，的方程為，聯(lián)立方程組，得，所以，，由已知得，代入坐標(biāo)運(yùn)算得，由弦長公式可求出，且到直線的距離，再由即可求解，最后還要考慮斜率不存在的情況.【題目詳解】解：（Ⅰ）由得，由橢圓定義知，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，消去，化簡為：，設(shè)，，，由韋達(dá)定理得，，由得；四邊形為平行四邊形得，∴，代入橢圓方程化簡得：適合；原點(diǎn)到直線的距離，，∴；當(dāng)直線的斜率不存在時，由題意得直線必過長半軸的中點(diǎn)，不妨設(shè)其方程為，算出.綜上所述，平行四邊形的面積.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的方程和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，是本題的核心思想，屬于難題.18、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負(fù)分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的最小值即可.【題目詳解】（1）證明：由,得,.設(shè),所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,.又因?yàn)椋ㄆ渲校?所以,,所以,成立.（2）解：設(shè),.,,所以,.下面證明當(dāng)時,成立.,因?yàn)?所以,所以.又因?yàn)楫?dāng)時,,所以,所以,所以,當(dāng)時,.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的問題,同時也考查了數(shù)列中求最大值項(xiàng)的方法.需要構(gòu)造數(shù)列求解的正負(fù)判斷,屬于難題.19、（Ⅰ）或；（Ⅱ）是小于等于的所有實(shí)數(shù)值.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)所給的遞推公式，把，用表示，然后根據(jù)，，成等比數(shù)列，列出等式，求出；（Ⅱ）根據(jù)所給的遞推公式，把，用表示，然后根據(jù)，，成等差數(shù)列，列出等式，求出；【題目詳解】（I）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，①時，所以，得；②當(dāng)，所以，得（舍）或綜合①②可知，或.（II）因?yàn)椋裕?，因，，，成等差?shù)列，而顯然，，成等差數(shù)列且公差為4，所以得，即，故即所求是小于等于的所有實(shí)數(shù)值.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，考查了絕對值的運(yùn)算，考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查了分類思想.20、（1）答案見解析（2）答案見解析（3）【解題分析】

（1）根據(jù)其幾何體特征,即可畫出其三視圖.（2）證明,結(jié)合,即可得到面,進(jìn)而可證明.（3）陽馬的體積為:,根據(jù)均值不等式可得:(取得等號),即可求得.以點(diǎn)為頂點(diǎn),以底面求三棱錐體積,在以點(diǎn)為頂點(diǎn),以底面求三棱錐體積.利用等體積法即可求得點(diǎn)到平面的距離.【題目詳解】（1）畫出塹堵的三視圖:（2）如圖,連接和.由題意可知:面,在平面又面故:,可得為直角三角形.由題意可知,,都是直角三角形.四面體四個面都是直角三角形,故四面體是鱉臑.（3）在中,根據(jù)均值不等式可得:(取得