2024屆湖南省湘東六校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆湖南省湘東六校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合為，樣本中心點(diǎn)為，且其回歸直線方程為，則當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為（）A． B． C． D．2．設(shè)集合，|，則（）A． B． C． D．3．已知命題,那么命題為A． B．C． D．4．在一次連環(huán)交通事故中，只有一個(gè)人需要負(fù)主要責(zé)任，但在警察詢問時(shí)，甲說：“主要責(zé)任在乙”；乙說：“丙應(yīng)負(fù)主要責(zé)任”；丙說“甲說的對”；丁說：“反正我沒有責(zé)任”．四人中只有一個(gè)人說的是真話，則該事故中需要負(fù)主要責(zé)任的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．若，則（）A．10 B．-10 C．1014 D．10346．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為A． B． C．1 D．7．下列各對函數(shù)中，圖象完全相同的是（）A．與 B．與C．與 D．與8．“”是“函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．若變量滿足約束條件，則的取值范圍是()A． B． C． D．10．變量與相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量與相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量與之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()A． B． C． D．11．已知x，y滿足不等式組則z="2x"+y的最大值與最小值的比值為A． B． C． D．212．已知一種元件的使用壽命超過年的概率為，超過年的概率為，若一個(gè)這種元件使用到年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過年的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若記數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則________14．將參數(shù)方程（為參數(shù)），轉(zhuǎn)化成普通方程為_______．15．已知集合，，則_______.16．已知，N*，滿足，則所有數(shù)對的個(gè)數(shù)是____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的最大值為4.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求的最小值.18．（12分）為推行“新課堂”教學(xué)法，某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式，在甲、乙兩個(gè)平行班級進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”．分?jǐn)?shù)[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100]甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷“成績優(yōu)良與教學(xué)方式是否有關(guān)”?甲班乙班總計(jì)成績優(yōu)良成績不優(yōu)良總計(jì)現(xiàn)從上述40人中，學(xué)校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核．在這8人中，記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：．臨界值表19．（12分）已知f(x)=12sin（1）求fx（2）CD為△ABC的內(nèi)角平分線，已知AC=f(x)max，BC=f(x)min20．（12分）隨著社會的進(jìn)步與發(fā)展，中國的網(wǎng)民數(shù)量急劇增加.下表是中國從年網(wǎng)民人數(shù)及互聯(lián)網(wǎng)普及率、手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)（單位：億）及手機(jī)網(wǎng)民普及率的相關(guān)數(shù)據(jù).年份網(wǎng)民人數(shù)互聯(lián)網(wǎng)普及率手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)手機(jī)網(wǎng)民普及率2009201020112012201320142015201620172018（互聯(lián)網(wǎng)普及率（網(wǎng)民人數(shù)/人口總數(shù)）×100%；手機(jī)網(wǎng)民普及率（手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)/人口總數(shù)）×100%）（Ⅰ）從這十年中隨機(jī)選取一年，求該年手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過80%的概率；（Ⅱ）分別從網(wǎng)民人數(shù)超過6億的年份中任選兩年，記為手機(jī)網(wǎng)民普及率超過50%的年數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）若記年中國網(wǎng)民人數(shù)的方差為，手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)的方差為，試判斷與的大小關(guān)系.（只需寫出結(jié)論）21．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).22．（10分）已知數(shù)列滿足：，（R，N*）．（1）若，求證：；（2）若，求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，可得，然后代值計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當(dāng)當(dāng)時(shí)，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

解出集合M中的不等式即可【題目詳解】因?yàn)椋怨蔬x：C【題目點(diǎn)撥】本題考查的是解對數(shù)不等式及集合的運(yùn)算，屬于基本題.3、C【解題分析】

全稱命題的否定是特稱命題,要前改量詞，后面否定結(jié)論,故選C.4、A【解題分析】

①假定甲說的是真話，則丙說“甲說的對”也是真話，這與四人中只有一個(gè)人說的是真話矛盾，所以假設(shè)不成立，故甲說的是假話；②假定乙說的是真話，則丁說“反正我沒有責(zé)任”也為真話，這與四人中只有一個(gè)人說的是真話矛盾，所以假設(shè)不成立，故乙說的是假話；③假定丙說的是真話，由①知甲說的也是真話，這與四人中只有一個(gè)人說的是真話矛盾，所以假設(shè)不成立，故丙說的是假話；綜上可得，丁說的真話，甲乙丙三人說的均為假話，即乙丙丁沒有責(zé)任，所以甲負(fù)主要責(zé)任，故選A.5、C【解題分析】

先求出，對等式兩邊求導(dǎo)，代入數(shù)據(jù)1得到答案.【題目詳解】取對等式兩邊求導(dǎo)取故答案為C【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，對兩邊求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.6、A【解題分析】，虛部為．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的定義．7、C【解題分析】

先判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域是否是同一個(gè)集合，再判斷兩個(gè)函數(shù)的解析式是否可以化為一致．【題目詳解】解：對于A、∵的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋畠蓚€(gè)函數(shù)的對應(yīng)法則不相同，∴不是同一個(gè)函數(shù)．對于B、∵的定義域，的定義域均為．∴兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)．對于C、∵的定義域?yàn)榍遥亩x域?yàn)榍遥畬?yīng)法則相同，∴兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．對于D、的定義域是，的定義域是，定義域不相同，∴不是同一個(gè)函數(shù)．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩個(gè)函數(shù)解析式是否表示同一個(gè)函數(shù)，需要兩個(gè)條件：①兩個(gè)函數(shù)的定義域是同一個(gè)集合；②兩個(gè)函數(shù)的解析式可以化為一致．這兩個(gè)條件缺一不可，必須同時(shí)滿足．8、A【解題分析】分析：先求函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)的解集，，再用集合的關(guān)系判斷充分條件、還是必要條件。詳解：函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，則，所以的解集那么是的子集，故充分非必要條件，選A點(diǎn)睛：在判斷命題的關(guān)系中，轉(zhuǎn)化為判斷集合的關(guān)系是容易理解的一種方法。9、B【解題分析】分析：根據(jù)約束條件畫出平面區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為，則為直線的截距，通過平推法確定的取值范圍.詳解：（1）畫直線，和，根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，如圖所示.（2）將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為直線，則為直線的截距.（3）畫直線，平推直線，確定點(diǎn)A、B分別取得截距的最小值和最大值.易得,聯(lián)立方程組,解得，B坐標(biāo)為（4）分別將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入，，的取值范圍是故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃問題，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵.目標(biāo)函數(shù)型線性規(guī)劃問題解題步驟：（1）確定可行區(qū)域（2）將轉(zhuǎn)化為，求z的值，可看做求直線，在y軸上截距的最值。（3）將平移，觀察截距最大（?。┲祵?yīng)的位置，聯(lián)立方程組求點(diǎn)坐標(biāo)。（4）將該點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算Z。10、C【解題分析】

求出，，進(jìn)行比較即可得到結(jié)果【題目詳解】變量與相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為即變量與相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為這一組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)則第一組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)大于，第二組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)小于則故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是變量的相關(guān)性，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

解：因?yàn)閤，y滿足不等式組，作出可行域，然后判定當(dāng)過點(diǎn)（2,2）取得最大，過點(diǎn)（1,1）取得最小，比值為2，選D12、A【解題分析】

記事件該元件使用壽命超過年，記事件該元件使用壽命超過年，計(jì)算出和，利用條件概率公式可求出所求事件的概率為.【題目詳解】記事件該元件使用壽命超過年，記事件該元件使用壽命超過年，則，，因此，若一個(gè)這種元件使用到年時(shí)還未失效，則這個(gè)元件使用壽命超過年的概率為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，解題時(shí)要弄清楚兩個(gè)事件的關(guān)系，并結(jié)合條件概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查分析問題和計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析兩組數(shù)據(jù)之間關(guān)系，再根據(jù)數(shù)據(jù)變化規(guī)律確定對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差變化規(guī)律，即得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，所以，因此，即故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)以及數(shù)據(jù)變化對標(biāo)準(zhǔn)差的影響規(guī)律，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.14、【解題分析】

將參數(shù)方程變形為，兩式平方再相減可得出曲線的普通方程.【題目詳解】將參數(shù)方程變形為，兩等式平方得，上述兩個(gè)等式相減得，因此，所求普通方程為，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程化為普通方程，在消參中，常用平方消元法與加減消元法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解題分析】

集合，是數(shù)集，集合的交集運(yùn)算求出公共部分.【題目詳解】，，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合交集運(yùn)算.交集運(yùn)算口訣：“越交越少，公共部分”.16、4；【解題分析】

因?yàn)?，即，所以，因?yàn)橐阎?，N*，所以，，繼而討論可得結(jié)果．【題目詳解】因?yàn)?，即，所以，因?yàn)橐阎?，N*，所以，，又，故有以下情況：若，得：，若得：，若得：，若得：，即的值共4個(gè)．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)論中的計(jì)數(shù)問題，是創(chuàng)新型問題，對綜合能力的考查要求較高．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】【試題分析】(1)利用絕對值不等式,消去,可求得實(shí)數(shù)的值.(2)由(1)得.利用配湊法,結(jié)合基本不等式可求得最小值.【試題解析】（1）由，當(dāng)且僅當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)取最大值，即；（2）由（1）及可知，∴，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”）∴的最小值為4.18、（1）在犯錯概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.（2）見解析【解題分析】

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)對應(yīng)填寫，再根據(jù)卡方公式求，最后對照參考數(shù)據(jù)作判斷，（2）先根據(jù)分層抽樣得成績不優(yōu)良的人數(shù)，再確定隨機(jī)變量取法，利用組合數(shù)求對應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.【題目詳解】解：（1）根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，在犯錯概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.(2)由表可知在8人中成績不優(yōu)良的人數(shù)為，則的可能取值為0,1,2,1．；；；．的分布列為：所以．【題目點(diǎn)撥】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19、(1)f(x)max【解題分析】

（1）先利用二倍角公式以及輔助角公式化簡fx，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值，（2）先根據(jù)正弦定理得AD=2BD，再根據(jù)余弦定理列方程解得cos1【題目詳解】（1）f(x)=12=3∵f(x)在[0,π6]∴f(x)（2）△ADC中，ADsinC2=AC∵sin∴AD=2BD△BCD中，BD△ACD中，AD∴【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式、輔助角公式以后正弦函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）由表格得出手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過的年份，由概率公式計(jì)算即可；（Ⅱ）由表格得出的可能取值，求出對應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；（Ⅲ）觀察兩組數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)網(wǎng)民人數(shù)集中在之間的人數(shù)多于手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)，則網(wǎng)民人數(shù)比較集中，而手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)較為分散，由此可得出.【題目詳解】解：（Ⅰ）設(shè)事件：“從這十年中隨機(jī)選取一年，該年手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過”.由題意可知：該年手機(jī)網(wǎng)民人數(shù)占網(wǎng)民總?cè)藬?shù)比值超過80%的年份為，共6個(gè)則.（Ⅱ）網(wǎng)民人數(shù)超過6億的年份有共六年，