2024屆廣東省廣州市仲元中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2024屆廣東省廣州市仲元中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等于（）A． B． C． D．2．某城市關(guān)系要好的，，，四個(gè)家庭各有兩個(gè)小孩共人，分別乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐名（乘同一輛車的名小孩不考慮位置），其中戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的名小孩恰有名來自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．下列結(jié)論中正確的是（）A．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極大值C．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極小值D．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極大值4．已知是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，若，則的虛部為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）6．已知是拋物線上一點(diǎn)，則到拋物線焦點(diǎn)的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．67．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．8．高二（3）班共有學(xué)生56人，現(xiàn)根據(jù)座號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知3號、31號、45號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的座號是A．15 B．16 C．17 D．189．(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．8010．已知某同學(xué)在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時(shí)答對的概率為，在A題答對的情況下，B題也答對的概率為，則A題答對的概率為()A． B． C． D．11．已知雙曲線與橢圓：有共同的焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．12．已知展開式的常數(shù)項(xiàng)為15，則（）A． B．0 C．1 D．-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.14．如圖，在平面四邊形中，，，，.若點(diǎn)為上的動點(diǎn)，則的最小值為______.15．有一個(gè)容器，下部分是高為的圓柱體，上部分是與圓柱共底面且母線長為的圓錐，現(xiàn)不考慮該容器內(nèi)壁的厚度，則該容器的最大容積為___________．16．方程的解為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和及的值；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求、、的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（3）對任意正整數(shù)，若恒成立，求的取值范圍.18．（12分）從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫出抽完紅球所需次數(shù)的分布列.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，底面點(diǎn)是的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若且與平面所成角的大小為，求二面角的正弦值．20．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，其中為常數(shù).（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)設(shè)施，我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對國防安全意義重大，而且在民用領(lǐng)域的精準(zhǔn)化應(yīng)用也越來越廣泛.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2016年衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)到2118億元，較2015年約增長.下面是40個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于500萬元的城市個(gè)數(shù)；（2）在上述抽取的40個(gè)城市中任取2個(gè)，設(shè)為產(chǎn)值不超過500萬元的城市個(gè)數(shù)，求的分布列及期望和方差.22．（10分）在國家積極推動美麗鄉(xiāng)村建設(shè)的政策背景下，各地根據(jù)當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)資源打造了眾多特色紛呈的鄉(xiāng)村旅游勝地.某人意圖將自己位于鄉(xiāng)村旅游勝地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季隨機(jī)選取100天，對當(dāng)?shù)匾延械牧g不同價(jià)位的民宿進(jìn)行跟蹤，統(tǒng)計(jì)其出租率（），設(shè)民宿租金為（單位：元/日），得到如圖所示的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖.（1）若用“出租率”近似估計(jì)旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金為388元的那間民宿在淡季內(nèi)的三天中至少有2天閑置的概率.（2）①根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪個(gè)更適合于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？根據(jù)判斷結(jié)果求回歸方程；②若該地一年中旅游淡季約為280天，在此期間無論民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，則每天需要再付出的日常支出成本.試用①中模型進(jìn)行分析，旅游淡季民宿租金約定為多少元時(shí)，該民宿在這280天的收益達(dá)到最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；.參考數(shù)據(jù)：記，，，，，，，，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)排列數(shù)的定義求解.【題目詳解】，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列數(shù)的定義.2、B【解題分析】若A戶家庭的李生姐妹乘坐甲車,即剩下的兩個(gè)小孩來自其他的2個(gè)家庭,有種方法.若A戶家庭的李生姐妹乘坐乙車,那來自同一家庭的2名小孩來自剩下的3個(gè)家庭中的一個(gè),有.所以共有12+12=24種方法.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．3、B【解題分析】

根據(jù)極值點(diǎn)的判斷方法進(jìn)行判斷.【題目詳解】若，則，，但是上的增函數(shù)，故不是函數(shù)的極值點(diǎn).因?yàn)樵诘淖髠?cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，故的左側(cè)附近，有為增函數(shù)，在的右側(cè)附近，有為減函數(shù)，故是極大值.故選B.【題目點(diǎn)撥】函數(shù)的極值刻畫了函數(shù)局部性質(zhì)，它可以理解為函數(shù)圖像具有“局部最低（高）”的特性，用數(shù)學(xué)語言描述則是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可導(dǎo)且的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號發(fā)生變化，則必為函數(shù)的極值點(diǎn)，具體如下．（1）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極大值點(diǎn)；（1）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極小值點(diǎn)；4、A【解題分析】由題意可得：，則，據(jù)此可得，的虛部為.本題選擇A選項(xiàng).5、B【解題分析】

先求出當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）≥4，則根據(jù)條件得到當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【題目詳解】當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），則當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，則不等式logax≥1不成立，當(dāng)a＞1時(shí)，則由logax≥1=logaa，則a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的表達(dá)式先求出當(dāng)x≤2時(shí)的函數(shù)的值域是解決本題的關(guān)鍵．6、B【解題分析】分析：直接利用拋物線的定義可得：點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離．詳解：由拋物線方程可得拋物線中，則利用拋物線的定義可得點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離．故選B.點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】z=，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】試題分析：由系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)—等距離可得，∴3號、17號、號、號同學(xué)在樣本中.考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣.9、C【解題分析】，由展開式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)時(shí)，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.故選C.【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.10、B【解題分析】分析：根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.詳解：設(shè)事件A：答對A題，事件B：答對B題，則，..故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

由橢圓方程求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，及橢圓的離心率，結(jié)合題意進(jìn)一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實(shí)半軸長，再結(jié)合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長得答案．【題目詳解】由橢圓，得，，則，雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為．設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為m，則，得，則虛半軸長，雙曲線的方程是．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，是中檔題．12、A【解題分析】

先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)為15，求得的值．【題目詳解】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，由此求得，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其準(zhǔn)線方程即可.【題目詳解】由拋物線方程可得，則，故準(zhǔn)線方程為.故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由拋物線方程確定其準(zhǔn)線的方法，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

建立直角坐標(biāo)系，得出，，利用向量的數(shù)量積公式即可得出，結(jié)合，得出的最小值.【題目詳解】因?yàn)?，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以直線的斜率為，易得，因?yàn)?，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，所以，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則，，所以又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積以及直線與方程．15、【解題分析】

設(shè)圓柱底面圓的半徑為，分別表示出圓柱和圓錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)，并判斷在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值，即為容器的最大容積.【題目詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，圓柱體的高為，則圓柱的體積為；圓錐的高為，則圓錐的體積，所以該容器的容積為則，令，即，化簡可得，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值；代入可得，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)在體積最值問題中的綜合應(yīng)用，圓柱與圓錐的體積公式應(yīng)用，屬于中檔題.16、或【解題分析】

方程相等分為兩種情況：相等或者相加等于14，計(jì)算得到答案.【題目詳解】或解得：或故答案為：或【題目點(diǎn)撥】本題考查了組合數(shù)的計(jì)算，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），，，；證明見解析（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和極限的定義即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明。（3）問題轉(zhuǎn)化為，對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍?！绢}目詳解】，，，=（2），，，，猜想，理由如下，：當(dāng)時(shí)，成立；：假設(shè)時(shí)成立，則，那么當(dāng)時(shí)，即時(shí)，猜想也成立，故由和，可知猜想成立；（3），若恒成立，則，即，對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，，，，，【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的求和公式、取極限、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，綜合性比較強(qiáng)；在求參數(shù)的取值范圍時(shí)可采用“分離參數(shù)法”，構(gòu)造新函數(shù)，研究函數(shù)的最值。18、(1)①;②見解析;(2)見解析.【解題分析】分析：（1）(ⅰ)放回事件是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求結(jié)果，(ⅱ)抽到紅球次數(shù)服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布期望與方差公式求結(jié)果，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再根據(jù)組合數(shù)求對應(yīng)概率，列表可得分布列.詳解：（1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為得黑球的概率為①所以恰2次為紅色球的概率為抽全三種顏色的概率②～B(3,),則，（2）的可能取值為2，3，4，5,,，即分布列為：2345P點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（I）根據(jù)已知條件得到，，由此證得平面.從而證得,結(jié)合，證得平面，進(jìn)而證得.（II）作出與平面所成的角，通過線面角的大小計(jì)算出有關(guān)的邊長，作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.【題目詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以．又由是梯形，，，知，而，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕á颍┙猓喝鐖D所示，過作于，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則平面，于是平面平面，它們的交線是．過作于，則平面，即在平面上的射影是，所以與平面所成的角是．由題意，．在直角三角形中，，于是．在直角三角形中，，所以．過作于，連接，由三垂線定理，得，所以為二面角的平面角，在直角三角形中，，．在直角三角形中，，所以二面角的正弦值為．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查線面角的應(yīng)用，考查面面角的求法，屬于中檔題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）利用求出當(dāng)時(shí)的通項(xiàng)，根據(jù)為等比數(shù)列得到的值后可得.（2）利用分組求和法可求的前項(xiàng)和.【題目詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以對也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因?yàn)椋?，所以，?【題目點(diǎn)撥】（1）數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是，我們常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.（2）數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相