信號與系統(tǒng)習(xí)題答案（杜芳芳）

《信號與系統(tǒng)（MATLAB版）》

練習(xí)與思考、參考答案

練習(xí)與思考1

i-i下列信號的分類方法不正確的是（）：

A.數(shù)字信號和離散信號B.確定信號和隨機(jī)信號

C.周期信號和非周期信號D.因果信號與反因果信號

答：A

1-2下列說法正確的是（）：

A.兩個周期信號x（t）,y⑴的和x⑴+y（t）一定是周期信號。

B.兩個周期信號x⑴,y（t）的周期分別為2和之,則其和信號x（t）+y（t）是周期信號。

C.兩個周期信號x（t）,y⑴的周期分別為2和二、其和信號x⑴+y（t）是周期信號。

D.兩個周期信號x⑴，y⑴的周期分別為2和3,其和信號x⑴+y⑴是周期信號。

答：D

1-3信號/（4一2。是（）。

A./（2。右移4。B..fQt）左移4。

C./（一2，）左移2。D./（一2。右移2。

答：D

1-4已知/?），小、a為正數(shù)，為求則下列運(yùn)算正確的是（）。

A./（一如）左移t（）B./（—"）右移'o/a

C./（G）左移‘。D./（G）右移/a

答：B

1-5下列說法不正確的是（）。

A.一般周期信號為功率信號。

B.時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的非周期信號)為能量信號。

C.e(t)是功率信號。

D.階躍信號e⑴為能量信號。，,、

1-6給定題圖1-6所示信號/⑺。1----------------

(1)試畫出下列信號的波形。----------:——

(a)2/。-2)⑸/⑵)題1-6圖

2/?-2)

(2)將信號/⑺變換為()，稱為對信號/⑺的平移或移位，變換為()稱為對信號/(Z)

的尺度變換。

(b)f(k-k,。)

flat)(d)fD

答：A,

1-7有如下函數(shù)/(f),試用MATLAB分別畫出它們的波形。

(a)

(b)/(，)=sinOAEQ)-e("6)]

1-8試畫出下列離散信號的圖形,并給出MATLAB程序。

工（〃）=（1）"￡（〃）

（a）2⑸力(〃)=￡(2-〃)

（c）力（〃）=￡（-2-〃）⑼力(〃)=2(1-0.5")￡5)

1-9試畫出下列序列的圖形，并給出MATLAB程序。

(a)/(〃)=￡(〃-2)一￡(〃—6)⑴)6(〃)=￡(〃+2)+￡(—〃)

(c)力(〃)=〃￡(〃),[￡(〃)一￡(〃―5)]

f4(〃)=3(〃)+8{n-1)+2b(〃-2)+2b(〃-3)+8{n-4)

1-10試用階躍函數(shù)的組合表示題1-10圖所示信號。

3

2

題1-10圖

答(a)/?)=￡(。-2￡?-1)+￡。-2)

(b)f(f)-s(t)+2e(r—T)+3s(t—2T)

1-11設(shè)有題1-11圖示信號犬f),對(a)寫出/(f)的表達(dá)式，對(b)寫出/(f)的表達(dá)

式，并分別畫出它們的波形。

題i~ii圖

答(a)

]_

0<r<2

2

/'W=即一2)1=2

-2^(/-4)r=4

(b)f''(t)=2即)-26(7—1)—2bQ—3)+26(54)

其圖形如圖pl-11所示。

f'(t)

1-(d(/-2)(2)⑵

j_________

2

-Qi~3R~70ri313.

'(-2)(-2)

(b)

圖P1-II

1-12在題1-12圖所示信號中，哪些是連續(xù)信號？哪些是離散信號？哪些是周期信號？

哪些是非周期信號？哪些是有始信號？

題1-12圖

答：略

1-13己知某系統(tǒng)的輸入＜t)與輸出)，(f)的關(guān)系為y(/)=4r)1，試判定該系統(tǒng)是否為

線性時不變系統(tǒng)？

答：不滿足可加性，故不是線性時不變系統(tǒng)。

練習(xí)與思考2

2-1求周期沖激序列信號為（，）=〃T）的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)表示式，它是

n=-<x）

否具有收斂性？

11

答沖激串信號的復(fù)系數(shù)為：F=-|V^（/）e-JWd?=-

nT2T

1s

因F?為常數(shù)，所以3Ts=乙2>皿叩無收斂性。

T〃=-oo

2-2（1）有一幅度為1,脈沖寬度為t=2ms的周期方波信號/⑺，其周期為T=8ms,

如題2-2圖所示，求頻譜并畫出頻譜圖。

（2）問該信號的頻帶寬度（帶寬）為多少？若t壓縮為0.2ms,其帶寬為多少？

題2-2圖

ItlTF

答：（1）傅立葉變換為工二^5〃（彳），為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖如圖P2-2

所示。

1nFn

4

Tr/(fl__I.

圖p2-2

（2）對方波信號，其帶寬為（Hz）,

T

當(dāng)百二2ms時，則：A/1,=—=-----=500Hz

1r,0.002

當(dāng)我=0.2ms時，則：A/；=—=-----=5000Hz

r20.0002

2-3求題2-3圖所示信號的傅里葉變換。

答（a）F（69）=一j2jJsincotAt

=-j——^-[sincor-corcoscor]

TCD~

=j—[cos69r-Sa（69r）]

CD

請用微分定理求答驗(yàn)證。

（b）/?）為奇函數(shù)，故

尸（。）=-j2「（-l）sin。/出

—[costvr-1]=j—sin2(—)

CD2

用“微分-積分”定理求答驗(yàn)證。

2-4試用MATLAB求下列信號的頻譜函數(shù)。

(1)/(r)=e-44(2)f(t)=e-a,sin

?、114

答(，)。⑵F(a>)=g

3汴+罰4+co2(a+jM?+&：

2-5對于如題2-5圖所示的三角波信號，試證明其頻譜函數(shù)為

F(<y)=AzSa2(^)

題2-5圖

答略

2-6試求信號/(0=1+2cos⑥+3cos(3z)的傅里葉變換。

答尸(。)=2〃[5(口)+6(8-1)+6(。+1)]+-3)+6(切+3)]

2-7試?yán)酶道锶~變換的性質(zhì)，求題2-7圖所示調(diào)制信號人?)的頻譜函數(shù)。

22

故其變換Fl(6W)=ArSa(^)=4Sa(^)

根據(jù)尺度特性，有工(1)—2月(2。)=8Sa2(2?)

再由調(diào)制定理得力⑺=Z(-)cos7rznF,⑻，居(⑼=SUr(2(?+W?

2(co-71)(G+兀)

2-8設(shè)信號/；?)=｛彳。"(示:，試求%。)=/(/)。。5(50。的頻譜函數(shù)，并畫出

其幅度頻譜。

答因尸(⑼=2￡a(予1=8Sa(2⑼^儂

故乃3)=4Sa[2(iy+50)峻吁$o)+4Sa[2(fy-50加皿-50)

幅度頻譜見圖p4-8o

圖p4-8

<T

2-9設(shè)有信號/?)=cos(4兀力，f(/)=<求力⑺/2Q)的頻譜函

2u,\l\>r

數(shù)。

答由調(diào)制定理

力⑺cos(4")妗([77](0+4兀)+F](0一4兀)]=F(a>)

而Fl(⑼=zSa(—)=2Sa(⑼

故F(①)=Sa(。+4TI)+Sa(69-4兀)

2-10設(shè)有如下信號/Q),分別求其頻譜函數(shù)。

(1)f(t)=e-(3+i4),-￡(t)(2)f(t)=￡(t)-￡(t-2)

答⑴因a+jco

J3+j4)r]_1

C\T-

他(3+j4)+j/3+j(4+。)

￡(t)-￡(t-2)=G-1),7=2

(2)因r

F(<y)=zSa(—)ed<a=2Sa((y)e->

故2

練習(xí)與思考3

3-1若有系統(tǒng)方程y"(f)+5yQ)+6y(f)=3Q),且y(0_)=y'(0_)=0,試求y((\)

和y'Q)。

答取拉氏變換，得系統(tǒng)函數(shù)

=一—=」一--匚

52+5.V+6(5+2)(5+3)5+25+3

所以/z(f)=e-"-e-，t>0

故h(0+)-y(0+)-0,hf(0+)=yr(0+)=1

3-2某LTI系統(tǒng)的微分方程為:y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)?已知

/(/)=￡?),y(0_)=2,/(0_)=10分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)幾,?)、零狀態(tài)響應(yīng)

心⑺和全響應(yīng)y⑺。

答：力")=(7e-2，—5ef法⑺，y^t)=^-e-2,)s(t)

y(t)=(I+6e-2'-5e-3,)s(t)

3-3若有線性時不變系統(tǒng)的方程為y'Q)+ay(t)=f(t),若在非零/?)作用下其響應(yīng)

為y(0=l-e-,,試求方程y'Q)+ay(t)=2f(t)+f'(t)的響應(yīng)。

答：2/⑺+/⑺f刈=2(1-e-,)+e-r=2-e-

3-4設(shè)有二階系統(tǒng)方程y〃Q)+4y'Q)+4)，?)=0,在某起始狀態(tài)下的0+起始值為

y(O+)=l,y(0+)=2,試求零輸入響應(yīng)。

答：為⑺=(1+旬1，t>0

3-5設(shè)有二階系統(tǒng)方程y\t)+3y'(t)+2y(t)=4S'(f),試求零狀態(tài)響應(yīng)。

答：x?)=e**e"=(eT*e-")￡(f)

零狀態(tài)響應(yīng)：y⑺=4夕?)*々?)=46(f)*?'*尸，)￡?)=(8e-2f-4e-,)f(?)

3-6設(shè)有一階系統(tǒng)方程y'Q)+3yQ)=/'Q)+/Q),求其沖激響應(yīng)力⑺和階躍響應(yīng)

￡(力。

答：階躍響應(yīng)〃⑺=￡/?(r)dr=；(1+2eB4⑺

3-7設(shè)某LTI系統(tǒng)的微分方程為y〃Q)+5y'?)+6yQ)=3/(，)，試求其沖激響應(yīng)和階

躍響應(yīng)。

答：〃⑺=3e~-3eT,t>0

>?)=s(f)=0.5-1.5e-2，+e-3，r>0

3-8如題3-8圖所示系統(tǒng)，試以《⑺為輸出列出其微分方程。

答：u^(t)+--u'c(t)+——uc(t)=——u；i(t)

ACLCLC

3-9如題3-9圖所示二階系統(tǒng)，已知Z,=1H,C=IF,R=1Q,若激勵信號

4⑺=%⑺=5Q)。試求以的⑺=以⑺為響應(yīng)時的沖激響應(yīng)〃⑺。

0-----------------------------------------------------o

+L+

的⑺C±R\]u2(t)

題3-9圖

答W(Z)=/?(/)=

c由20-￡?)

3-10試求下列卷積。

(a)￡。+3)*￡?-5)(b)SQ)*2(c)te?￡?)*>(1)

答(a)e(f+3)*￡(f-5)=J§dr=t-2,t>2

(b)由b⑺的特點(diǎn)，故附*2=2

(c)te~'-s(t)*S'(t)=[te~r-c(t)y=(e~'-te')?s(t)

3-11對題3-11圖所示信號，求工⑺*力⑺。

沖)

2-----

01t02

(a)

f2(t)

(1)(1)(1)

4°T-202

(b)

題3-11圖

答

(a)y?)=￡?)*/?)

=2te(t)~2(t-r)e(t-1)-2(/-2)s(t-2)+2(r-3)s(t-3)

MATLAB運(yùn)行結(jié)果見圖p3-ll所示，程序參閱例3-5-1。也可以用圖形掃描法計(jì)算，結(jié)

果相同，請讀者自行計(jì)算驗(yàn)證。

(b)根據(jù)3(f)的特點(diǎn)，貝I」

==/i(f)?[S(f)+3(f-2)+S(f+2)]

=力⑺+力(f-2)+力(f+2)

請讀者自行運(yùn)行MATLAB計(jì)算驗(yàn)證。

圖p3-ll

3-12試求下列卷積。

(a)(1一屋?！?)*￡⑺*￡?)(b)『2⑺*僅。]

dr

答(a)(1-e-2/)f(0*S'(t)*=(1-e-2r(?)*3(t)=(1-e-2r(?)

(b)

e-%⑺*9仁-巧⑺]=⑺*3\t)=3(f)-3廠，

練習(xí)與思考4

4-1設(shè)系統(tǒng)微分方程為y"Q)+4y'Q)+3y(，)=2/'Q)+/Q),/(/)=「'?￡?),試

用s域方法分別求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)兀晨"和沖激響應(yīng)。

注意：該題的初始條件是：已知y(O_)=l,y(o_)=i?課本中漏掉了。

解：對微分方程取拉普拉斯變換，有

[?y(5)-5y(0_)-y'(0_)]+4[sY(s)->-(0J]+3y(s)=2s尸(s)+F(s)

整理得

(52+45+3)y(s)-(s+4)X0.)-y(0_)=(2s+1)F(5)

即

(52+4s+3)y(s)=(.v+4)y(0_)+/(0_)+(2s+l)F(.v)

整理可得全響應(yīng):

sy(0)+y'(0)+4y(0)2s+l

y(s)=%G)+%(s)=+F(.v)

52+45+3.y2+4s+3

(1求零輸入響應(yīng):

syQ)+y(0.)+4y。)

匕(S)=

52+45+3

s+5

(5+1)(5+3)

21

s+1s+3

%⑺=2e-Je-3'

(2)求零狀態(tài)響應(yīng)：

將初始狀態(tài)和F(s)=—代入上式,

s+2

2s+l1

(5+1)(54-3)S+2

_!

232

s+1s+2s+3

y/)=—geT+3e-2j}i

答：％Q)=2eT-e-"，+3e"—f

37

全響應(yīng)為y(t)=f+3e-2J：e』，z>0

4-2某LTI系統(tǒng)的微分方程為：y"(a+5y'?)+6y(/)=2/'(f)+6/?)。已知

/(?=￡?),y(0一)=2,VQ)=1。試用s域方法分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)”?)、

零狀態(tài)響應(yīng)打⑺和全響應(yīng)y⑺。

答：%⑺=(7"2'—5e-3')￡(“，%。)=(1一e-2')￡(r)

阿=(1+6"2cg⑺

4-3若有線性時不變系統(tǒng)的方程為y'Q)+ayQ)=/Q),若在非零五。作用下其響應(yīng)為

XO=l-e-/,試求方程yr(t)+ay(t)=2/(0+/")的響應(yīng)。

答：2/?)+/'?)fy(t)=2(1-e-‘)+e-'=2-e-

4-4(1)設(shè)有二階系統(tǒng)方程丁"。)+4)，'(，)+4)，(，)=0,在某起始狀態(tài)下的0+起始值

為y(0+)=l,y'(0+)=2,試求零輸入響應(yīng)。

(2)設(shè)有二階系統(tǒng)方程y\t)+3y'(t)+2y(t)=4S'Q)，試求零狀態(tài)響應(yīng)。

⑶設(shè)有一階系統(tǒng)方程y'⑺+3y(f)=/'0)+/(0，求其沖激響應(yīng)〃⑺和階躍響應(yīng)g(0o

答：(1)為⑺=(1+4""，z>0

-,2

(2)x2(t)=e如*e勾=(e*Q')￡?)

零狀態(tài)響應(yīng):y⑺=4夕?)*々?)=46(f)*?'*尸，)￡?)=(8e-2f-4e-,)f(?)

(3)階躍響應(yīng)g(f)=《〃(r)dr=；(1+2e3,)￡,(/)

4-5一線性時不變系統(tǒng)，在某起始狀態(tài)下，已知當(dāng)輸入/?)=￡?)時，全響應(yīng)

%。)=3"嘰￡(力；當(dāng)輸入/?)=—￡?)時，全響應(yīng)當(dāng)(力=6一”.￡(。，試求該系統(tǒng)的沖

激響應(yīng)h(t)c

答沖激響應(yīng)〃")=s'Q)=S?)-3e-".￡(/)

4-6一濾波器的頻率特性如題4-6圖所示，當(dāng)輸入為所示的/⑺信號時，求相應(yīng)的輸

出y(t)。

題4-6圖

答/⑺的頻譜F（（y）=2?！闒消（s—ng）=2?！?{co-2〃萬）

H=-CCn=-<c

當(dāng)n=0,±1,±2時，對應(yīng)”(/口)才有輸出，故

y(6;)=F(co)H{jco)=24[23(。)+3(CD-2%)+S{co+24)]

反變換得：y⑺=2[1+COS(2R)]

4-7如題4-7圖所示RLC電路，試用s域方法求電路中的電壓”(f)。

"(f)=￡(0

題4-7圖

答:"⑺=~^e'?sinV3z?￡?(?)V,/>0

圖p4-7

4-8如題4-8圖所示RLC電路，已知〃s(/)=5￡(f),i(0.)=2A,w(0-)=2V,試用

域方法求全響應(yīng)t/(t)。

題4-8圖

答M(Z)=5-2e-'-e_2f(t>0)

4-9若有系統(tǒng)方程y”(。+5了(7)+6y(/)=3。)，且y(0_)=y'(0_)=0,試求y(0+)

和y'(0+)。

答取拉氏變換，得系統(tǒng)函數(shù)

"G)=^^=---

s2+5s+2(5+2)(5+3)s+2s+3

所以/z?)=e2-eT,r>0

7

故h(0+)=y(0+)=0,h'(0+)=y(0+)=1

4-10設(shè)有系統(tǒng)函數(shù)”(s)=親s+3，試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

212z

答/z(f)=3(f)+e-2，￡(f),5(r)=￡/7(r)jr=(---e-)f(r)

4-11如題4-11圖系統(tǒng)，已知R|=&=1Q，L=1H,C=IFo試求沖激響應(yīng)wc(f)。

=e-/(cosr-sin/)-式t)+e-/sin/-eQ)

e-/cost-^(t)V

2

4-12設(shè)系統(tǒng)的頻率特性為”(/o),(1)試用頻域法求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和

加+2

階躍響應(yīng)。(2)試用s域法求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

答(1)階躍響應(yīng)g(t)=F-'[G(?]=(1-e-2f)-

(2)略

4-13若系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=試證明：

(1)=f/?(r)dr

dr—

(2)利用(1)的結(jié)果，證明階躍響應(yīng)〃(/)=「//(r)dr

J-X

證(1)因?yàn)橹?阿*的)

由微分性質(zhì)，有V⑺=/'?)*人⑺

再由積分性質(zhì)，有y")=r(/)*「//(r)dr

J-oo

(2)因?yàn)椤á?￡(，)*力⑺

由(1)的結(jié)果，得〃⑺=￡‘(，)*[h(T)dr=5(，)*f/z(r)dr=f/i(r)dr

J—00J—00J—8

4-14如題4-14圖所示為二階有源帶通系統(tǒng)的模型，設(shè)R=1O,C=1F,K=3,試求

系統(tǒng)函數(shù)"(s)=〃嗎。

UG)

題414圖

答小”)=器=±

1

4-15如果輸入信號對⑺的頻譜為4.(%>)=—匚(1一6一9)，用傅里葉變換的卷積定

j①

理計(jì)算該信號通過圖4-1-10的低通濾波電路后，設(shè)R=100k,C=10uF,輸出響應(yīng)分(。=?

反變換得〃“?)=(1—?f(0-[l-eYT)].￡(/-1)

4-16設(shè)有y(f)=}"￡?)*￡Q),試用卷積定理求y(f)。

答y⑺=刈。一3尸'.￡?)

練習(xí)與思考5

5-1若序列f(n)的圖形如題圖5-1所示，請繪出|-〃-1)的圖形。

爪“)

-2-101234n

題5-1圖

答：略

5-2已知序列

的=『；+]及須)=

(°n<2

12nn>2

求力⑺與力⑺之和，力(〃)與啟九)之積。

答：略

5-3離散系統(tǒng)時域的基本模擬部件有哪兒種？

答：加法器、乘法器、移位器。

5-4求下列差分方程的齊次解：

y(n)—2y(n-1)4-2y(n—2)—2y(n—3)+y(n-4)=0

已知初始條件y(l)=l,y(2)=0,y(3)=l，j(4)=lo

解：

特征方程為+2丁—24+1=0

(4—2萬+丁)+(無-2；1+1)=0,即(丁+1)(4—1產(chǎn)=。

可解得特征根4=/，冬=_/(共物復(fù)根)，則。=1，6="/2；%=4=丸=1(2

重實(shí)根)，齊次解為：

7TTT

?(〃)=[Pcos仞萬)+。sin(〃萬)]+(G〃+G)4"

71冗

=[Pcos(〃5)+Qsin(〃')]+(G〃+品)

利用初始邊界條件y(l)=l,y(2)=0,y(3)=l,y(4)=l,可得

nTT

為⑴=[Pcos(5)+Qsin(5)]+(G+Co)=Q+G+C°=l

7171

%(2)=[Pcos(2-)+2sin(2-)]+(2C,+Co)=2C,+Co-P=0

TTTT

^,(3)=[Pcos(3-)+2sin(3--)]+(3C1+C0)=3C,+C0-2=l

TC71

%(4)=[Pcos(4--)+2sin(4--)]+(4Cl+C())=4G+C°+P=1

解之得：Co=2,Ci=-l/2,P=l,Q=-l/2

=cos(H-)--sin(n—)--/?+2

2222

5-5描述離散系統(tǒng)的差分方程為y(〃)+2y(n-1)=/(〃)-于(n-1)

其中，激勵函數(shù)f(n)=n2,且已知y(-l)=-l,求差分方程的分解。

解：特征方程為4+2=0

可解得特征根％=-2,其齊次解

y.5)=C(-2)"

激勵信號x(〃)=-n2-(n-1)2=2n-l

由于特征根不等于1,則特解：“(〃)=中1+玲

代入原方程：(6〃+《)+2[[(〃一1)+《】=2〃一1,即36〃+3兄—2[=2〃一1

比較等式兩端系數(shù)得

2I

全解為：X?)=C(-2)n+-n+-

已知y(-l)=-1,則C=8/9

Q21

全解為，y(〃)=—(―2)"H—nH—,n20

939

5-6設(shè)有序列/(〃)和/2(〃)，如題5-6圖所示，試用圖解法、解析法求二者的卷積。

(a)(b)

題5-6圖

(a)(b)

fl=[21.5111.52];f2=[l111];

?y=conv(fl,f2)

?m=length(y)-l;n=O:m;

?stem(n,y);axis([-3,10,0,6]);

y=2.00003.50004.50005.50005.00005.50004.50003.50002.0000

Bl-igure1—□X

FileEditViewInsertToolsDesktopWindowHelp、

□adjI\o?「囪’口園■Q

5-7已知系統(tǒng)的差分方程為

y(n)—3y(n-1)+3y(n-2)—y(n—3)=f(n)

求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

解：(1)根據(jù)單位沖激響應(yīng)的定義，Zl(n)滿足

(71)—3(n—1)+3(n—2)—(n—3)—8(ri)

即

□(n)=30(n-1)-3D(n-2)+D(n-3)+5(n)

將初始條件[(一1)=口(-2)=0(-3)=0代入系統(tǒng)差分方程，得初始值

(口(0)=30(-1)-30(-2)+0(-3)+5(0)=1

]□(1)=30(0)-3D(-1)+C(-2)+5(1)=3

[□(2)=30(1)-30(0)+0(-1)+5(2)=6

對于n>0,滿足如下齊次方程

(n)—3(n—1)+3(71—2)—(n—3)=0

其特征方程為

A3-3A2+3A-1=(A-I)3=0

特征方程的特征根4=1為三重實(shí)根，所以齊次解包括心小心,招赳項(xiàng)，即

nn2n

□(n)=CxA+C2nA+C3nA

2

=Ci+C2n+C3n(n>0)

代入初始值得

(□(0)=Ci=l

{D(l)=Q+C2+C3=3

(口(2)=G+2c2+4C3=6

解得

31

G=1,C2=-/C3=-

則該系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為

31、

口(九)=(1+-n+-n2)￡(n)

(2)求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，根據(jù)(5.3.3)式有：

8

g5)=Zh(n-i)

7=0

=[1+—h^n-h{n—Z)2]&(九一z)

i=o22

，？31

=》[1+)(九一?)+不("一彷2],n>0

i=o22

〃〃

=1-1—Qn--Q--E2i~1—1EL("2—2ni-4-z2)

22j=o2/=o

QQ〃1，71〃

=1+—H——Vf+—AZ2-ZzVz+—V/2

0/JQ4/Q，/

2乙Z=0乙z=0乙z=()

=1十3拉+工川-(—Q，7i+不1宜，？/

22乙i=0乙i=0

,3

1+——H+—n2——-(―+z?)(z?2+7?)+—+N+L

22226412

,51213八

=1-1---n----M----,n>0

623

2

5-8己知AS)=G)E(ri),fzQi)=s(n)-s(n-3),令y(n)=fi(n)*f2(ri),求當(dāng)〃=4時

y(〃)的值。

3

解y(〃)=/(〃)*力5)=￡A*)于2(〃一k)

k=0

3

n=0：丫(0)=￡/(%)外0-2)

K=0

=工(0)/(0-0)+/⑴/(0-1)+/(2>&(0-2)+/(3).啟0-3)

1,1八1八1八1

=—Id—OH—OH—0=—

44444

3

n=1y⑴=工工收)人(1-幻

攵=0

=.力(0)?力(1一0)+.力⑴.力(1—1)+,力(2)?力(1—2)+工(3).人(1—3)

1,1.1c1c1

=-?1H—1H—OH—0=—

44442

3

n=2:y⑵=￡心)GQ-k)

hO

=工(0>￡(2—0)+3(1)?力(2—1)+4(2>。(2-2)+工(3)?&(2-3)

1,I,1,J3

=—1~\1H1-\0=—

44444

3

n=3:y⑶=Z/(6力(3-6

k=0

=工(0)6(3-0)+工(》加3-1)+工(2).仁(3-2)+/(3)/(3-3)

1,1,1,1,,

=-,1H1HId1=1

4444

3

n=4:y(4)=Zf(Q力(4-Q

k=0

=工(0))2(4-0)+工⑴/2(4-1)+工(2)?力(4-2)+/(3).人(4—3)

=/1(0)-/2(4)+/(1)-/2(3)+/；(2)-/2(2)+/,(3)-^(1)

1c1.1,1,3

---Od---1d---1H---1=—

44444

3

n=5:y⑸=工工伏)啟5-6

&=0

=力(0)?力(5—0)+工⑴?力(5—1)+工(2)?力(5—2)+.4(3)?力(5-3)

=工(0)/2(5)+/⑴?&(4)+工(2))2(3)+工(3)?力(2)

1,、1,、1,1,1

=—OH—OH—Id—1=—

44442

3

n=6:y⑹=2工伏)力(6-攵)

k=0

=工(0)-9(6-0)+/⑴?&(6-1)+/(2)-Q(6-2)+工(3)?力(6-3)

=Z(0)-A(6)+/.(l)-72(5)+Z(2)-Z!(4)+Z(3)-72(3)

1c1八Ic1,1

=-?04—OH—OH—1=—

44444

n=7:y⑺=火工伏)力(7-6

k=0

"(0)1(7-0)+/(1)/(7-1)+/(2)?&(7-2)+((3)/(7-3)

=力(0)?力(7)+.力⑴-力(6)+工(2).力(5)+.力(3)?力(4)

=-0+-0+-0+-0=0

4444

練習(xí)與思考6

6-1求下列離散信號的z變換，并注明收斂域。

(a)b(〃-2)(b)arn￡(ri)

(c)0.5,,_,s(n-1)(d)(0.5〃+0.25”)￡(〃)

答(a)F(z)=z-20<|z|<oo

②0017

(b)F(z)==rv-TT-

totol-(az)1

z---

a

800111

(c)~z)=Z05fz-"=Z2?(丁)"=1，H>-

w=l〃=1[z-L--

2

00OP

(d)F(z)=X05'?z~"+Z。25"-z-"|z|>0.5

n=0n=0

6-2求下列F(z)的反變換f(n).

1-0.5z-l-2z-12z

(a)F(z)=(b)-k(c)F(z)=

.3T1-2(z-lXz-2)

l+-z+-z

48

3Z2+Zz

(d)F(z)=(e)F(z)=

(z-0.2)(z+0.4)(z-2)(z-l)2

答(a)f(〃)=[4(—g)"—3(—()"]￡(〃)

(b)/(〃)=；(—；)"￡(〃)一(一；產(chǎn)￡(〃—1)

(c)f(n)=-2s(n)+2(2)"￡(〃)=2(2"-l)s(n)

Q1

(d)/(n)=[|(0.2)"+1(-0.4rk(n)

(e)f(n)=(2n-n-l)￡(n)

6-3試證明初值定理/(O)=limF(z)

Z->00

證明因?yàn)镕(z)=Xf(n)z-n=f(O)+f(l)z-'+f(2)z~2+■■-

n=O

當(dāng)z―8時，則上式右邊除犬0)外均為零，故/(0)=limF(z)

z-x?

6-4試用z變換的性質(zhì)求以下序列的z變換。

(a)f(n)=(〃一3)e(〃-3)(b)f(n)=e(n)-￡(n-N)

z231

答(a)由時延性質(zhì)，有F(z)=------r-z-=-------7

(z-D2z2(z-l)2

(b)E(Z)=2-Z-N.告

z-1z-1z-1

6-5試用卷積和定理證明以下關(guān)系：

(a)f(n)0S(n—rri)=f(n—ni)(b)s(n)0s(ri)=(n+V)s(ri)

證明（a）因由卷和定理，（〃）③35-團(tuán)）＜~?尸⑶/）

而f(n-m)<r^z~,nF(z)

故得/(^)^S(n-ni)=f(n-m)

ZZ

(b)因?yàn)椤?")③￡(")3--------;=-~~-j

z-1z-1(z-1)

zzz2

而(〃+1)￡(〃)=nc(n)+￡(〃)<->

-(--z---1--)-27-*z-1-=--(z-1)2T

所以￡(〃)0￡(ri)=(n+Y)s(n)

6-6已知￡{ri）?s（n）=5+1）￡（〃），試求〃￡（/?）的Z變換。

z2

答因由卷和定理￡（〃）?￡（〃）―----j

（2-1）

而由上題結(jié)果可知〃￡（〃）=￡（〃）?￡（〃）-￡（〃）=（〃+1）￡（〃）-￡（〃）