人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第7講 圓的有關(guān)性質(zhì)基礎(chǔ)練習(xí)題（含解析）

第7講圓的有關(guān)性質(zhì)

'垂徑定理

弧、弦、圓心角的關(guān)系

圓的有關(guān)性質(zhì)＜

圓周角定理及推論

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理

①弦和直徑：

(1)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦.

(2)直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。直徑等于半徑的兩倍。

②?。?/p>

(1)?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，用符號(hào)一表示，以A,B為端點(diǎn)的的弧記

作AB,讀作弧AB.

(2)半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，優(yōu)弧大于180。用三個(gè)字母表示，如ACB.

小于半圓的弧叫做劣弧，如

(3)等?。涸谕瑘A或者等圓中能夠相互重合的弧是等弧，度數(shù)或者長(zhǎng)度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圓心到弦的距離叫做弦心距。

(2)圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧

相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓心角也相等，所對(duì)弦的弦心距也相等。四者有一個(gè)相等，則

其他三個(gè)都相等。圓心到弦的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度稱(chēng)為這條弦的弦心距。

④圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)

稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，

那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對(duì)稱(chēng)：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，直徑所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸。

⑤垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)平分弦(此弦不能是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(3)弦的垂直平分線(xiàn)過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.

(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線(xiàn)過(guò)圓心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦?jiàn)A的弧相等.

⑥同心圓與等圓

(1)同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。如圖一，半徑為n與半徑為方

的。0叫做同心圓。

(圖一)

(2)等圓：圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓。如圖二中的。1與G)C)2的半徑都是

r,它們是等圓。同圓或者等圓的半徑相同。

(圖二)

(3)同圓是指同個(gè)圓；等圓、同心圓是指兩個(gè)及兩個(gè)以上的圓。

【典例】

1.如圖，圓0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：：AB是直徑，AB±GH,

...圓0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是GH

2.如圖，一圓弧過(guò)方格的格點(diǎn)A、B、C,在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（-3,2）,則該圓弧所在圓心坐標(biāo)是

【解析】解：如圖：分別作AC與AB的垂直平分線(xiàn)，相交于點(diǎn)0,

則點(diǎn)O即是該圓弧所在圓的圓心.

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3,2）,

.?.點(diǎn)0的坐標(biāo)為（-2,-1）

3.據(jù)史料記載，雎水太平橋建于清嘉慶年間，已有200余年歷史.橋身為一巨型單孔圓弧,

既沒(méi)有用鋼筋，也沒(méi)有用水泥，全部由石塊砌成，猶如一道彩虹橫臥河面上，橋拱半徑OC

為13m,河面寬AB為24m,則橋高CD為

【答案】18m

【解析】解：如圖，連結(jié)OA,

在RtAOAD中，OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

，CD=OC+CD=13+5=18m.

4.把寬為2cm的刻度尺在圓O上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊EF與圓O相切于A時(shí)，另一邊與

圓的兩個(gè)交點(diǎn)處的度數(shù)恰好為“2”（C點(diǎn)）和“8”（B點(diǎn)）（單位：cm）,求該圓的半徑

【答案】3.25cm

【解析】解：如圖，連接OA交BC于點(diǎn)E,

設(shè)OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

BE=—AB=—x6=3cm,

22

在RSBOE中，

OE2+BE2=OB2,即（r-2）2+9=3,

解得r=l^=3.25cm.

4

【方法總結(jié)】

1、在遇有求弦長(zhǎng)或半徑長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)，常添加的輔助線(xiàn)是弦心距。

2、在運(yùn)用垂徑定理解決線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，一般都與勾股定理復(fù)合運(yùn)用。

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?廬陽(yáng)區(qū)二模）如圖，AC是OO的直徑，弦或）_LAC于點(diǎn)￡,連接過(guò)點(diǎn)O作

OFLBC于點(diǎn)、F,若BD=12cm,AE=4cm,則OF的長(zhǎng)度是（）

A.J\3cmB.2\[vicmC.VlOc/nD.3cm

【解答】解：連接QB,

?.?AC是的直徑，弦8O_LAC,

:.BE=-BD=6,

2

在RtAOEB中，OB°=OE°+BE2,即=(08—4)2+62,

解得，OB=—,

2

則EC=AC—A￡=9,

BC=ylEC2+BE2=3>/13,

.OFYBC,

..(Jr=-BC=----,

22

：.OF=y/0C2-CF2=713(6771),

故選：A.

o

2.(2019?濱州模擬)如圖，某下水道的橫截面是圓形的，水面CD的寬度為2加，廠是線(xiàn)段

8的中點(diǎn)，即經(jīng)過(guò)圓心O交0。與點(diǎn)￡,EF=3m,則OO直徑的長(zhǎng)是()

0)

c10

A.-mB.-mC.-mD.—m

3333

【解答】解：如圖，連接OC,

是弦CD的中點(diǎn)，EF過(guò)圓心O,

:.EFYCD.

:.CF=FD.

:CD=2,

:.CF=\,

設(shè)OC=x,則OF=3—x,

在RgCOM中，根據(jù)勾股定理，得

12+(3-X)2=X2.

解得x=?,

6

，。。的直徑感.

故選：B.

3.（2019?黔東南州一模）如圖，°。的直徑為10cm,弦AB為8前，。是弦回上一點(diǎn)且

不與點(diǎn)A、3重合.若OP的長(zhǎng)為整數(shù)，則符合條件的點(diǎn)尸有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【解答】解：連接Q4,作OCLAB于C,

則AC=』AB=4,

2

由勾股定理得，OC=J。*—3=3,

貝以O(shè)P<5,

則符合條件的點(diǎn)P有3個(gè),

故選：B.

4.（2019?黃岡）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋB）,點(diǎn)。是這段弧所在圓的圓心,

Afi=40m,點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，且8=10，”，則這段彎路所在圓的半徑為（）

B.24〃？C.30mD.60/n

【解答】解：-.-OC-LAB,

:,AD=DB=20m,

在RtAAOD中，OA2=O￡>2+AD2,

設(shè)半徑為Z?得：r2=(r-10)2+202,

解得：r—25m,

/.這段彎路的半徑為25%

故選：A.

5.（2019?長(zhǎng)沙模擬）如圖，AB為OO的弦，過(guò)點(diǎn)。作4?的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)C,交G）O于

CD=2,則OO的半徑為（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：連接。4,

\ODA-AB,

AC=-AB=4,

2

設(shè)OO的半徑為，

???AO2=OC2+AC\

r2=(—2)2+42,

?■.尸=5,

6.（2019?濱湖區(qū)一模）如圖，在O。中，已知弦居長(zhǎng)為16cm,C為4B的中點(diǎn)，OC交AB

于點(diǎn)M,且。W:MC=3:2,則CM長(zhǎng)為（）

【解答】解：連接。4,

?.?C為AB的中點(diǎn)，

AC=BC,

..OC±AB,

.-.AM=-AB=S,

2

設(shè)QM=3。，則CM=2a,

/.OC=5a?

由勾股定理得，OA2=AM2+OM2,即(5a)2=8?+(3a)2,

解得，a=2(負(fù)值舍去)，

貝ijCM=2?=4(C7%),

7.（2019?陽(yáng)谷縣一模）已知在半徑為5的OO中，AB,8是互相垂直且相等的兩條弦,

垂足為點(diǎn)P,且OP=30,則弦AB的長(zhǎng)為（）

【解答】解：作QW_LCO于M,ONLAB于N,連接。B,

則四邊形MWO為矩形,

■.AB=CD,OMLCD,ONLAB,

:.OM=ON,

，四邊形MWO為正方形,

：.NP=NO=—OP=3,

2

由勾股定理得，BN=yiOB2-ON-=4,

-.-ON±AB,

:.AB=2BN=8,

8.（2019?柯橋區(qū)模擬）如圖，OO的直徑8=10加，43是。。的弦，AB^CD,垂足為

則的長(zhǎng)為（)

B.7C.8D.9

【解答】解:如圖所示，連接Q4.

的直徑C￡)=10C7〃,

則OO的半徑為5cm

即。4=OC=5,

又?.?QM:OC=4:5,

所以O(shè)M=4,

ABYCD,垂足為M,

在RtAAOM中，AM=752-42=3,

/./W=2v4M=2x3=6.

9.（2018秋?柳州期末）如圖，AB為?O的弦，半徑OC_LA5于點(diǎn)。，且45=6,8=4,

A.1B.2C.2.5D.5

【解答】解：連接04,

???半徑OCJ.AB,

AD=BD=—AB=—x6=3,

22

\,OD=4,

:.0A=yjAD2+OD2=5,

.\OC=OA=5，

.■.DC=OC-OD=5-4=\.

10.（2018秋?海曙區(qū)期末）如圖，圓O半徑為10cm,弓形高為40〃，則弓形的弦45的長(zhǎng)

為（）

B.12cmC.16cmD.20an

【解答】解：如圖，過(guò)。作于C,交0O于

,:CD=4c/??,OD=10cm，

:.OC=6cm,

又\OB=]Ocm,

RtABCO中，BC=-JOB2-OC2=8?！?

,\AB=2BC=16cm.

知識(shí)點(diǎn)2弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系

與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半。

在同圓或等圓中，相等的圓心角或圓周角所對(duì)的弧相等，弦也相等。

(3)直徑所對(duì)的圓周角是直角。

【典例】

1.如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B在圓上，BC,AD分別與該圓相交于點(diǎn)E,F,G是命的

三等分點(diǎn)(血＞而)，BG交AF于點(diǎn)H,若定的度數(shù)為30。，則NGHF等于

G

A//\FD

【答案】40°

AB的度數(shù)為30°,

...俞的度數(shù)為150°,ZAFB=15°,

：G是余的三等分點(diǎn)，

.??市的度數(shù)為50°,

；.NGBF=25。，

/GHF=/GBF+/AFB=40。，

2.如圖，AB是。O的直徑，BC=CD=DE,ZCOD=38°,則/AEO的度數(shù)是

【解析】解：；BC=CD=DE,ZCOD=38°,

ZBOC=ZEOD=ZCOD=38°,

ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-ZBOC=66°.

XVOA=OE,

ZAEO=ZOAE,

/.ZAEO=l-x(180°-66°)=57°.

2

3.如圖，在。。中，OC_LAB,ZADC=32%則NOBA的度數(shù)是

【答案】26。

【解析】解：如圖,

由OCJ_AB,得

AC=BC,ZOEB=90°.

；.N2=N3.

,.,Z2=2Zl=2x32°=64°.

AZ3=64°,

在RtZiOBE中，ZOEB=90°,

NB=90°-Z3=90°-64°=26°

【方法總結(jié)】

1、注意利用同圓中同弧或等弧所對(duì)的圓心角相等圓周角也相等，可進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換。

2、注意利用同圓中同弧或等弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，可進(jìn)行角度倍數(shù)轉(zhuǎn)換。

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?東西湖區(qū)模擬）如圖，OA的半徑為2,B,C在OA上且44c=120。，若點(diǎn)P,

Q,A分別為BC,AC、A3上的動(dòng)點(diǎn)，則PR+尸。的最小值為（）

C.ID.x/3

【解答】解：如圖，作B"_LC4交C4的延長(zhǎng)線(xiàn)于H.連接P4.

3H=A&sin60°=也，

當(dāng)PRLAB,PQLAC時(shí)，PR+PQ的值最小,

SA.?r=-?AC-BH=L.AB.PR+-.AC.P0，

MBC222

：.PR+PQ=BH=s/3,

故m+P。的最小值為G，

故選：D.

2.（2019?東臺(tái)市模擬）如圖，A3是OO的弦，半徑OCLAB,。為圓周上一點(diǎn)，若8c的

度數(shù)為50。，則NADC的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.50°

【解答】解：???BC的度數(shù)為50。，

:.ZBOC=50°,

?.?半徑OC_L4},

AC=BC,

ZADC=-ZBOC=25°.

2

故選：B.

3.（2019?資中縣一模）如圖，AB,CD是。。的直徑，AE=8。，若ZAOE=32。,

則NCOE的度數(shù)是（）

A.32°B.60°C.68°D.64°

【解答】解：?.?AE=8。，

:.ZBOD=ZAOE=32°,

'.■ZBOD=ZAOC,

:.ZAOC^32°

.?./。0石=32。+32。=64。.

故選：D.

4.（2018秋?祁江區(qū)校級(jí)月考）下列語(yǔ)句，錯(cuò)誤的是（）

A.直徑是弦

B.弦的垂直平分線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)圓心

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等

D.平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦

【解答】解：A、直徑為弦，所以A選項(xiàng)的說(shuō)法正確；

3、弦的垂直平分線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)圓心，所以3選項(xiàng)的說(shuō)法正確；

C、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以C選項(xiàng)的說(shuō)法錯(cuò)誤；

。、平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦，所以。選項(xiàng)的說(shuō)法正確.

故選：C.

5.（2018秋?泉山區(qū)校級(jí)月考）下列語(yǔ)句，錯(cuò)誤的是（）

A.直徑是弦

B.相等的圓心角所對(duì)的弧相等

C.弦的垂直平分線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)圓心

D.平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦

【解答】解：直徑是弦，A正確，不符合題意；

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，3錯(cuò)誤，符合題意；

弦的垂直平分線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)圓心，C正確，不符合題意；

平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦，。正確，不符合題意；

故選：B.

6.（2018秋?儀征市校級(jí)月考）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,NA=28。，

以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓分別交A3、AC于點(diǎn)。、點(diǎn)E,則弧的

度數(shù)為（）

【解答】解：?.?NC=90。，ZA=28°,

.-.ZB=62°,

?;CB=CD,

:"CDB=/B=62。,

ZBCD=180°-62°-62°=56°,

,-.8。的度數(shù)為56。.

故選：C.

7.（2018秋?新羅區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在OO中，A,C,D,8是上四點(diǎn)，OC,

OD交AB于煎E,F,且他=用，下列結(jié)論：?OE=OF；@AC=CD=DB；③

CD//AB；?AC=BD,其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【解答】解：連接。4,OB,

,OA=OB,

.-.ZOAB=ZOBA.

OA=OB

在AOAE與AOBF中，，Z.OAE=ZOBF

AE=BF

:.\OAE^\OBF{SAS),

:.OE=OF,故①正確；

ZAOE=^BOF,即Z4OC=N3Or),

.-.AC=BD,故④正確；

連結(jié)4).

AC=BD,

：.ABAD=ZADC,

:.CD//AB,故③正確；

ZBOD=ZAOC不一定等于/COD,

弧AC=弧BO不一定等于弧CD,

r.AC=8。不一定等于CD,

故②不正確.

正確的有3個(gè)，故選8.

知識(shí)點(diǎn)3圓周角定理及推論

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.

圓周角的推論：

①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

②90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.

③如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

④圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

【典例】

1.如圖，。。的半徑為2,點(diǎn)A為。。上一點(diǎn)，半徑ODL弦BC于D,如果NBAC=60。，

那么BC的長(zhǎng)是

【答案】2爪

【解析】解：VZBAC=60°,AZBOC=120°,

：OD_L弦BC,二NBOD=90°,

；NBOD=NA=60°,.\OD=—OB=1,

2

BD"VOB2H3D2=V22-12=y^'

BC=2BD=2b

2.如圖所示，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在。O上，ZAOD=50°,AO〃DC,則/B的度數(shù)為

【答案】65°

【解析】解：如圖連接AD,

B

D

VOA=OD,ZAOD=50°,

:.NADO」80。―/A0D=65。.

2

VAO/7DC,

.,.ZODC=ZAOD=50°,

.'.ZADC=ZAD0+Z0DC=115°,

.'.ZB=180°-ZADC=65°

【方法總結(jié)】

1、在圓中利用圓的半徑處處相等，可迅速構(gòu)造等腰三角形。

2、利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，可便捷構(gòu)造直角三角形。

【隨堂練習(xí)】

1.（2019?溫州三模）如圖，點(diǎn)A,B,。在。。上，若NAC8=U2。，則Na=（）

A.68°B.112°C.136°D.134°

【解答】解：作窟對(duì)的圓周角NAO3,如圖，

,/ZACB+ZADB=180°,

AZADB=180°-112°=68°,

NAO8=2NAO8=2x68°=136°.

2.（2019?邵陽(yáng)縣模擬）已知。。的直徑A3=8cm,點(diǎn)。在。。上，且N8OC=60。，貝ijAC

的長(zhǎng)為（)

A.4cmB.C.5cmD.2.5cm

【解答】解：?：OB=OC,NBOC=60。,

???△O8C是等邊三角形,

???ZABC=60°9

9：AB是直徑,

：.NAC5=90。，

，AC=4Bsin60°=8x返=4仃

2

故選：B.

3.（2019?廣元）如圖，AB,AC分別是。。的直徑和弦，OD_LAC于點(diǎn)。，連接80,BC,

D.4.8

【解答】解：???A3為直徑,

???NAC5=90。，

?*,BC=VAB2-AC2=VB2-42=3,

"：ODLAC,

：.CD=AD=kAC^4,

2

在RtaCBZ)中，8。=八可彳=2^^.

故選：C.

4.（2019?吉林）如圖，在。。中，AB所對(duì)的圓周角NACB=50。，若尸為&上一點(diǎn)，ZA0P

=55。，則NP0B的度數(shù)為（)

【解答】解：?.?/AC8=50。，

???NAOB=2NAC8=100。，

乙4。尸=55。，

???NPO8=45。，

故選：B.

5.（2019?柳州）如圖，A,B,C,。是。。上的點(diǎn),則圖中與N4相等的角是（）

A.NBB.ZCC.ZDEBD.ZD

【解答】解：與NO都是它所對(duì)的圓周角

J.ZD^ZA.

故選：D.

6.（2019?黔東南州一模）如圖，8C為。。的直徑，AB=OB.則NC的度數(shù)為（）

0

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：:BC為G）O的直徑，

AZBAC=90°,

???A8=0B,

：.BC=2ABf

AZC=30°.

故選：A.

7.（2019?宜昌）如圖，點(diǎn)A,B,C均在。。上，當(dāng)NO3C=40。時(shí)，N4的度數(shù)是（)

A.50°B.55°C.60°D.65°

【解答】解：???08=0C,

：.ZOCB=ZOBC=40°,

：.ZBOC=180°-40°-40°=100°,

ZA=kZBOC=5Q°.

2

故選：A.

8.（2019?眉山）如圖，。。的直徑A8垂直于弦C。，垂足是點(diǎn)E,NCAO=22.5。，OC=6,

則CD的長(zhǎng)為（）

A.65/2B.3V2C.6D.12

【解答】解:VCD1AB,

：.CE=DE,

'：NBOC=2NA=2x22.5°=45°,

；.△OCE為等腰直角三角形，

CE=返OC=返x6-3血,

22

:.CD=2CE=6近.

故選：A.

9.（2019?江西模擬）如圖，BC為直徑，/ABC=35。，則/。的度數(shù)為（)

A.35°B.45°C.55°D.65°

【解答】解：：AB是直徑，

：.ZBAC=90°,

'：NABC=35。，

:.ZACB=90°-35°=55°,

.".ZD=ZC=55°,

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

2.外角等于它的內(nèi)對(duì)角

【典例】

1.如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在OO上，且定的度數(shù)為50。，則NB+ND的度數(shù)為

【答案】155°

【解析】解：連接AB、DE,則NABE=/ADE,

：AE為50。，；./ABE=NADE=25。，

?點(diǎn)A、B、C、D在（DO上，

...四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

.?.ZABC+ZADC=180°,

ZABE+ZEBC+ZADC=180°,

ZB+ZD=180°-ZABE=180°-25°=155°

2.如圖，已知。0的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)E、F,若NE+NF=70。,

則/A的度數(shù)是

【解析】解：：四邊形ABCD為(DO的內(nèi)接四邊形，

；./A=/BCF,

VZEBF=ZA+ZE,

而/EBF=180。-ZBCF-ZF,

ZA+ZE=180°-ZBCF-ZF,

NA+NE=180-ZA-NF,

BP2ZA=18O°-(ZE+ZF)=110°,

ZA=55°

3.如圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，ZADC=90°,AB=7cm,CD=5cm,AE=4cm,

CF=6cm,則陰影部分的面積為cn?.

【答案】31

【解析】解：如圖，連接AC.

VZADC=90°,

；.AC是直徑，

二/ABC=90°,

ACDIAE,AB_LCF,

SM=SAAEC+SAAFC=L.AE?CD+L?CF?AB=LX4X5+LX6X7=31（cm2）

2222

【方法總結(jié)】

證明四點(diǎn)共圓的一般方法：

1、逆用同弦所對(duì)圓周角相等

2、逆用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

【隨堂練習(xí)】

1.（2018秋?濱江區(qū)期末）已知圓內(nèi)接四邊形4J8中，NA:N3:NC=1:2:3,則NO的大

小是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【解答】解：?.?四邊形A8CO為圓的內(nèi)接四邊形，

.-.ZA:Zfi:ZC:Z￡>=l:2:3:2,

而NB+Z￡>=180°,

ZD=-xl80°=90°.

4

故選：C.

2.（2019?蘭州）如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于OO,若NA=40。，則NC=（）

D

C

A.110°B.120°C.135°D.140°

【解答】解：?.?四邊形ABC。內(nèi)接于OO,

.?.ZC+ZA=180°,

.?.ZC=180°-40o=140°.

故選：

3.（2019?南昌一模）如圖，A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)均在OO上，乙408=40。，弦3C的長(zhǎng)

等于半徑，則ZAZX?的度數(shù)等于（

A.50°B.49°C.48°D.47°

【解答】解：連接OC,

由題意得，OB=OC=BC,

AOBC是等邊三角形，

/.ZBOC=60°,

-.-ZAOB=40°,

ZAOC=100°,

由圓周角定理得，ZADC=-ZAOC=50°,

2

故選：A.

4.（2019?富順縣三模）四邊形ABCZ）內(nèi)接于圓，/4、ZB、NC、NO的度數(shù)比可能是（

)

A.1:3:2:4B.7:5:10:8C.13:1:5:17D.1:2:3:4

【解答】解：A、1+2W3+4,所以A選項(xiàng)不正確;

B、7+10*5+8.所以8選項(xiàng)不正確；

C、13+5=1+17,所以C選項(xiàng)正確；

D、1+3片2+4,所以。選項(xiàng)不正確.

故選：C.

5.（2018秋?定興縣期末）如圖，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形/4=85。，4=105。，則NC

C.95°D.無(wú)法求

【解答】解：?.?四邊形/WCD為圓內(nèi)接四邊形/4=85。，

,-.ZC=180°-85°=95°,

故選：C.

二.填空題（共3小題）

6.（2019?海淀區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)A,B,C,。是上的四個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)3是弧AC的

中點(diǎn)，如果NABC=70。，那NAD8=55°

【解答】解：?.?四邊形內(nèi)接于

:.ZABC+ZADC=\80°,

.-.ZAZ)C=180°-70°=110°.

?.?點(diǎn)6是弧AC的中點(diǎn)，

.?.弧他=弧3。.

,\ZADB=ZBDC.

:.ZADB=-ZADC=-x]lO°=55°.

22

故答案為55。.

7.（2019?銅仁市）如圖，四邊形A8C。為OO的內(nèi)接四邊形，ZA=1OO°,則NDCEt的度數(shù)

【解答】解：?.?四邊形A88為的內(nèi)接四邊形,

.".ZDCE=ZA=100°,

故答案為：100。

8.（2019?臺(tái)州）如圖，AC是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)。關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E

在邊8c上，連接AE.若NA3C=64。，則NS4E的度數(shù)為_(kāi)52。_.

【解答】解：?.?圓內(nèi)接四邊形ABCD,

ZD=180°-ZABC=116°,

?.?點(diǎn)。關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)“在邊BC上,

:.ZD=ZAEC=\]6°,

.?.Z￡L4￡=116O-64O=52°.

故答案為：52°.

三.解答題（共1小題）

9.（2018秋?中山區(qū)期末）如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于OO,ZBOD=}40°,求N8C。的度

數(shù).

:.ZA=-ZBOD=10°,

2

...NBCD=180°—NA=110°.

綜合運(yùn)用：圓的有關(guān)性質(zhì)

1.把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=4cm,求

【解析】解：如圖，設(shè)EF的中點(diǎn)M,作MN_LAD于點(diǎn)M,取MN上的球心O,連接OF,

NC=/D=90。，

二四邊形CDMN是矩形,

；.MN=CD=4cm,

設(shè)0F=xcm,貝ON=OF,

；.0M=MN-0N=(4-x)cm,MF=2cm,

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2

BP：(4-x)2+22=X2

解得：x=2.5cm

答：球的半徑為2.5cm。

2.如圖，AB是半圓的直徑，0是圓心，C是半圓上一點(diǎn)，D是弧AC中點(diǎn)，OD交弦AC于

E,連接BE,若AC=8,DE=2,求

（1）求半圓的半徑長(zhǎng)；

（2）BE的長(zhǎng)度。

【解析】解：（1）設(shè)圓的半徑為r,

是弧AC中點(diǎn)，

.??OD±AC,