湖南長沙市一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題含解析

湖南長沙市一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則2．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．23．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度4．設(shè)離散型隨機變量的概率分布列如表：1234則等于（）A． B． C． D．5．某西方國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為（）A．大前提錯誤 B．推理形式錯誤 C．小前提錯誤 D．非以上錯誤6．若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．設(shè)全集U＝R，集合，，則集合()A． B．C． D．8．在一次試驗中，測得的四組值分別是，，，，則與之間的線性回歸方程為()A． B． C． D．9．若，則下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．10．設(shè)，當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．11．《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)規(guī)定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖，每項指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu))，則下面敘述正確的是（）(注:雷達(dá)圖(RadarChart)，又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖(SpiderChart)，可用于對研究對象的多維分析)A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲12．?dāng)?shù)列滿足是數(shù)列為等比數(shù)列的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下表提供了某學(xué)生做題數(shù)量x（道）與做題時間y（分鐘）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：x（道）3456y（分鐘）2.5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，得y關(guān)于x的線性回歸方程為則表中t的值為_____．14．總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機數(shù)表的第1行第4列數(shù)由左到右由上到下開始讀取，則選出來的第5個個體的編號為____．第1行78166571023060140102406090280198第2行3204923449358200362348696938748115．為等比數(shù)列，若，則_______.16．已知滿足約束條件則的最小值為______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)在以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：.1求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；2若與相交于兩點，設(shè)點，求的值．18．（12分）某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50名學(xué)生組成一個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）請估計學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)；（2）若成績小于15秒認(rèn)為良好，求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；（3）請根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).19．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，且，，，、分別是、的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的平面角的大小.20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時，記函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長度為，所有單調(diào)遞減區(qū)間的長度為，證明：．（注：區(qū)間長度指該區(qū)間在軸上所占位置的長度，與區(qū)間的開閉無關(guān)．）21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），兩曲線相交于，兩點.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求的值.22．（10分）我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評.假設(shè)男性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為.某機構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾（其中2男2女）.（1）求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率；（2）設(shè)表示這4名觀眾中認(rèn)為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【題目詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，則或，故B錯誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯誤．故選C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是中檔題．2、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【題目詳解】由題,,故選:A【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)圖像的平移變換即可得解.【題目詳解】解：由，即為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，故選：B.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】分析：利用離散型隨機變量X的概率分布列的性質(zhì)求解.詳解：由離散型隨機變量X的分布列知：，解得.故選：D.點睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意離散型隨機變量X的概率分布列的性質(zhì)的靈活應(yīng)用.5、B【解題分析】

根據(jù)三段論的推理形式依次去判斷大前提和小前提，以及大小前提的關(guān)系，根據(jù)小前提不是大前提下的特殊情況，可知推理形式錯誤.【題目詳解】大前提：“鵝吃白菜”，不是全稱命題，大前提本身正確，小前提：“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，鵝與人不能進行類比，所以不符合三段論的推理形式，可知推理形式錯誤.本題正確選項：【題目點撥】本題考查三段論推理形式的判斷，關(guān)鍵是明確大小前提的具體要求，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】分析：利用定積分，將已知化簡，即可比較大?。斀猓河深}意，可得，，，則，所以，故選A．點睛：本題主要考查了定積分的運算，其中根據(jù)微積分基本定理，求解的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．7、A【解題分析】

求出，然后求解即可.【題目詳解】全集，集合，則集合，所以，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)集合的運算，屬于簡單題目.8、D【解題分析】

根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，把樣本中心點代入所給的四個選項中驗證，若能夠成立的只有一個，這一個就是線性回歸方程．【題目詳解】∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是

把樣本中心點代入四個選項中，只有成立，

故選D．【題目點撥】本題考查求線性回歸方程，一般情況下是一個運算量比較大的問題，解題時注意平均數(shù)的運算不要出錯，注意系數(shù)的求法，運算時要細(xì)心，但是對于一個選擇題，還有它特殊的加法．9、A【解題分析】

對于A，用不等式的性質(zhì)可以論證，對于B，C，D，列舉反例，可以判斷．【題目詳解】∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞﹣b，故結(jié)論A成立；取a＝﹣2，b＝﹣1，則∵，∴B不正確；，∴，∴C不正確；，，∴，∴D不正確．故選：A．【題目點撥】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用不等式的性質(zhì)，對于不正確結(jié)論，列舉反例．10、A【解題分析】∵當(dāng)時，不等式恒成立∴當(dāng)時，不等式恒成立令，則∵∴當(dāng)時，，即在上為減函數(shù)當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)∴，即令，則∴當(dāng)時，，即在上為減函數(shù)當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)∴∵∴或故選A點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.11、D【解題分析】

根據(jù)雷達(dá)圖，依次判斷每個選項的正誤得到答案.【題目詳解】根據(jù)雷達(dá)圖得甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)低于乙，所以A錯誤根據(jù)雷達(dá)圖得甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，所以B錯誤根據(jù)雷達(dá)圖得乙的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象最差，所以C錯誤根據(jù)雷達(dá)圖得乙整體為27分，甲整體為22分，乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲，所以D正確故答案選D【題目點撥】本題考查了雷達(dá)圖，意在考查學(xué)生解決問題的能力.12、B【解題分析】分析：由反例得充分性不成立，再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)證必要性成立.詳解：因為滿足，所以充分性不成立若數(shù)列為等比數(shù)列，則，即必要性成立.選B.點睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

現(xiàn)求出樣本的中心點，再代入回歸直線的方程，即可求得的值.【題目詳解】由題意可得，因為對的回歸直線方程是，所以，解得.【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的應(yīng)用，其中解答的關(guān)鍵是利用回歸直線方程恒過樣本中心點，代入求解，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、02；【解題分析】

第1行第4列數(shù)是6，由左到右進行讀取10，06，01，09，02.【題目詳解】第1行第4列數(shù)是6，由左到右進行讀取10，06，01，09，02，所以第5個個體的編號為02.【題目點撥】隨機數(shù)表中如果個體編號是2位數(shù)，則從規(guī)定的地方數(shù)起，是每次數(shù)兩位數(shù)，如果碰到超出編號范圍，則不選；如果碰到選過的，也不選.15、【解題分析】

將這兩式中的量全部用表示出來，正好有兩個方程，兩個未知數(shù)，解方程組即可求出?！绢}目詳解】相當(dāng)于，相當(dāng)于，上面兩式相除得代入就得，【題目點撥】基本量法是解決數(shù)列計算題最重要的方法，即將條件全部用首項和公比表示，列方程，解方程即可求得。16、8【解題分析】

由題意畫出可行域，利用圖像求出最優(yōu)解，再將最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可求出的最小值.【題目詳解】由題意畫出約束條件的可行域如圖所示，由圖像知，當(dāng)過點時，取得最小值，聯(lián)立，解得，代入目標(biāo)函數(shù)，.故答案為：8【題目點撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的普通方程為.的直角坐標(biāo)方程為.（2）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）消參后得到曲線的普通方程；根據(jù)得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，而，代入根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)果.試題解析：（I）（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為.，所以的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）由題意可設(shè)，與兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，化簡整理得，，所以，所以，因為，所以，所以【題目點撥】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程，以及普通方程和參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系，對于第二問中的弦長問題，過定點，傾斜角為的參數(shù)方程，與曲線相交交于兩點，，，，根據(jù)圖象和二次方程去絕對值，后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)果.18、人；（2）人；15.70.【解題分析】試題分析：（1）利用頻率分布直方圖能估計學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)．（2）利用頻率分布直方圖能求出該樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù)．（3）根據(jù)頻率分布直方圖，能求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)．解析：學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)人；（2）樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù)是：人；由圖可知眾數(shù)落在第三組，是，.19、（Ⅰ）證明過程詳見解析；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）已知SB、AB、BC兩兩互相垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系如下圖．根據(jù)線段長度可求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，從而可推出，則，所以平面平面BCD．（Ⅱ）求出兩個平面的法向量，利用法向量夾角與二面角平面角的關(guān)系求出平面角的大?。绢}目詳解】（Ⅰ）．又因，所以建立如上圖所示的坐標(biāo)系．所以A（2，0，0），，，D（1，0，1），，S（0，0，2）易得，，，又，又又因，所以平面平面BCD．（Ⅱ）又設(shè)平面BDE的法向量為，則,即所以又因平面SBD的法向量為所以由圖可得二面角為銳角，所以二面角的平面角的大小為．考點：?平面與平面的垂直的證明?二面角大小的求法．20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求最值；（2）根據(jù)（1）首先求函數(shù)的零點，從而去掉的絕對值，分段求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后再比較單調(diào)區(qū)間的長度.【題目詳解】解（1）因為，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以.（2）由（1）可知，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增又，，所以存在，使得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，記，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)或時，當(dāng)時即在單調(diào)遞增.因為，所以則當(dāng)時，令，有所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞減綜上，在與單調(diào)遞減，在與單調(diào)遞增.所以，又所以，即【題目點撥】本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題型，本題的一個難點是函數(shù)的零點，其中一個是，另一個不確定，只能估算其范圍，設(shè)為，所以再求當(dāng)或時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也需估算比較的范圍，確定時函數(shù)的減區(qū)間，這種估算零點存在性問題，是導(dǎo)數(shù)常考題型.21、（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為；直線的普通方程為.（2）.【解題分析】

(1)利用可以把極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；對于參數(shù)方程，消去參數(shù)可得普通方程.(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)的幾何意義可求解.【題目詳解】(1)由,可得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為.由（為參數(shù)），消去，得直線的普通方程為.