湖南省長(zhǎng)沙市地質(zhì)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市地質(zhì)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若對(duì)任意正數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值（）A．1 B． C． D．2．已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．3．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．4．平面上有個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn)，它們將平面分成塊區(qū)域，有，，，則（）．A． B．C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，定義，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于下列結(jié)論：符合的點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積為8；設(shè)點(diǎn)是直線：上任意一點(diǎn)，則；設(shè)點(diǎn)是直線：上任意一點(diǎn)，則使得“最小的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)”的充要條件是；設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論序號(hào)為A． B． C． D．6．命題“，”的否定為（）A．， B．，C．， D．，7．如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)依次為，，記線段、以及的圖象圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）為，若向矩形內(nèi)任意投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為()A． B．C． D．8．64個(gè)直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個(gè)直徑為a的球，記其體積為，表面積為，則（）A．>且> B．<且<C．=且> D．=且=9．河南洛陽(yáng)的龍門(mén)石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門(mén)石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國(guó)四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則的值為（）A．8 B．10 C．12 D．1610．的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)為（）A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng) C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)11．已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對(duì)任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知集合，或，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若,則在的展開(kāi)式中,項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)________14．已知函數(shù)其中，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________________.15．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)______.16．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，則等于__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知的展開(kāi)式中第4項(xiàng)和第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．(Ⅰ)求的值和這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(Ⅱ)在的展開(kāi)式中，求含項(xiàng)的系數(shù)（結(jié)果用數(shù)字表示）．18．（12分）2018年6月14日，第二十一屆世界杯足球賽將在俄羅斯拉開(kāi)帷幕.為了了解喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表.（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？（2）在不喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加一臺(tái)訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率.19．（12分）如圖，已知，分別為橢圓：的上、下焦點(diǎn)，是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）與圓相切的直線：（其中）交橢圓于點(diǎn)，，若橢圓上一點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的最大值及取得最大值的x的集合.22．（10分）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為正方形，平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。?/p>

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：由題意可得恒成立，利用基本不等式求得的最大值為，從而求得實(shí)數(shù)的最小值．詳解：由題意可得恒成立．

由于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故的最大值為，，即得最小值為，

故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

當(dāng)時(shí)，最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫(huà)函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，得；最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，，在，上遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)．不合題意；當(dāng)，即時(shí)，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在，上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：且，解得，，．故選．【題目點(diǎn)撥】遇到此類(lèi)問(wèn)題，不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及兩個(gè)參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類(lèi)討論，這一過(guò)程中有可能分類(lèi)不全面、不徹底.3、B【解題分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求得，進(jìn)而求得，由此得到結(jié)果.【題目詳解】，，，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大小的問(wèn)題，涉及到對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

分析可得平面內(nèi)有個(gè)圓時(shí),它們將平面分成塊,再添加第個(gè)圓時(shí),因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn),每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn),故會(huì)增加個(gè)圓.再求和即可.【題目詳解】由題,添加第個(gè)圓時(shí),因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn),每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn),故會(huì)增加個(gè)圓.又,故.即.累加可得.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式的方法,需要畫(huà)圖分析進(jìn)行理解.或直接計(jì)算等利用排除法判斷.屬于中檔題.5、D【解題分析】

根據(jù)新定義由，討論、的取值，畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，求出面積即可；運(yùn)用絕對(duì)值的含義和一次函數(shù)的單調(diào)性，可得的最小值；根據(jù)等于1或都能推出最小的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)可判斷其錯(cuò)誤；把的坐標(biāo)用參數(shù)表示，然后利用輔助角公式求得的最大值說(shuō)明命題正確．【題目詳解】由，根據(jù)新定義得：，由方程表示的圖形關(guān)于軸對(duì)稱和原點(diǎn)對(duì)稱，且，畫(huà)出圖象如圖所示：四邊形為邊長(zhǎng)是的正方形，面積等于8，故正確；為直線上任一點(diǎn)，可得，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可得，綜上可得的最小值為1，故正確；，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；而，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，即都能“使最小的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)”，不正確；點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)榍笞畲笾担钥稍O(shè)，，，，，，正確．則正確的結(jié)論有：、、，故選D．【題目點(diǎn)撥】此題考查學(xué)生理解及運(yùn)用新定義的能力，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.6、A【解題分析】

全稱命題的否定為特稱命題，易得命題的否定為，.【題目詳解】因?yàn)槊}“，”為全稱命題，所以命題的否定為特稱命題，即，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，注意“任意”要改成“存在”.7、D【解題分析】分析：利用定積分的幾何意義求出陰影部分的面積，由幾何概型的概率公式，即可得結(jié)果.詳解：陰影部分的面積是，矩形的面積是，點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查定積分的幾何意義以及幾何概型概率公式，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時(shí)，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來(lái)求解.8、C【解題分析】

分別計(jì)算出、、、，再比較大小?！绢}目詳解】，，故=，>【題目點(diǎn)撥】已知直徑利用公式,分別計(jì)算出、、、，再比較大小即可。9、C【解題分析】

數(shù)列，是等比數(shù)列，公比為2，前7項(xiàng)和為1016，由此可求得首項(xiàng)，得通項(xiàng)公式，從而得結(jié)論．【題目詳解】最下層的“浮雕像”的數(shù)量為，依題有：公比，解得，則，，從而，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用．?dāng)?shù)列應(yīng)用題求解時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)抽象出數(shù)列的條件，然后利用數(shù)列的知識(shí)求解．10、C【解題分析】由題設(shè)可知展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為，其系數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)最小，則，即第8項(xiàng)的系數(shù)最小，應(yīng)選答案C。11、C【解題分析】

對(duì)a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時(shí)分兩種情況討論，比較兩個(gè)函數(shù)的值域的關(guān)系，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域?yàn)閇1,+∞），函數(shù)的值域?yàn)閇0,++∞），滿足題意.當(dāng)a＜0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇a+2,-a+2],因?yàn)閍+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時(shí)函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當(dāng)a＞0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇-a+2,a+2],當(dāng)a≥時(shí)，-a+2≤2a,由題得.當(dāng)0＜a＜時(shí)，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.12、C【解題分析】

首先解絕對(duì)值不等式，從而利用“并”運(yùn)算即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，等價(jià)于，解得，于是，故答案為C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合與不等式的綜合運(yùn)算，難度不大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：由定積分求得，寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，進(jìn)而可求解的系數(shù).詳解：由，所以二項(xiàng)式為，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，即的系數(shù)為.點(diǎn)睛：本題主要考查了定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中熟記微積分基本定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理和運(yùn)算能力.14、【解題分析】試題分析：由題意畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示，要滿足存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則，解得，故m的取值范圍是.【考點(diǎn)】分段函數(shù)，函數(shù)圖象【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、分段函數(shù)的概念.解答本題，關(guān)鍵在于能利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的分析，轉(zhuǎn)化得到代數(shù)不等式.本題能較好地考查考生數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、基本運(yùn)算求解能力等.15、【解題分析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的表示方法算出即可.【題目詳解】由,則,所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題型.16、【解題分析】

利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算出、、、，再將這些相加可得出.【題目詳解】由于，所以，，，，，因此，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，解這類(lèi)問(wèn)題要注意將基本事件列舉出來(lái)，關(guān)鍵在于靈活利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）285【解題分析】

(Ⅰ)由題意知：得到，代入計(jì)算得到答案.(Ⅱ)分別計(jì)算每個(gè)展開(kāi)式含項(xiàng)的系數(shù)，再把系數(shù)相加得到答案.【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴；（Ⅱ）方法一：含項(xiàng)的系數(shù)為.方法二：含的系數(shù)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，特定項(xiàng)系數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、(1)答案見(jiàn)解析；(2).【解題分析】分析：讀懂題意，補(bǔ)充列聯(lián)表，代入公式求出的值，對(duì)照表格，得出結(jié)論；（2）根據(jù)古典概型的特點(diǎn)，采用列舉法求出概率。詳解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下：由列聯(lián)表知故可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).（2）由分層抽樣知，從不喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的觀眾中抽取6人，其中男性有人，女性有人.記男性觀眾分別為，女性觀眾分別為，隨機(jī)抽取2人，基本事件有共15種記至少有一位男性觀眾為事件，則事件包含共9個(gè)基本事件由古典概型，知點(diǎn)睛：本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用以及古典概型，屬于中檔題。解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的三個(gè)步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）計(jì)算的值；（3）查值比較的值與臨界值的大小關(guān)系，作出判斷。19、(1)；(2).【解題分析】試題分析：（1）由題意得，所以，又由拋物線定義可知，，由橢圓定義知，，得，故，從而橢圓的方程為；（2），，聯(lián)立得，代入橢圓方程，所以，又，所以．試題解析：（1）由題意得，所以，又由拋物線定義可知，得，于是易知，從而，由橢圓定義知，，得，故，從而橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，則由知，，，且，①又直線：（其中）與圓相切，所以有，由，可得（，），②又聯(lián)立消去得，且恒成立，且，，所以，所以得，代入①式，得，所以，又將②式代入得，，，，易知，且，所以．20、(1)證明見(jiàn)解析.(2).【