上海市復(fù)旦附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

上海市復(fù)旦附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．平面內(nèi)有兩個定點和，動點滿足，則動點的軌跡方程是（）．A． B．C． D．2．設(shè)M為曲線C:y=2x2+3x+3上的點，且曲線C在點M處切線傾斜角的取值范圍為3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-3．某快遞公司的四個快遞點呈環(huán)形分布（如圖所示），每個快遞點均已配備快遞車輛10輛．因業(yè)務(wù)發(fā)展需要，需將四個快遞點的快遞車輛分別調(diào)整為5,7,14,14輛，要求調(diào)整只能在相鄰的兩個快遞點間進行，且每次只能調(diào)整1輛快遞車輛，則A．最少需要8次調(diào)整，相應(yīng)的可行方案有1種B．最少需要8次調(diào)整，相應(yīng)的可行方案有2種C．最少需要9次調(diào)整，相應(yīng)的可行方案有1種D．最少需要9次調(diào)整，相應(yīng)的可行方案有2種4．設(shè)有個不同顏色的球，放入個不同的盒子中，要求每個盒子中至少有一個球，則不同的放法有（）A．種 B．種C．種 D．種5．函數(shù)f（x）=，則不等式f（x）＞2的解集為（）A． B．（，-2）∪（，2）C．（1，2）∪（，+∞） D．（，+∞）6．若動圓的圓心在拋物線上，且與直線相切，則動圓必過一個定點，該定點坐標為（）A． B． C． D．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中，假設(shè)時，不等式成立，則需證當時，也成立，則（）A． B．C． D．8．已知，（），則數(shù)列的通項公式是（）A． B． C． D．9．等比數(shù)列的前n項和為，已知，則A． B． C． D．10．現(xiàn)有一條零件生產(chǎn)線，每個零件達到優(yōu)等品的概率都為.某檢驗員從該生產(chǎn)線上隨機抽檢個零件，設(shè)其中優(yōu)等品零件的個數(shù)為.若，，則（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點.設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且則雙曲線的方程為A． B．C． D．12．觀察下列各式：3272112152……據(jù)此規(guī)律.所得的結(jié)果都是8的倍數(shù).由此推測可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列中，，則公比______；______．14．已知，，若向量與共線，則在方向上的投影為______.15．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____.16．設(shè)直線l：x+y﹣2＝0的傾斜角為α，則α的大小為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）[選修4-4：坐標系及參數(shù)方程]已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程及曲線上的動點到坐標原點的距離的最大值；（2）若曲線與曲線相交于，兩點，且與軸相交于點，求的值.18．（12分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．19．（12分）設(shè)函數(shù)，．（1）若函數(shù)f（x）在處有極值，求函數(shù)f（x）的最大值；（2）是否存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；20．（12分）已知a，，點在矩陣對應(yīng)的變換下得到點.（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的特征值和特征向量；（3）若向量，求.21．（12分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上單調(diào)遞減，①求a的取值范圍；②當時，證明：.22．（10分）已知命題方程表示雙曲線，命題點在圓的內(nèi)部.若為假命題，也為假命題，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由已知條件知，點的運動軌跡是以，為焦點的雙曲線右支，從而寫出軌跡的方程即可.【題目詳解】解：由可知，點的運動軌跡是以，為焦點的雙曲線右支，，，，.所以動點的軌跡方程是.故選：D.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義，求雙曲線的標準方程，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)y'，傾斜角的范圍可轉(zhuǎn)化為斜率的范圍，斜率就是導(dǎo)數(shù)值，由可得y'的不等式，解之可得．【題目詳解】由題意y'=4x+3，切線傾斜角的范圍是[3π4,π)，則切線的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故選D．【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)就是其圖象在該點處的切線的斜率．解題時要注意直線傾斜角與直線斜率之間的關(guān)系，特別是正切函數(shù)的性質(zhì)．3、D【解題分析】

先閱讀題意，再結(jié)合簡單的合情推理即可得解．【題目詳解】（1）A→D調(diào)5輛，D→C調(diào)1輛，B→C調(diào)3輛，共調(diào)整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D調(diào)4輛，A→B調(diào)1輛，B→C調(diào)4輛，共調(diào)整：4＋1＋4＝9次，故選：D【題目點撥】本題考查了閱讀能力及簡單的合情推理，屬中檔題．4、D【解題分析】

要求每個盒子中至少有一個球，可將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．【題目詳解】將兩個顏色的球捆綁在一起，再全排列得選D【題目點撥】將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．本題為選擇題還可取特值：令n=1,只有一種放法，排除AB，令n=2有6中放法，選D5、C【解題分析】當時，有，又因為，所以為增函數(shù)，則有，故有；當時，有，因為是增函數(shù)，所以有，解得，故有．綜上．故選C6、A【解題分析】

直線為的準線，圓心在該拋物線上，且與直線相切，則圓心到準線的距離即為半徑，那么根據(jù)拋物線的定義可知定點坐標為拋物線焦點.【題目詳解】由題得，圓心在上，它到直線的距離為圓的半徑，為的準線，由拋物線的定義可知，圓心到準線的距離等于其到拋物線焦點的距離，故動圓C必過的定點為拋物線焦點，即點，故選A.【題目點撥】本題考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】故選8、C【解題分析】由，得：，∴為常數(shù)列，即，故故選C9、A【解題分析】設(shè)公比為q,則，選A.10、C【解題分析】

由求出的范圍，再由方差公式求出值．【題目詳解】∵，∴，化簡得，即，又，解得或，∴，故選C．【題目點撥】本題考查概率公式與方差公式，掌握這兩個公式是解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

分析：由題意首先求得A,B的坐標，然后利用點到直線距離公式求得b的值，之后利用離心率求解a的值即可確定雙曲線方程.詳解：設(shè)雙曲線的右焦點坐標為（c>0），則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇A選項.點睛：求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.12、A【解題分析】

先求出數(shù)列3,7,11,15，……的通項，再判斷得解.【題目詳解】數(shù)列3,7,11,15，……的通項為an當n=26時，a26故選：A【題目點撥】本題主要考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列通項公式構(gòu)造方程求解即可.【題目詳解】本題正確結(jié)果：；【題目點撥】本題考查等比數(shù)列基本量的求解，關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列通項公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

,由向量與共線，得，解得，則在方向上的投影為，故答案為.15、.【解題分析】

先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計算公式得出答案.【題目詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況.若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況，若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況，所以所求的概率為.【題目點撥】計數(shù)原理是高考考查的重點內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，所以，計算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無，明確“排列”“組合”.16、【解題分析】

根據(jù)直線方程可得斜率，由斜率可得傾斜角.【題目詳解】由直線方程可得斜率為，所以，又，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查了由直線方程求傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】【試題分析】(I)將方程展開后化為直角坐標方程,利用勾股定理求得的長度并求得其最大值.(II)求出直線的參數(shù)方程,代入橢圓方程,利用直線參數(shù)的幾何意義求得的值.【試題解析】（Ⅰ）由得，即曲線的直角坐標方程為根據(jù)題意得，因此曲線上的動點到原點的距離的最大值為（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線與軸交點的坐標為，曲線的參數(shù)方程為:，曲線的直角坐標方程為聯(lián)立得……8分又，所以18、(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是（2)．【解題分析】試題分析：(1)，根據(jù)題意，由于函數(shù)當t=-e時，即導(dǎo)數(shù)為,,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是（2)根據(jù)題意由于對于任意，不等式恒成立，則在第一問的基礎(chǔ)上，由于函數(shù),只要求解函數(shù)的最小值大于零即可，由于當t>0,函數(shù)子啊R遞增，沒有最小值，當t<0，那么可知，那么在給定的區(qū)間上可知當x=ln（-t）時取得最小值為2，那么可知t的取值范圍是．考點：導(dǎo)數(shù)的運用點評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)的運用，以及函數(shù)最值的運用，屬于中檔題．19、（1）函數(shù)f（x）的最大值為（2）存在，詳見解析【解題分析】

（1）函數(shù)f（x）在處有極值說明（2）對求導(dǎo)，并判斷其單調(diào)性。【題目詳解】解：（1）由已知得：，且函數(shù)f（x）在處有極值∴，∴∴，∴當時，，f（x）單調(diào)遞增；當時，，f（x）單調(diào)遞減；∴函數(shù)f（x）的最大值為．（2）由已知得：①若，則時，∴在上為減函數(shù)，∴在上恒成立；②若，則時，∴在[0，+∞）上為增函數(shù)，∴，不能使在上恒成立；③若，則時，，當時，，∴在上為增函數(shù)，此時，∴不能使在上恒成立；綜上所述，b的取值范圍是．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)性的討論，在解決此類問題時關(guān)鍵求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性以及極值。屬于難題。20、（1）；（2）矩陣A的特征值為，3，分別對應(yīng)的一個特征值為，；（3）【解題分析】

（1）直接利用矩陣的乘法運算即可；（2）利用特征多項式計算即可；（3）先計算出，再利用計算即可得到答案.【題目詳解】（1）由題意知，，則，解得.（2）由（1）知，矩陣A的特征多項式，令，得到A的特征值為，.將代入方程組，解得，所以矩陣A的屬于特征值的一個特征向量為.再將代入方程組，解得，所以矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為.綜上，矩陣A的特征值為，3，分別對應(yīng)的一個特征值為，.（3）設(shè)，即，所以，解得，所以，所以.【題目點撥】本題考查矩陣的乘法、特征值、特征向量，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道中檔題.21、（1）1；（2）①，②證明見解析.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系當，求出單調(diào)遞增區(qū)間，當，求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，進而可求出最大值.（2）①求出對恒成立，化為對恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；②由題意可得，即，兩邊取對數(shù)可得，下面采用分析法即可證出.【題目詳解】（1）時，時，，在上單調(diào)遞增時，，在上單調(diào)遞減（2）由①在R上單調(diào)遞減，對恒成立，即對恒成立，記，則對恒成立，當時，，符題當時，時，，在