廣東省華南師大附中、省實驗中學、廣雅中學、深圳高級中學四校2024屆數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

廣東省華南師大附中、省實驗中學、廣雅中學、深圳高級中學四校2024屆數(shù)學高二第二學期期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量，，若，，則（）A．0.1 B．0.2 C．0.32 D．0.362．函數(shù)在上的圖象大致是（）A． B．C． D．3．已知復數(shù)滿足方程，復數(shù)的實部與虛部和為，則實數(shù)（）A． B． C． D．4．定積分（）A． B． C． D．5．一個袋子中有4個紅球，2個白球，若從中任取2個球，則這2個球中有白球的概率是A． B． C． D．6．已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內的一條直線，則“⊥”是“⊥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．曲線在處的切線斜率是()A． B． C． D．8．已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知A，B是半徑為的⊙O上的兩個點，·＝1，⊙O所在平面上有一點C滿足｜＋｜＝1，則｜｜的最大值為（）A．＋1 B．＋1 C．2＋1 D．+110．高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學習，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）A．16種 B．18種 C．37種 D．48種11．已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)等于()A． B． C． D．i12．2018年元旦期間，某高速公路收費站的三個高速收費口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設三個收費口均能正常工作，則這個收費口每天至少有一個超過700輛的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若存在兩個正實數(shù)，使得不等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.14．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________．15．已知函數(shù)與的圖象有且只有三個交點，則實數(shù)的取值范圍為________．16．在中，內角，，滿足，且，則的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，平面，，，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）在中，內角的對邊分別為，已知，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，若方程的有1個實根，求的值；（2）當時，若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）伴隨著智能手機的深入普及，支付形式日漸多樣化，打破了傳統(tǒng)支付的局限性和壁壘，有研究表明手機支付的使用比例與人的年齡存在一定的關系，某調研機構隨機抽取了50人，對他們一個月內使用手機支付的情況進行了統(tǒng)計，如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人數(shù)510151055使用手機支付人數(shù)31012721（1）若以“年齡55歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“使用手機支付”與人的年齡有關；年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計使用不適用合計（2）若從年齡在[55，65），[65，75）內的被調查人中各隨機選取2人進行追蹤調查，記選中的4人中“使用手機支付”的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望；參考數(shù)據(jù)如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828參考格式：，其中21．（12分）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點，使得平面？不需說明理由．22．（10分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當時，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由求出，進而，由此求出.【題目詳解】解：因為，，，所以，解得或（舍），由，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查概率的求法，考查二項分布、正態(tài)分布等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是基礎題.2、A【解題分析】對函數(shù)進行求導：，由可得：，即函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間和區(qū)間上是減函數(shù)，觀察所給選項，只有A選項符合題意.本題選擇A選項.3、D【解題分析】分析：由復數(shù)的運算，化簡得到z，由實部與虛部的和為1，可求得的值．詳解：因為所以因為復數(shù)的實部與虛部和為即所以所以選D點睛：本題考查了復數(shù)的基本運算和概念，考查了計算能力，是基礎題．4、A【解題分析】

先根據(jù)定積分的幾何意義計算定積分，即求被積函數(shù)與，所圍成的圖形的面積，在求出，可得答案.【題目詳解】解：由定積分的幾何意義可知是由曲線與，所圍成的圖形的面積，也就是單位圓的，故，，故，故選：A.【題目點撥】本題主要考查定積分的有關計算，屬于基礎題，注意運算準確.5、B【解題分析】

先計算從中任取2個球的基本事件總數(shù)，然后計算這2個球中有白球包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這2個球中有白球的概率．【題目詳解】解：一個袋子中有4個紅球，2個白球，將4紅球編號為1，2，3，4；2個白球編號為5，1．從中任取2個球，基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“兩個球中有白球”這一事件，則A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9個，這2個球中有白球的概率是．故選B．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6、B【解題分析】當α⊥β時，平面α內的直線m不一定和平面β垂直，但當直線m垂直于平面β時，根據(jù)面面垂直的判定定理，知兩個平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．7、C【解題分析】

根據(jù)已知對求導，將代入導函數(shù)即可.【題目詳解】∵y′=(cosx)′=-sinx，∴當時，.故選C.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求切線斜率問題，已知切點求切線斜率問題，先求導再代入切點橫坐標即可，屬于基礎題.8、C【解題分析】

函數(shù)在時取得最大值,在或時得,結合二次函數(shù)圖象性質可得的取值范圍.【題目詳解】二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線.最大值為，且在時取得，而當或時，.結合函數(shù)圖象可知的取值范圍是．故選:C．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質,考查數(shù)形結合思想的應用,屬于中檔題.9、A【解題分析】

先由題意得到，根據(jù)向量的數(shù)量積求出，以O為原點建立平面直角坐標系，設A（，）得到點B坐標，再設C（x，y），根據(jù)點B的坐標，根據(jù)題中條件，即可求出結果.【題目詳解】依題意，得：，因為，所以，＝1，得：，以O為原點建立如下圖所示的平面直角坐標系，設A（，），則B（，）或B（，）設C（x，y），當B（，）時，則＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即點C在1為半徑的圓上，A（，）到圓心的距離為：＝｜｜的最大值為＋1當B（，）時，結論一樣．故選A【題目點撥】本題主要考查向量模的計算，熟記向量的幾何意義，以及向量模的計算公式，即可求解，屬于?？碱}型.10、C【解題分析】

根據(jù)題意，用間接法：先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再排除甲工廠無人去的情況，由分步計數(shù)原理可得其方案數(shù)目，由事件之間的關系，計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有4×4×4=64種情況，其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有3×3×3=27種方案；則符合條件的有64-27=37種，故選：C．【題目點撥】本題考查計數(shù)原理的運用，本題易錯的方法是：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有3×4×4=48種方案；顯然這種方法中有重復的計算；解題時特別要注意．11、D【解題分析】

把給出的等式通過復數(shù)的乘除運算化簡后,直接利用共軛復數(shù)的定義即可得解.【題目詳解】,,.故選:D.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算,考查共扼復數(shù),是基礎題.12、C【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解即可.詳解：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個收費口超過輛的概率，這三個收費口每天至少有一個超過輛的概率，故選C.點睛：本題主要考查正態(tài)分布的性質與實際應用，屬于中檔題.有關正態(tài)分布的應用題考查知識點較為清晰，只要掌握以下兩點，問題就能迎刃而解：（1）仔細閱讀，將實際問題與正態(tài)分布“掛起鉤來”；（2）熟練掌握正態(tài)分布的性質，特別是狀態(tài)曲線的對稱性以及各個區(qū)間概率之間的關系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意得，令m=(t?2e)lnt,(t>0)，則，當x>e時,m′>m′(e)=0，當0<x<e時,m′<m′(e)=0，∴m?m(e)=?e，∴，解得a<0或.∴實數(shù)a的取值范圍是(?∞,0)∪[,+∞).14、【解題分析】分析：過作，垂足為，則平面，則即為所求平面角，從而可得結果.詳解：依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，由平面，可得，所以平面，則即為所求平面角，因為，，所以，故答案為.點睛：本題考查長方體的性質，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統(tǒng)法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.15、【解題分析】

令，求導數(shù)，從而確定函數(shù)的單調性及極值，從而求出a的范圍．【題目詳解】由題意得，，

，令，則令，解得：或，

令，解得：，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

，

，且當時，，當時，

所以函數(shù)與的圖象有且只有三個交點，

則只需和圖象有且只有三個交點，

故

故答案為：【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，屬于難題．16、【解題分析】

利用二倍角公式得出，再利用正弦定理轉化，后用余弦定理求得，再利用正弦定理即可【題目詳解】由得，，，根據(jù)正弦定理可得，，根據(jù)余弦定理【題目點撥】本題考查解三角形中正弦定理進行邊角轉化，余弦定理求角，以及三角形中兩角和正弦與第三角正弦的關系三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

可以以為軸、為軸、為軸構建空間直角坐標系，寫出的空間坐標，通過證明得證平面通過求平面和平面的法向量得證二面角的余弦值．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，建立以為軸、為軸、為軸的空間直角坐標系，則，，，因為，所以．因為平面，且，所以平面．（2）設平面的法向量為，則因為，所以．令，則．所以是平面的一個法向量．因為平面，所以是平面的法向量．所以由此可知，與的夾角的余弦值為．根據(jù)圖形可知，二面角的余弦值為．【題目點撥】在計算空間幾何以及二面角的時候，可以借助空間直角坐標系．18、（1）或；（2）．【解題分析】

由已知及正弦定理可得，結合范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值可求A的值．

由利用同角三角函數(shù)基本關系式可得cosA，由余弦定理可求b的值，進而根據(jù)三角形面積公式即可計算得解．【題目詳解】（1）因為，所以，所以，即．因為所以，或．（2）因為，所以，所以，解得．所以．【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．19、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）易得，考查的圖象與直線的位置關系即可；（2）在上為增函數(shù)，即在上恒成立，參變分離求最值即可.【題目詳解】(1)∴當時，當時，∴在遞增，在遞減，又，∵有1個實根，∴或（2）當時，，∴又在上為增函數(shù)，∴，又∴，而即∴故的取值范圍是.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點與單調性問題，考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，考查不等式恒成立，考查轉化能力與計算能力．20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)題中的數(shù)據(jù)補充列聯(lián)表，計算出的值，根據(jù)臨界值表找出犯錯誤的概率，于此可對題中的問題下結論；（2）先確定年齡在和的人數(shù)，可得知的取值有、、、，然后利用超幾何分布列的概率公式計算概率，列出隨機變量的分布列，并計算出的數(shù)學期望。【題目詳解】（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，如下；年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計使用33235不適用7815合計104050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算K2的觀測值，所以有99%的把握認為“使用手機支付”與人的年齡有關；（2）由題意可知ξ所有可能取值有0，1，2，3；，，，.所以ξ的分布列是：0123pξ的數(shù)學期望是．【題目點撥】本題第（1）問考查獨立性檢驗，關鍵在于列出列聯(lián)表并計算出的觀測值，第（2）問考查離散型隨機分布列與數(shù)學期望，這類問題首先要弄清楚隨機變量所服從的分布列，并利用相關公式進行計算，屬于?？碱}型，考查計算能力，屬于中等題。21、（1）詳見解析（2）（3）不存在【解題分析】

（1）根據(jù)平行四邊形求得，再利用線面平行的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夾角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，證明得出平面與平面不可能垂直，得出不存在點G.【題目詳解】解：（1）因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為，所以平面．（2）在平面ABEF內，過A作，因為平面平面，，，所以，所以如圖建立空間直角坐標系．由題意得，，，，，．所以，．設平面的法向量為則即令，則，，所以平面的一個法向量為則．所以二面角的余弦值．（3）線段上不存在點，使得平面，理由如下：解法一：設平面的法向量為，則即令，則，，所以．因為，所以平面與平面不