2024屆福建省三明市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆福建省三明市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，若，則展開式中的系數(shù)為（）A．-250 B．250 C．-500 D．5002．一個(gè)正方形花圃，被分為5份A、B、C、D、E，種植紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花,則不同的種植方法有（）．A．24種 B．48種 C．84種 D．96種3．已知扇形的圓心角為弧度，半徑為，則扇形的面積是（）A． B． C． D．4．若點(diǎn)為圓C：的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為（）A． B． C． D．5．如圖，由函數(shù)的圖象，直線及x軸所圍成的陰影部分面積等于（）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)的極小值為，則下列判斷正確的是A． B．C． D．7．已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下，則（）024A．1 B．2 C．3 D．48．設(shè)，則使得的的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知向量、、滿足，且，則、夾角為（）A． B． C． D．10．下列集合中，表示空集的是（）A． B．C． D．11．給出下列四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（）①回歸直線y=bx+a②“x=6”是“x2③“?x0∈R，使得x02④“命題p∨q”為真命題，則“命題?p∧?q”也是真命題.A．0B．1C．2D．312．在同一坐標(biāo)系中，將曲線變?yōu)榍€的伸縮變換公式是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)，得訣自詡無(wú)所阻，額上紋起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，……則按照以上規(guī)律，若，具有“穿墻術(shù)”，則_____．14．已知復(fù)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.15．兩名狙擊手在一次射擊比賽中，狙擊手甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4，0.1，0.5；狙擊手乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1，0.6，0.3，那么兩名狙擊手獲勝希望大的是_________．16．函數(shù)的定義域?yàn)開______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于,兩點(diǎn)，求.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）的展開式中第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的系數(shù)相等，求和展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).20．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求證：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直線AB與平面A1BC所成角的正切值．21．（12分）己知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求的值．22．（10分）已知函數(shù)，其中.（1）若，，求的值；（2）若，化簡(jiǎn)：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

分別計(jì)算各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，代入等式得到，再計(jì)算的系數(shù).【題目詳解】的展開式取得到二項(xiàng)式系數(shù)之和為取值為-250故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，計(jì)算出的值是解題的關(guān)鍵.2、D【解題分析】

區(qū)域A、C、D兩兩相鄰，共有種不同的種植方法，討論區(qū)域E與區(qū)域A種植的花的顏色相同與不同，即可得到結(jié)果.【題目詳解】區(qū)域A、C、D兩兩相鄰，共有種不同的種植方法，當(dāng)區(qū)域E與區(qū)域A種植相同顏色的花時(shí)，種植B、E有種不同的種植方法，當(dāng)區(qū)域E與區(qū)域A種植不同顏色的花時(shí)，種植B、E有種不同的種植方法，∴不同的種植方法有種，故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，考查分類討論思想與分析、運(yùn)算及求解能力，屬于中檔題．3、D【解題分析】

利用扇形面積公式（為扇形的圓心角的弧度數(shù)，為扇形的半徑），可計(jì)算出扇形的面積.【題目詳解】由題意可知，扇形的面積為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形面積的計(jì)算，意在考查扇形公式的理解與應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

根據(jù)題意，先求出直線PC的斜率，根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率，由點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意知，圓心的坐標(biāo)為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線方程為，即.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求弦所在直線方程，熟記直線的點(diǎn)斜式方程即可，屬于?？碱}型.5、A【解題分析】

試題分析：因?yàn)椋?0時(shí)，x=1，所以，由函數(shù)的圖象，直線及x軸所圍成的陰影部分面積等于，故選A．考點(diǎn)：本題主要考查定積分的幾何意義及定積分的計(jì)算．點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，圖中陰影面積，是函數(shù)在區(qū)間[1,2]的定積分．6、D【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用求得極值點(diǎn)，再檢驗(yàn)是否為極小值點(diǎn)，從而求得極小值的范圍.【題目詳解】令，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的極小值點(diǎn)為，所以的極小值為，又．∵，∴，∴．選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值的關(guān)系，屬于中檔題.7、B【解題分析】

先計(jì)算，再根據(jù)公式計(jì)算得到【題目詳解】故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了方差的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、B【解題分析】分析：根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的解析式分析可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x≥1時(shí)，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)分析可得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，則原不等式變形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），結(jié)合單調(diào)性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范圍，即可得答案．詳解：根據(jù)題意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1與函數(shù)y=2（ex﹣1+e1﹣x）都關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則函數(shù)f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），又由x≥1，則有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，則有f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，f（x+1）＜f（2x﹣2）?f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）?f（|x|）＜f（|2x﹣3|）?|x|＞|2x﹣3|，變形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集為（1，3）；故選：B．點(diǎn)睛：處理抽象不等式問(wèn)題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題或解不等式(組)的問(wèn)題，若為偶函數(shù)，則，若函數(shù)是奇函數(shù)，則．9、C【解題分析】

對(duì)等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義得出，由此可求出、的夾角.【題目詳解】等式兩邊平方得，即，又，所以，，因此，、夾角為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量夾角的計(jì)算，同時(shí)也考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及平面向量數(shù)量積的定義，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、C【解題分析】

沒有元素的集合是空集，逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【題目詳解】A.不是空集，集合里有一個(gè)元素，數(shù)字0，故不正確；B.集合由滿足條件的上的點(diǎn)組成，不是空集，故不正確；C.，解得：或，都不是自然數(shù)，所以集合里沒有元素，是空集，故正確；D.滿足不等式的解為，所以集合表示，故不正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查空集的判斷，關(guān)鍵是理解空集的概念，意在考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.11、B【解題分析】歸直線y=bx+a②“x=6”是“x2③?x0∈R，使得x02④“命題p∨q”為真命題，則“命題?p∧?q”當(dāng)p,q都真時(shí)是假命題.不正確12、C【解題分析】

根據(jù)新舊兩個(gè)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求得伸縮變換的公式.【題目詳解】舊的，新的，故，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查曲線的伸縮變換公式，屬于基礎(chǔ)題，解題關(guān)鍵是區(qū)分清楚新舊兩個(gè)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9999【解題分析】分析：觀察所告訴的式子，找到其中的規(guī)律，問(wèn)題得以解決.詳解：，，，，按照以上規(guī)律，可得.故答案為9999.點(diǎn)睛：常見的歸納推理類型及相應(yīng)方法常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等．(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納．14、【解題分析】復(fù)數(shù)z1=2+3i,z2=t?i，∴=t+i，∴=(2+3i)(t+i)=(2t?3)+(3t+2)i，由是實(shí)數(shù),得3t+2=0,即.15、乙【解題分析】分析：由題意分別求解數(shù)學(xué)期望即可確定獲勝希望大的狙擊手.詳解：由題意，狙擊手甲得分的數(shù)學(xué)期望為，狙擊手乙得分的數(shù)學(xué)期望為，由于乙的數(shù)學(xué)期望大于甲的數(shù)學(xué)期望，故兩名狙擊手獲勝希望大的是乙.點(diǎn)睛：本題主要考查離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求解及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}【解題分析】分析：這里的cosx以它的值充當(dāng)角，要使sin（cosx）＞0轉(zhuǎn)化成2kπ＜cosx＜2kπ+π，注意cosx自身的范圍．詳解：由sin（cosx）＞0?2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．又∵﹣1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1；故所求定義域?yàn)閧x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}．故答案為：{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}.點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）的極坐標(biāo)方程為，直線極坐標(biāo)方程為；（2）.【解題分析】

（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可得解；（2）將代入中得，結(jié)合韋達(dá)定理即可得解.【題目詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得曲線的普通方程為，則的極坐標(biāo)方程為，由于直線過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角為，故其極坐標(biāo)方程為.（2）由得，設(shè),對(duì)應(yīng)的極徑分別為，則，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查三種方程的互化，考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，屬于?？碱}.18、（1），，，猜想，見解析；（2）【解題分析】

（1）分別計(jì)算，，，猜想得，然后依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消法，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，即，得當(dāng)時(shí)，，即，得猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，猜想成立假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，，則當(dāng)時(shí)，，∴，，所以猜想成立綜上所述，對(duì)于任意，均成立．（2）由（1）得所以則【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明方法以及裂項(xiàng)相消法求和，熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟，同時(shí)對(duì)常用的求和方法要熟悉，屬基礎(chǔ)題.19、,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為．【解題分析】

利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、排列與組合數(shù)的計(jì)算公式即可得出．【題目詳解】，，依題意有，，化為：，解得．所以的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理展開式及其性質(zhì)、排列與組合數(shù)的計(jì)算公式、方程的解法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)見解析(2)【解題分析】分析：（1）先證平面，得到，由四邊形為正方形得出，所以平面，進(jìn)而證得；（2）由平面可得是直線與平面所成的角，設(shè)，利用勾股定理求出，即可得出的值.詳解：證明（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴CC1⊥BC又∠ACB=90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BC⊥平面A1C1CA，又AC1?平面A1C1CA，∴AC1⊥BC．∵AA1=AC，∴四邊形A1C1CA為正方形，∴AC1⊥A1C，又AC1∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，又A1B?平面A1BC，∴AC1⊥A1B．（Ⅱ）設(shè)AC1∩A1C=O，連接BO．由（Ⅰ）得AC1⊥平面A1BC，∴∠ABO是直線AB與平面A1BC所成的角．設(shè)BC=a，則AA1=AC=2a，∴，