重難點5數列中奇偶項分段問題（4類題型3類考向）

2024XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI高考數學重難點新思維數學XINSIWEI2024XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI高考數學重難點新思維數學XINSIWEI重難點5數列中奇偶項、分段問題重難點5數列中奇偶項、分段問題統計近幾年高考試題，明確命題規(guī)律多角度切入，多方向解析，總結解題思維策略以高考真題為載體，科學備考不走彎路針對高考中的高頻難點，精心設計，助你沖擊數學巔峰重難點5數列中奇偶項、分段問題因為數列是一種特殊的函數，所以數列與分段函數的結合就成為一種必然，高考題中關于數列奇偶項、分段通項問題頻頻出現，特別是新高考地區(qū)，更是成為一個熱點問題，并受到各地模擬試題的追捧，下面是對其在高考題中的統計。年份試卷類型考題考察內容題型2023新課標Ⅱ卷18求通項、求和解答題2021新高考Ⅰ卷17求和解答題全國乙卷理科19求通項解答題2020新課標Ⅰ卷16求數列的項填空題天津卷19求和解答題2015天津卷18求和解答題2014新課標Ⅰ卷17求和解答題山東卷19求和解答題數列中的此類問題主要有四種形式：一是遞推式是分段函數的形式；二是遞推式中含有的形式；三是遞推式是“跳躍式”，即型；四是遞推（通項）式含有三角函數?？疾榉较蛑饕星蠛?、求項和最值問題三種，解決此類問題的關鍵在于分類討論，根據的不同取值確定通項公式的形式，然后再確定解題的方向搞。題型一：數列的遞推式為分段型例1(2023年新課標全國Ⅱ卷·第18題)已知為等差數列，，記，分別為數列，前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．切入點1（1）設等差數列的公差為d，根據，將用表示，再結合，，列方程組求出，進而求出通項公式；切入點1（2）寫出，然后根據n的奇偶性討論求出，再分別作差比較大小.【解答】(1)設等差數列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數列的通項公式是．(2)方法1：由(1)知，，，當為偶數時，，，當時，，因此，當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，．方法2：由(1)知，，，當為偶數時，，當時，，因此，當為奇數時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，．例2．（2021·新高考1卷T17）已知數列滿足，（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；（2）求的前20項和.切入點1(1)由題意結合遞推關系式確定數列的特征，然后求和其通項公式即可；切入點1(2)因為n為奇偶數時的遞推關系不同，故可分別求出奇偶項的通項公式，分組求和，結合等差數列前項和公式即可求得數列的前20項和.【詳解】方法一：（1）顯然為偶數，則，所以，即，且，所以是以2為首項，3為公差的等差數列，于是．（2）由題意知數列滿足，所以．所以數列的奇數項是以1為首項，3為公差的等差數列；同理，由知數列的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列．從而數列的前20項和為：．切入點2對n根據奇偶性分類討論，切入點2方法二：（1）由題意知，所以．由（為奇數）及（為偶數）可知，數列從第一項起，若為奇數，則其后一項減去該項的差為1，若為偶數，則其后一項減去該項的差為2．所以，則．（2）．切入點3根據通項公式的特點可變形為，故可用累加法求通項公式。切入點3解法三：（1）由題意知數列滿足．所以，，則．所以，數列的通項公式．（2）同上（略）(1)方法一：由題意討論的性質為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關系式確定數列的性質；方法三：寫出數列的通項公式，然后累加求數列的通項公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數列求和的一種方法，結合等差數列前項和公式和分組的方法進行求和是一種。例3．（廣東省惠州市惠東縣2024屆高三上學期第二次教學質量檢測數學試題）已知是等比數列，滿足，且成等差數列，數列滿足.(1)求和的通項公式；(2)設，求數列的前n項和.切入點（1）利用等比數列定義以及等差數列性質可求得數列的公比，再由數列滿足的等式可得，即可求出和的通項公式.切入點（2）寫出數列的表達式，利用分組求和法，再按奇偶分別求和即得.【詳解】（1）設等比數列的公比為，依題意，，又，則，即，而，解得，因此；數列中，當時，，由，得當時，，兩式相減得，即，顯然滿足上式，因此，所以數列和的通項公式分別為.（2）由（1）知，，，因此當為偶數時，，當為奇數時，，所以數列的前n項和.本題在求和過程中用到了分組求和，我們往往是先求出為偶數時的，當為偶數時利用求解，注意此時為偶數?！緦c練1】（2024年重慶第一中學月考試題）已知數列滿足，(1)記，求證：為等比數列；(2)若，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由可知結合可得進而可證為等比數列；（2）由（1）結論可先求出的通項公式，進而求出的通項公式，再根據求出的通項公式，則可求.【詳解】（1）證明：且，又，為以4為首項，2為公比的等比數列.（2）由（1）知：，，又，，所以.【對點練2】（2024年廣東省廣州實驗中學?？迹┮阎獢盗袧M足，且的前100項和(1)求的首項；(2)記，數列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分為奇數和為偶數兩種情況進而討論即可求解；（2）結合（1）的結論，利用裂項相消法即可求解.【詳解】（1）當為奇數時，；則偶數項構成以為公差的等差數列，所以當為偶數時，；當為偶數時，，則奇數項構成以1為公差的等差數列，所以當為奇數時，，則，又，所以，解得，.（2）由（1）得，，，，當時，，∴，綜上，知.【對點練3】（湖南省邵陽市雙清區(qū)昭陵實驗學校等多校聯考2024屆高三上學期11月月考數學試題）已知數列的前n項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由已知可得，則，上述等式累加可得，所以，，故當時，，也滿足，故對任意的，.（2）解：因為，故數列為等差數列，則，所以，，對任意的，則，當為偶數時，設，則，則；當為奇數時，設，則，則，綜上所述，.題型二遞推（通項）公式中含有型例4．(2020·高考數學課標Ⅰ卷)數列滿足，前16項和為540，則______________．【答案】切入點對為奇偶數分類討論，分別得出奇數項、偶數項的遞推關系，由奇數項遞推公式將奇數項用表示，由偶數項遞推公式得出偶數項的和，建立方程，求解即可得出結論.切入點【詳解】，當為奇數時，；當為偶數時，.設數列的前項和為，，.故答案為：.當遞推公式中含有時，我們可以對n分奇偶討論，將遞推關系或通項公式轉換為分段的形式，再選擇恰當的數學方法進行求解。例5．(2014高考數學山東理科·第19題)已知等差數列的公差為2，前項和為，且成等比數列．(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ)令，求數列的前項和．切入點（1）根據成等比數列列方程求出，進而求出通項公式；（2）寫出，然后裂項化為，然后發(fā)現可以前后項相消，因為不能確定最后一項的符號，故對n的奇偶性進行討論。切入點【解答】(1)因為，，，由題意得，解得，所以．(2)．當為偶數時，．當為奇數時，．所以(或)【對點練1】（2024·全國專題訓練）已知數列和滿足，，.(1)求與；(2)設的前n項和為，若不等式，對一切都成立，求實數的最小值.【分析】(1)根據給定條件利用累加法，結合等比數列前n項和公式計算得，再根據求得，兩式做差求出；(2)根據錯位相減法求出，再對n分奇偶討論計算作答.【詳解】(1)依題意，當時，，則，而滿足上式，故有；，，當時，，兩式相減得：，則，而，滿足上式，即有，所以，.(2)由(1)知，，兩邊同乘2得：，兩式相減得：，，由得：，依題意，對一切，都成立，當n為正奇數時，，而數列是遞增數列，當時，，則，當n為正偶數時，，解得，因此，，所以實數的最小值.【對點練2】（2024·山東部分重點中學聯考）已知數列的前項和為，數列滿足，(1)求數列與的通項公式；(2)若，對恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先由與的關系求得數列的通項公式，再以累加法求得數列的通項公式；（2）以裂項相消法對求和，并求得其最小值即可解決.【詳解】(1)數列中，，由，得，時，，則則，故數列是首項為1，公比為2的等比數列.則由，得，故.(2)由，可得，則，當為偶數時，；當為奇數時.故實數的取值范圍為.題型三遞推式為隔項的關系例6．（2024年全國高考名校名師聯席命制型數學信息卷（七））設數列的前n項和為，且．若對恒成立，則的取值范圍為．【答案】切入點由與的關系，可求得，進而求出與的值，當時，可得兩個等差數列的通項公式，由相鄰兩項間的大小關系，即可求得的取值范圍.切入點【詳解】法一：因為，當時，，兩式相減得，則，兩式相減得．當時，，則；當時，，則．則．要使對恒成立，則即解得，所以的取值范圍為.法二：，當時，，兩式相減得，則，兩式相減得，所以數列都是以2為公差的遞增數列，要使對恒成立，只需而，則解得,所以的取值范圍為.故答案為：當遞推式為型時，往往再構造的關系，兩式作差（商）轉化為的關系，進而求出奇數項、偶數項的遞推關系?！緦c練】已知數列滿足：，當時，，（1）求，數列的通項公式；（2）記，求證．【解答】（1）解：當時，，，當時，，，，．當時，，當時上式也成立，．．綜上可得：；（2）證明：，當為偶數時，，當為奇數時，，，．．題型四含三角函數型例7．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學?？茧A段練習）已知數列的前項和為，滿足.(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前100項的和.切入點（1）根據與之間的關系，結合等比數列的定義進行求解即可；切入點根據（1）求得，注意到的最小正周期是4，故按分類討論，進而求得答案。【解答】（1）當時，，整理得，又，得則數列是以2為首項，2為公比的等比數列.則（2）當時，當時，，當時，，當時，，則當數列的通項公式含有三角函數時，我們可以先判斷三角函數部分的最小正周期，然后以此為依據對n的不同取值分類討論?！緦c練1】（2023上·湖北·高三校聯考階段練習）已知數列滿足，.(1)求的通項公式；(2)若，記數列的前99項和為，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，，累加得，所以.（2）因為，所以.當時，；當時，；當時，.所以數列是以3為周期的數列.故.1．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的通項公式為，前項和為，若實數滿足對任意正整數恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據裂項相消法，結合數列的單調性進行求解即可.【詳解】，前項和為，可得為遞增數列，且有取得最小值；且，當為偶數時，對任意正整數恒成立，即為對任意正整數恒成立，由，可得①當為奇數時，對任意正整數恒成立，即為對任意正整數恒成立，由，可得，即②由①②解得．故選：A2．（多選）（2022·江蘇·蘇州中學高三開學考試）在數列中，，前n項的和為Sn，則（

）A．的最大值為1 B．數列是等差數列C．數列是等差數列 D．【答案】ABD【詳解】對于A：當n=2時，有，若時，由基本不等式可得：（時取等號），所以；若中有一個為0或負值時，；若時，不可能成立；故的最大值為1.故A正確；對于B：數列中，，當n為奇數時，有，所以數列是等差數列，故B正確；對于C：當n為偶數時，有，只有時，數列是等差數列，否則數列不是等差數列，故C不正確；對于D：.故D正確.故選：ABD3．（多選）（2024甘肅省臨洮中學上學期第三次質量檢測）已知數列的前n項和為，，.則下列選項正確的為（

）A．B．數列是以2為公比的等比數列C．對任意的，D．的最小正整數n的值為15【答案】BD【分析】根據題設的遞推關系可得，從而可得，由此可得的通項和的通項，從而可逐項判斷正誤.【詳解】由題設可得，因為，，故，所以，所以，所以，因為，故，所以，所以為等比數列，所以即，故，故A錯，C錯.又，故，所以，即是以2為公比的等比數列，故B正確.，，故的最小正整數n的值為15，故D正確.故選：BD.4．（上海市復旦大學附屬中學20232024學年高二上學期階段性學業(yè)水平檢測2（暨拓展考試6）數學試題）數列滿足，則數列的第2023項為.【答案】/【分析】根據遞推關系可通過計算前面，發(fā)現數列是周期為4的周期數列，進而由周期性即可求解.【詳解】由已知可得，所以數列為周期數列，且，所以，故答案為：5.已知數列滿足，，，則數列的前20項和為.【答案】330【分析】分別討論為奇數時，數列的通項公式與為偶數時，數列的通項公式，再利用分組求和法代入求和即可.【詳解】由題意，當為奇數時，，所以數列是公差為，首項為的等差數列，所以，當為偶數時，，所以數列是公差為，首項為的等差數列，所以，=3306．已知是等差數列，，，設，數列的前n項的和為，則．【答案】3033【分析】先求得，進而得到，再利用并項法求解.【詳解】解：因為是等差數列，且，，所以，解得，所以，則，所以，，，，.故答案為：30337．（2024·湖南·長沙一中高三階段練習）已知數列滿足，其前n項和為，且，則的最大值為________．【答案】##【詳解】當，由已知條件可得，所以，則，所以，，∴，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，此時取得最大值．故答案為：8．（北京市第一七一中學20232024學年高二上學期12月月考數學試題）已知數列的各項均為正整數，其前項和為.若且，則；.【答案】【分析】根據為奇數，且當是奇數時，是偶數，可得、、中必有兩個偶數，一個奇數，然后分類討論可得，最后求出數列的周期性，分類討論求和即可.【詳解】為奇數，且當是奇數時，是偶數，、、中必有兩個偶數，一個奇數，若為奇數，、是偶數，解得，，，，，，，為從第四項起，數列是以為周期的數列，且一個周期內的和為7，若為偶數，為偶數，則為奇數，且解得矛盾（舍去），若為偶數，為奇數，則為偶數，且解得矛盾（舍去），則時，；當時，，則，故答案為：；.9．（河南省TOP二十名校2024屆高三上學期調研考試九數學試卷）已知為數列的前項和，，則；令，數列的前項和為，若存在，使得，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】（1）由與的關系求出，注意驗證；（2）由求出，再分n為奇數和偶數用裂項相消分別求出，根據存在，使得，求出m即可.【詳解】由得，當時，，所以；當時，，所以，又，所以，又，所以.所以當時，，當時，，當為偶數時，，顯然，（為偶數）單調遞減，所以；當為奇數時，若，則，若，則，顯然（為奇數）單調遞增，所以.綜上所述.故答案為：；10．（2024屆高三上學期一輪復習聯考（四）數學試題）已知數列的前項和為，，等比數列的公比為，．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前10項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）當時求出，可得通項與，由求數列的通項公式；（2）利用分組求和法求數列的前10項和.【詳解】（1）當時，，，，等比數列的公比為，則有，由，可得．當時，．經檢驗，當時，滿足上式，所以．（2），設的前10項和為，．11．（黑龍江省哈爾濱市第三中學2024屆高三上學期期末數學試題）已知是公差不為零的等差數列，，且成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)若，求的前1012項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列的通項公式和等比中項即可得解；（2）由裂項相消法可求出前1012項和.【詳解】（1）設等差數列的公差為，又，則，，因為成等比數列，所以，即，得，又因為是公差不為零的等差數列，所以，即.（2）由（1）知，.12．（陜西省名校協作體2024屆高三上學期一輪復習聯考（四）數學（文）試題）設數列的前項和為，滿足，且對任意正整數m，均有．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前20項和．【答案】(1)(2)315【分析】（1）利用從特殊到一般，結合與的關系式即可得解；（2）利用分組求和法，結合等差數列的前項和公式即可得解.【詳解】（1）因為，，令得，，因此，故．經檢驗，滿足上式，故此時；當m為不等于1的正整數時，檢驗，得，則，，即，所以滿足題設；綜上，．（2）由題意得，.13．（全國20232024學年高二上學期期末考試考前沖刺模擬數學試題（02））已知數列滿足，，(1)求；(2)當為奇數時，求數列的前項和【答案】(1)(2)【分析】（1）根據條件，得出數列為等差數列，即可求出結果；（2）根據條件得出，由（1）知，再利用分組求和即可求出結果.【詳解】（1）因為，所以數列構成首項為，公差為的等差數列，所以.（2）由，所以數列構成首項為，公差為的等差數列，得到，設，則，又，所以為奇數時，14．（廣西2024屆高三高考桂柳鴻圖數學模擬金卷試題（四））已知為等差數列的前項和，，.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設的公差為，根據已知條件列出方程得出公差，即可得出答案；（2）根據已知可得出的奇數項為等差數列，直接求和即可得出奇數項的和；根據錯位相減法，求出偶數項的和，分組求和，相加即可得出答案.【詳解】（1）設的公差為.∵，，∴，解得，∴.（2）由已知可得，當為奇數時，；當為偶數時，.∴設，①則，②①②，得∴.故.15．（江蘇省無錫市四校20232024學年高三上學期12月學情調研數學試卷）已知數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由關系消得遞推關系，再構造等差數列求通項；（2）由等差與等比數列特點分組求和.【詳解】（1）由①當時，，所以

當時，②①②式相減得，即

兩邊同除以得，，又，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，，則（2），可知數列是以為首項，為公差的等差數列，可知數列是以為首項，為公比的等比數列，16．（2024·吉林·統考二模）已知數列,(1)求.(2)求的通項公式；(3)設的前項和為,若,求.【答案】(1)(2)(3)4048【分析】(1)將分別代入關系式運算即可.(2)考查等比數列的構造,通過構造等比數列，結合等比數列的通項公式求解即可.(3)考查數列的周期性，通過對的周期性取值討論求解即可.【詳解】（1）當時,得；當時,得（2）設整理得又解得又是以為首項,為公