專題函數(shù)的周期性和對(duì)稱性問題（原卷版）

考點(diǎn)一：函數(shù)的周期性問題1．周期函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得恒成立，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期．2．函數(shù)周期性的常用結(jié)論：函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)（其中為常數(shù)）：條件周期關(guān)于直線和對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱考點(diǎn)二：函數(shù)的對(duì)稱性問題1．函數(shù)對(duì)稱性的常用結(jié)論：①若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；②若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱；③若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．2．周期性與對(duì)稱性的關(guān)系：（口訣：“內(nèi)同表周期性，內(nèi)反表對(duì)稱性”）①若則具有周期性；②若則具有對(duì)稱性．題型一：函數(shù)周期性的應(yīng)用【典例11】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時(shí)，，則f(919)＝.【變式1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則A． B． C． D．【典例12】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1題型二：函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用【典例21】偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則．【變式1】設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（

）A． B． C． D．【典例22】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1】函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.【變式2】已知函數(shù)f（x）（x∈）滿足f（x）=f（2?x），若函數(shù)y=|x2?2x?3|與y=f（x）圖像的交點(diǎn)為（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），則A．0 B．m C．2m D．4m【變式3】已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為則A．0 B． C． D．【變式4】已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（

）A． B． C． D．題型三：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例31】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則A． B． C． D．【典例32】奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，且，則A． B． C． D．【變式1】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【變式2】函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．是奇函數(shù)【變式3】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．【變式4】已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)是周期函數(shù)；B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；C．函數(shù)為上的偶函數(shù)；D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)．【典例33】已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則【典例34】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的