第三節(jié)-管內(nèi)流體流動(dòng)的基本方程式

第一章

流體流動(dòng)一、流量與流速二、定態(tài)流動(dòng)與非定態(tài)流動(dòng)三、連續(xù)性方程式四、柏努利方程式五、柏努利方程式的應(yīng)用第三節(jié)

管內(nèi)流體流動(dòng)的基本方程式2024/2/5

一、流量與流速

1、流量

流體在單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)管道截面的流體量，稱為流量。

若流量用體積來計(jì)量，稱為體積流量VS；單位為：m3/s。

若流量用質(zhì)量來計(jì)量，稱為質(zhì)量流量WS；單位：kg/s。

體積流量和質(zhì)量流量的關(guān)系是：

2、流速

單位時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)在通道內(nèi)沿流體流動(dòng)方向上所流經(jīng)的距離，稱為流速u。在管壁上u=0。2024/2/5單位為：m/s。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

平均流速(averagevelocity)：流量與流速的關(guān)系為：

質(zhì)量流速：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體流過管道單位面積的質(zhì)量流量用G表示，單位為kg/(m2.s)。

數(shù)學(xué)表達(dá)式為：2024/2/5對(duì)于圓形管道，——管道直徑的計(jì)算式生產(chǎn)實(shí)際中，管道直徑應(yīng)如何確定？說明：氣體的體積與T、P有關(guān)，當(dāng)T、P發(fā)生變化時(shí)，V及u=V/A也發(fā)生變化，但Ws=ρV不變，原因是質(zhì)量不隨T、P變化，或說V↑，ρ↓，二者之積不變。Ws不變，則G=Ws/A也不變?！鄽怏w采用W方便2024/2/5二、定態(tài)流動(dòng)與非定態(tài)流動(dòng)流動(dòng)系統(tǒng)定態(tài)流動(dòng)(steadyflow)流體在系統(tǒng)中流動(dòng)時(shí)，任一點(diǎn)上的流速、壓強(qiáng)、密度、溫度、粘度等物理參數(shù)僅隨位置而變，不隨時(shí)間而改變非定態(tài)流動(dòng)任一點(diǎn)上的物理參數(shù)，部分或全部隨時(shí)間而變。例2024/2/52024/2/52024/2/52024/2/5三、連續(xù)性方程在穩(wěn)定流動(dòng)系統(tǒng)中，對(duì)直徑不同的管段做物料衡算衡算范圍：取管內(nèi)壁截面1-1’與截面2-2’間的管段。衡算基準(zhǔn)：1s對(duì)于連續(xù)穩(wěn)定系統(tǒng)：

2024/2/5如果把這一關(guān)系推廣到管路系統(tǒng)的任一截面，有：若流體為不可壓縮流體

——一維穩(wěn)定流動(dòng)的連續(xù)性方程

2024/2/5對(duì)于圓形管道，表明：在穩(wěn)流系統(tǒng)中，不可壓縮流體在管道中的流速與管道截面直徑的平方成反比。2024/2/52、柏努利方程式的討論1）柏努利方程式表明理想流體在管內(nèi)做穩(wěn)定流動(dòng)，沒有外功加入時(shí)，任意截面上單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能即動(dòng)能、位能、靜壓能之和為一常數(shù)，用E表示。即：1kg理想流體在各截面上的總機(jī)械能相等，但各種形式的機(jī)械能卻不一定相等，可以相互轉(zhuǎn)換。2）對(duì)于實(shí)際流體，在管路內(nèi)流動(dòng)時(shí)，應(yīng)滿足：上游截面處的總機(jī)械能大于下游截面處的總機(jī)械能。

2024/2/53）式中各項(xiàng)的物理意義處于兩個(gè)截面上的流體本身所具有的能量差流體流動(dòng)過程中所獲得或消耗的能量We和Σhf：We：輸送設(shè)備對(duì)單位質(zhì)量流體所做的功，

Ne：?jiǎn)挝粫r(shí)間輸送設(shè)備對(duì)流體所做的功，即功率4）當(dāng)體系無外功，且處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)流體的靜力平衡是流體流動(dòng)狀態(tài)的一個(gè)特例2024/2/55）柏努利方程的不同形式

a)若以單位重量的流體為衡算基準(zhǔn)[m]∑位壓頭，動(dòng)壓頭，靜壓頭、壓頭損失

He：輸送設(shè)備對(duì)流體所提供的有效壓頭∑2024/2/5b)若以單位體積流體為衡算基準(zhǔn)靜壓強(qiáng)項(xiàng)P可以用絕對(duì)壓強(qiáng)值代入，也可以用表壓強(qiáng)值代入[pa]6）對(duì)于可壓縮流體的流動(dòng)，當(dāng)所取系統(tǒng)兩截面之間的絕對(duì)壓強(qiáng)變化小于原來壓強(qiáng)的20%，仍可使用柏努利方程。式中流體密度應(yīng)以兩截面之間流體的平均密度ρm代替。2024/2/5六、柏努利方程式的應(yīng)用

1、應(yīng)用柏努利方程的注意事項(xiàng)

1）作圖并確定衡算范圍根據(jù)題意畫出流動(dòng)系統(tǒng)的示意圖，并指明流體的流動(dòng)方向，定出上下截面，以明確流動(dòng)系統(tǒng)的衡算范圍。2）截面的截取兩截面都應(yīng)與流動(dòng)方向垂直，并且兩截面的流體必須是連續(xù)的，所求的未知量應(yīng)在兩截面或兩截面之間，截面的有關(guān)物理量Z、u、p等除了所求的物理量之外，都必須是已知的或者可以通過其它關(guān)系式計(jì)算出來。2024/2/53）基準(zhǔn)水平面的選取基準(zhǔn)水平面的位置可以任意選取，但必須與地面平行，為了計(jì)算方便，通常取兩個(gè)截面中的任意一個(gè)截面。如衡算范圍為水平管道，則基準(zhǔn)水平面通過管道中心線，ΔZ=0。4）單位必須一致在應(yīng)用柏努利方程之前，應(yīng)把有關(guān)的物理量換算成一致的單位，然后進(jìn)行計(jì)算。兩截面的壓強(qiáng)除要求單位一致外，還要求表示方法一致。2024/2/52、柏努利方程的應(yīng)用1）確定流體的流量

例：20℃的空氣在直徑為80mm的水平管流過，現(xiàn)于管路中接一文丘里管，如本題附圖所示，文丘里管的上游接一水銀U管壓差計(jì)，在直徑為20mm的喉徑處接一細(xì)管，其下部插入水槽中?？諝饬魅胛那鹄锕艿哪芰繐p失可忽略不計(jì)，當(dāng)U管壓差計(jì)讀數(shù)R=25mm，h=0.5m時(shí)，試求此時(shí)空氣的流量為多少m3/h?

當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為101.33×103Pa。2024/2/5分析：求流量Vh已知d求u直管任取一截面柏努利方程氣體判斷能否應(yīng)用？2024/2/5解：取測(cè)壓處及喉頸分別為截面1-1’和截面2-2’截面1-1’處壓強(qiáng)：截面2-2’處壓強(qiáng)為：流經(jīng)截面1-1’與2-2’的壓強(qiáng)變化為：2024/2/5在截面1-1’和2-2’之間列柏努利方程式。以管道中心線作基準(zhǔn)水平面。由于兩截面無外功加入，We=0。

能量損失可忽略不計(jì)Σhf=0。

柏努利方程式可寫為：

式中：Z1=Z2=0

P1=3335Pa（表壓），P2=-4905Pa（表壓）2024/2/5化簡(jiǎn)得：由連續(xù)性方程有：2024/2/5聯(lián)立(a)、(b)兩式2024/2/52）確定容器間的相對(duì)位置例：如本題附圖所示，密度為850kg/m3的料液從高位槽送入塔中，高位槽中的液面維持恒定，塔內(nèi)表壓強(qiáng)為9.81×103Pa，進(jìn)料量為5m3/h，連接管直徑為φ38×2.5mm，料液在連接管內(nèi)流動(dòng)時(shí)的能量損失為30J/kg(不包括出口的能量損失)，試求高位槽內(nèi)液面應(yīng)比塔內(nèi)的進(jìn)料口高出多少？2024/2/5分析：解：

取高位槽液面為截面1-1’，連接管出口內(nèi)側(cè)為截面2-2’,并以截面2-2’的中心線為基準(zhǔn)水平面，在兩截面間列柏努利方程式：高位槽、管道出口兩截面u、p已知求△Z柏努利方程2024/2/5式中：Z2=0；Z1=?

P1=0(表壓)；P2=9.81×103Pa(表壓）由連續(xù)性方程∵A1>>A2,We=0，∴u1<<u2,可忽略，u1≈0。將上列數(shù)值代入柏努利方程式，并整理得：2024/2/53）確定輸送設(shè)備的有效功率

例：如圖所示，用泵將河水打入洗滌塔中，噴淋下來后流入下水道，已知道管道內(nèi)徑均為0.1m，流量為84.82m3/h，水在塔前管路中流動(dòng)的總摩擦損失(從管子口至噴頭的阻力忽略不計(jì))為10J/kg，噴頭處的壓強(qiáng)較塔內(nèi)壓強(qiáng)高0.02MPa，水從塔中流到下水道的阻力損失可忽略不計(jì)，泵的效率為65%，求泵所需的功率。2024/2/52024/2/5分析：求NeNe=WeWs/η求We柏努利方程P2=?塔內(nèi)壓強(qiáng)整體流動(dòng)非連續(xù)截面的選??？

解：取塔內(nèi)水面為截面3-3’，下水道截面為截面4-4’，取地平面為基準(zhǔn)水平面，在3-3’和4-4’間列柏努利方程：2024/2/5將已知數(shù)據(jù)代入柏努利方程式得：計(jì)算塔前管路，取河水表面為1-1’截面，噴頭內(nèi)側(cè)為2-2’截面，在1-1’和2-2’截面間列柏努利方程。2024/2/5式中：2024/2/5將已知數(shù)據(jù)代入柏努利方程式泵的功率：2024/2/54)管道內(nèi)流體的內(nèi)壓強(qiáng)及壓強(qiáng)計(jì)的指示例1：如圖，一管路由兩部分組成，一部分管內(nèi)徑為40mm，另一部分管內(nèi)徑為80mm，流體為水。在管路中的流量為13.57m3/h，兩部分管上均有一測(cè)壓點(diǎn)，測(cè)壓管之間連一個(gè)倒U型管壓差計(jì)，其間充以一定量的空氣。若兩測(cè)壓點(diǎn)所在截面間的摩擦損失為260mm水柱。求倒U型管壓差計(jì)中水柱的高度R為多少mm?2024/2/5分析：求R1、2兩點(diǎn)間的壓強(qiáng)差柏努利方程式解：取兩測(cè)壓點(diǎn)處分別為截面1-1’和截面2-2’，管道中心線為基準(zhǔn)水平面。在截面1-1’和截面2-2’間列單位重量流體的柏努利方程。式中：z1=0，z2=0u已知2024/2/5代入柏努利方程式：2024/2/5因倒U型管中為空氣，若不計(jì)空氣質(zhì)量，P3=P4=P2024/2/5

例2：水在本題附圖所示的虹吸管內(nèi)作定態(tài)流動(dòng)，管路直徑?jīng)]有變化，水流經(jīng)管路的能量損失可以忽略不計(jì)，計(jì)算管內(nèi)截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’處的壓強(qiáng)，大氣壓強(qiáng)為760mmHg，圖中所標(biāo)注的尺寸均以mm計(jì)。分析：求P求u柏努利方程某截面的總機(jī)械能求各截面P理想流體2024/2/5

解：在水槽水面1－1’及管出口內(nèi)側(cè)截面6－6’間列柏努利方程式，并以6－6’截面為基準(zhǔn)水平面式中：P1=P6=0（表壓）u1≈0代入柏努利方程式2024/2/5u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基準(zhǔn)水平面,z1=3m，P1=760mmHg=101330Pa對(duì)于各截面壓強(qiáng)的計(jì)算，仍以2-2’為基準(zhǔn)水平面，Z2=0，Z3=3m，Z4=3.5m，Z5=3m2024/2/5（1）截面2-2’壓強(qiáng)（2）截面3-3’壓強(qiáng)2024/2/5（3）截面4-4’壓強(qiáng)（4）截面5-5’壓強(qiáng)從計(jì)算結(jié)果可見：P2>P3>P4，而P4<P5<P6，這是由于流體在管內(nèi)流動(dòng)時(shí)，位能和靜壓能相互轉(zhuǎn)換的結(jié)果。2024/2/55）流向的判斷在φ45×3mm的管路上裝一文丘里管，文丘里管上游接一壓強(qiáng)表，其讀數(shù)為137.5kPa，管內(nèi)水的流速u1=1.3m/s，文丘里管的喉徑為10mm，文丘里管喉部一內(nèi)徑為15mm的玻璃管，玻璃管下端插入水池中，池內(nèi)水面到管中心線的垂直距離為3m，若將水視為理想流體，試判斷池中水能否被吸入管中？若能吸入，再求每小時(shí)吸入的水量為多少m3/h？2024/2/5分析：判斷流向比較總勢(shì)能求P？柏努利方程

解：在管路上選1-1’和2-2’截面，并取3-3’截面為基準(zhǔn)水平面在1-1’截面和2-2’截面間列柏努利方程：2024/2/5式中：2024/2/5∴2-2’截面的總勢(shì)能為3-3’截面的總勢(shì)能為∴3-3’截面的總勢(shì)能大于2-2’截面的總勢(shì)能，水能被吸入管路中。

求每小時(shí)從池中吸入的水量求管中流速u柏努利方程在池面與玻璃管出口內(nèi)側(cè)間列柏努利方程式：2024/2/5式中：代入柏努利方程中：2024/2/5

6）不穩(wěn)定流動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算

例：附圖所示的開口貯槽內(nèi)液面與排液管出口間的垂直距離hi為9m,貯槽內(nèi)徑D為3m，排液管的內(nèi)徑d0為0.04m，液體流過該系統(tǒng)時(shí)的能量損失可按公式計(jì)算，式中u為流體在管內(nèi)的流速，試求經(jīng)4小時(shí)后貯槽內(nèi)液面下降的高度。

分析：不穩(wěn)定