2024屆北京市北京第四中學數(shù)學高二第二學期期末檢測試題含解析

2024屆北京市北京第四中學數(shù)學高二第二學期期末檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則（）A． B． C． D．2．是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點，若，則的離心率是（）A． B． C． D．3．已知向量滿足，點在線段上，且的最小值為，則的最小值為（）A． B． C． D．24．若函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則的值（）A． B．C． D．5．已知離散型隨機變量X的分布列如圖，則常數(shù)c為（）X01PA． B． C．或 D．6．已知雙曲線E：上的四點A，B，C，D滿足，若直線AD的斜率與直線AB的斜率之積為2，則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．7．某大學中文系共有本科生5000人，期中一、二、三、四年級的學生比為5:4:3:1，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本，則應抽二年級的學生A．100人 B．60人 C．80人 D．20人8．設(shè)則=（）A． B． C． D．9．已知A={|}，B={|}，則A∪B=A．{|或} B．{|} C．{|} D．{|}10．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．11．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時間段車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)如下表：時間周一周二周三周四周五車流量（萬輛）100102108114116濃度（微克）7880848890根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出與的線性回歸方程是（）參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：，；A． B． C． D．12．設(shè)全集U＝R，集合，，則集合()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．連續(xù)3次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，在至少有一次出現(xiàn)正面向上的條件下，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為．14．觀察等式：，，.照此規(guī)律，對于一般的角，有等式.15．已知a=log0.35,?b=2316．在一個如圖所示的6個區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一塊區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊區(qū)域中種不同的植物.現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則不同的栽種方案的總數(shù)為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》將“具有良好的心理素質(zhì)”列入新課程的培養(yǎng)目標．為加強心理健康教育工作的開展，不斷提高學生的心理素質(zhì)，九江市某校高二年級開設(shè)了《心理健康》選修課，學分為2分．學校根據(jù)學生平時上課表現(xiàn)給出“合格”與“不合格”兩種評價，獲得“合格”評價的學生給予41分的平時分，獲得“不合格”評價的學生給予31分的平時分，另外還將進行一次測驗．學生將以“平時分×41%+測驗分×81%”作為“最終得分”，“最終得分”不少于51分者獲得學分．該校高二(1)班選修《心理健康》課的學生的平時分及測驗分結(jié)果如下：測驗分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平時分41分人數(shù)1113442平時分31分人數(shù)1111111（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表，并分析是否有94%的把握認為這些學生“測驗分是否達到51分”與“平時分”有關(guān)聯(lián)？選修人數(shù)測驗分達到51分測驗分未達到51分合計平時分41分平時分31分合計（2）用樣本估計總體，若從所有選修《心理健康》課的學生中隨機抽取4人，設(shè)獲得學分人數(shù)為，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82818．（12分）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，已知點為線段上靠近點的三等分點．求點的坐標：若點在軸上，且直線與直線垂直，求點的坐標．19．（12分）已知數(shù)列滿足，.（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知函數(shù)在處取得極大值為9.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.21．（12分）已知曲線C的參數(shù)方程為（a參數(shù)），以直角坐標系的原點為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系.（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；（Ⅱ）若直線l極坐標方程為，求曲線C上的點到直線l最大距離.22．（10分）已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx（2）當n∈N*時，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)二項分布求對應概率【題目詳解】，所以選C.【題目點撥】本題考查二項分布，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】試題分析：由題意得，因此，選A.考點：雙曲線離心率【名師點睛】求雙曲線的離心率（取值范圍）的策略求雙曲線離心率是一個熱點問題．若求離心率的值，需根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的方程求解，若求離心率的取值范圍，需轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等式求解，正確把握c2＝a2＋b2的應用及e＞1是求解的關(guān)鍵．3、D【解題分析】

依據(jù)題目條件，首先可以判斷出點的位置，然后，根據(jù)向量模的計算公式，求出的代數(shù)式，由函數(shù)知識即可求出最值．【題目詳解】由于，說明點在的垂直平分線上，當是的中點時，取最小值，最小值為，此時與的夾角為，與的夾角為，∴與的夾角為，的最小值是4，即的最小值是2.故選D.【題目點撥】本題主要考查了平面向量有關(guān)知識，重點是利用數(shù)量積求向量的模．4、A【解題分析】

根據(jù)周期求，根據(jù)最值點坐標求【題目詳解】因為,因為時，所以因為，所以，選A.【題目點撥】本題考查由圖像求三角函數(shù)解析式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

根據(jù)所給的隨機變量的分布列寫出兩點分步的隨機變量的概率要滿足的條件，一是兩個概率都不小于0，二是兩個概率之和是1，解出符合題意的c的值．【題目詳解】由隨機變量的分布列知，，，，∴，故選A．【題目點撥】本題主要考查分布列的應用，求離散型隨機變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】很明顯，A，B，C，D四點組成平行四邊形ABDC，如圖所示，設(shè)，則：，點A在雙曲線上，則：，據(jù)此可得：，結(jié)合可得雙曲線的離心率為.本題選擇A選項.點睛：求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍；另一種是建立a，b，c的齊次關(guān)系式，將b用a，e表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關(guān)系式，進而求解．7、C【解題分析】

要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本,

則應抽二年級的學生人數(shù)為:

(人).

故答案為80.8、D【解題分析】分析：先根據(jù)復數(shù)除法法則求，再根據(jù)共軛復數(shù)定義得詳解：因為所以選D.點睛：首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關(guān)基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為9、D【解題分析】

根據(jù)二次不等式的解法得到B={|}=，再根據(jù)集合的并集運算得到結(jié)果.【題目詳解】B={|}=,A={|},則A∪B={|}.故答案為:D.【題目點撥】高考對集合知識的考查要求較低，均是以小題的形式進行考查，一般難度不大，要求考生熟練掌握與集合有關(guān)的基礎(chǔ)知識．縱觀近幾年的高考試題，主要考查以下兩個方面：一是考查具體集合的關(guān)系判斷和集合的運算．解決這類問題的關(guān)鍵在于正確理解集合中元素所具有屬性的含義，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的關(guān)系判斷以及運算．10、C【解題分析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集運算可得到解。詳解：解絕對值不等式，得；由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得根據(jù)集合的運算得所以選C點睛：本題考查了解絕對值不等式，對數(shù)函數(shù)的定義域，集合的基本運算，是基礎(chǔ)題。11、B【解題分析】

利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故選：B．【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.12、A【解題分析】

求出，然后求解即可.【題目詳解】全集，集合，則集合，所以，故選A.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)集合的運算，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：至少有一次正面向上的概率為，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為，那么滿足題意的概率為．考點：古典概型與排列組合．14、【解題分析】試題分析：，，，所以.考點：歸納推理.15、a<c<b【解題分析】

將a,b,c分別判斷與0,1的大小關(guān)系得到答案.【題目詳解】a=b=0<c=故答案為a<c<b【題目點撥】本題考查了數(shù)值的大小比較，0，1分界是一個常用的方法.16、【解題分析】

先種B、E兩塊，再種A、D,而種C、F與種A、D情況一樣，根據(jù)分類與分步計數(shù)原理可求．【題目詳解】先種B、E兩塊，共種方法，再種A、D,分A、E相同與不同，共種方法，同理種C、F共有7種方法，總共方法數(shù)為【題目點撥】利用排列組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏.本題先種B、E兩塊，讓問題變得更簡單．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有94%的把握認為學生“測驗分是否達到51分”與“平時分”有關(guān)聯(lián)；（2）4【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)填表，然后計算，可得結(jié)果.（2）根據(jù)計算，可得未獲得分數(shù)的人數(shù)，然后可知獲得分數(shù)的概率，依據(jù)二項分布數(shù)學期望的計算方法，可得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)統(tǒng)計，可得2x2列聯(lián)表選修人數(shù)測驗分合計達到51分未達到51分平時分41分13214平時分31分234合計14421，∴有94%的把握認為學生“測驗分是否達到51分”與“平時分”有關(guān)聯(lián)（2）分析學生得分，，，平時分41分的學生中測驗分只需達到41分，而平時分31分的學生中測驗分必須達到51分，才能獲得學分平時分41分的學生測驗分未達到41分的只有1人，平時分31分的學生測驗分未達到51分的有3人∴從這些學生中隨機抽取1人，該生獲得學分的概率為，．【題目點撥】本題考查統(tǒng)計量的計算以及二項分布，第（2）問中在于理解，理解題意，細心計算，屬基礎(chǔ)題.18、（1）（2）【解題分析】

（1）由題意利用線段的定比分點坐標公式，兩個向量坐標形式的運算法則，求出點P的坐標．（2）由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算法則，求出點Q的坐標．【題目詳解】設(shè)，因為，所以，又，所以，解得，從而．設(shè)，所以，由已知直線與直線垂直，所以則，解得，所以．【題目點撥】本題主要考查了線段的定比分點坐標公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了推理與運算能力．19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）利用定義得證.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分組求和法的到前項和.【題目詳解】解：（Ⅰ）由，可得，即，又，∴，∴數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴.【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的證明，分組求和法求前項和，意在考查學生對于數(shù)列公式和方法的靈活運用.20、(1).(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.【解題分析】分析：（I）首先求解導函數(shù)，然后結(jié)合，可得.（II）由（I）得，結(jié)合導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值可知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.詳解：（I）依題意得，即，解得.經(jīng)檢驗，上述結(jié)果滿足題意.（II）由（I）得，令，得；令，得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為.點睛：(1)可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．21、（1）（2）【解題分析】

（1）利用平方和為1消去參數(shù)得到曲線C的直角坐標方程，再利用，整理即可得到答案；（2）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，加上半徑即可得到最大距離.【題目詳解】（1）由，得，兩式兩邊平方并相加，得，所以曲線表示以為圓心，2為半徑的圓.將代入得，化簡得所以曲線的極坐標方程為（2）由，得，即，得所以直線的直角坐標方程為因為圓心到直線的距離，所以曲線上的點到直線的最大距離為.【題目點撥】本題考查直角坐標方程，參數(shù)方程及極坐標方程之間的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系的應用，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）答案不唯一，具體見解析（2）見解析【解題分析】

（1）利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的套路，確定定