安徽省馬鞍山市和縣一中2024屆數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題含解析

安徽省馬鞍山市和縣一中2024屆數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．2．在平面幾何里有射影定理：設三角形的兩邊，是點在上的射影，則.拓展到空間，在四面體中，面，點是在面內的射影，且在內，類比平面三角形射影定理，得出正確的結論是（）A． B．C． D．3．由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．4．已知命題，，命題q：若恒成立，則，那么()A．“”是假命題 B．“”是真命題C．“”為真命題 D．“”為真命題5．設函數(shù)定義如下表：1234514253執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．4 B．5 C．2 D．36．若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．07．七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方魔板”.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．8．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．9．設，為的展開式的第一項（為自然對數(shù)的底數(shù)），,若任取，則滿足的概率是（）A． B． C． D．10．關于函數(shù)有下述四個結論：①f(x)是偶函數(shù)②f(x)在區(qū)間（,）單調遞增③f(x)在有4個零點④f(x)的最大值為2其中所有正確結論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③11．給出下列四個五個命題：①“”是“”的充要條件②對于命題，使得，則，均有；③命題“若，則方程有實數(shù)根”的逆否命題為：“若方程沒有實數(shù)根，則”；④函數(shù)只有個零點；⑤使是冪函數(shù)，且在上單調遞減.其中是真命題的個數(shù)為：A． B． C． D．12．已知函數(shù)在恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線上一點到焦點和拋物線的對稱軸的距離分別是10和6，則的值為___.14．平面上兩組平行線互相垂直，一組由條平行線組成，一組由條平行線組成，則它們能圍成的矩形個數(shù)是___________15．已知變量，滿足約束條件，設的最大值和最小值分別是和，則__________.16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則的取值范圍為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）“微信運動”是手機推出的多款健康運動軟件中的一款，某學校140名老師均在微信好友群中參與了“微信運動”，對運動10000步或以上的老師授予“運動達人”稱號，低于10000步稱為“參與者”，為了解老師們運動情況，選取了老師們在4月28日的運動數(shù)據(jù)進行分析，統(tǒng)計結果如下：運動達人參與者合計男教師602080女教師402060合計10040140（Ⅰ）根據(jù)上表說明，能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下認為獲得“運動達人”稱號與性別有關？（Ⅱ）從具有“運動達人”稱號的教師中，采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國第四屆“萬步有約”全國健走激勵大賽某賽區(qū)的活動，若從選取的10人中隨機抽取3人作為代表參加開幕式，設抽取的3人中女教師人數(shù)為，寫出的分布列并求出數(shù)學期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）知函數(shù).(1)當時,求的解集;(2)已知，，若對于,都有成立,求的取值范圍.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.21．（12分）國內某知名大學有男生14111人，女生11111人，該校體育學院想了解本校學生的運動狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學生中抽取121人，統(tǒng)計他們平均每天運動的時間，如下表：（平均每天運動的時間單位：小時，該校學生平均每天運動的時間范圍是[0,3]）.男生平均每天運動時間分布情況：女生平均每天運動時間分布情況：（1）請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運動的時間（結果精確到1.1）；（2）若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達人”，低于2小時的學生為“非運動達人”.①請根據(jù)樣本估算該?！斑\動達人”的數(shù)量；②請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過1.15的前提下認為“是否為‘運動達人’與性別有關？”參考公式：k2=n參考數(shù)據(jù)：P(1．111.151.1251.1111.1151.111k2.7163.8415.1246.6357.87911.82822．（10分）甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結束.設各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領先的概率；（2）設本場比賽的局數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學期望.(用分數(shù)表示)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

構造新函數(shù),，當時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，需要構造函數(shù)，例如，想到構造.一般：（1）條件含有，就構造,（2）若，就構造，（3），就構造，（4）就構造，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構造函數(shù).2、A【解題分析】

由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質類比推理到線的性質，由線的性質類比推理到面的性質，即可求解，得到答案．【題目詳解】由已知在平面幾何中，若中，是垂足，則，類比這一性質，推理出：若三棱錐中，面面，為垂足，則．故選A．【題目點撥】本題主要考查了類比推理的應用，其中類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想），著重考查了推理能力，屬于基礎題．3、B【解題分析】分析：先求曲線交點，再確定被積上下限，最后根據(jù)定積分求面積.詳解：因為，所以所以由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是,選B.點睛：利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù)．當圖形的邊界不同時，要分不同情況討論．4、D【解題分析】

分別判斷命題的真假性，然后再判斷每個選項的真假【題目詳解】，即不存在，命題是假命題若恒成立，⑴時，，即符合條件⑵時，則解得，則命題為真命題故是真命題故選【題目點撥】本題考查了含有“或”“且”“非”命題的真假判定，只需將命題的真假進行判定出來即可，需要解答一元二次不等式，屬于基礎題．5、B【解題分析】

根據(jù)流程圖執(zhí)行循環(huán)，確定周期，即得結果【題目詳解】執(zhí)行循環(huán)得：所以周期為4，因此結束循環(huán)，輸出，選B.【題目點撥】本題考查循環(huán)結構流程圖，考查基本分析求解能力，屬基礎題.6、C【解題分析】

由f（x）為偶函數(shù)，得，化簡成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0對恒成立，從而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【題目詳解】若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），即；得對恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故選C．【題目點撥】本題考查偶函數(shù)的定義，以及對數(shù)的運算性質，平方差公式，屬于基礎題．7、B【解題分析】

設出大正方形的面積，求出陰影部分的面積，從而求出滿足條件的概率即可．【題目詳解】設“東方魔板”的面積是4，

則陰影部分的三角形面積是1，

陰影部分平行四邊形的面積是則滿足條件的概率故選：B【題目點撥】本題考查了幾何概型問題，考查面積之比，是一道基礎題．8、B【解題分析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關系得到正弦值.【題目詳解】如圖所示：連接與交于點，連接，過點作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設正方體邊長為1在中故答案選B【題目點撥】本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關鍵，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.9、D【解題分析】分析：由已知求得m，畫出A表示的平面區(qū)域和滿足ab＞1表示的平面區(qū)域，求出對應的面積比即可得答案．詳解:由題意，s=，∴m==，則A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，畫出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面區(qū)域，任?。╝，b）∈A，則滿足ab＞1的平面區(qū)域為圖中陰影部分，如圖所示：計算陰影部分的面積為S陰影==（x﹣lnx）=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣1．所求的概率為P=，故答案為：D．點睛：（1）本題主要考查幾何概型，考查定積分和二項式定理，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(1)解答本題的關鍵是利用定積分求陰影部分的面積.10、C【解題分析】

化簡函數(shù)，研究它的性質從而得出正確答案．【題目詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當時，，它在區(qū)間單調遞減，故②錯誤．當時，，它有兩個零點：；當時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當時，；當時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．【題目點撥】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．11、C【解題分析】分析：由充分必要條件的判定方法判斷①，寫出特稱命題的否定判斷②，根據(jù)逆否命題與原命題的等價性，只需要判斷原命題的真假即可判斷③正確，求出方程的根即可判斷④正確，求出時是冪函數(shù)，且在上單調遞減，故⑤正確詳解：對于①，由得到，由可得是的必要不充分條件，“”是“”的必要不充分條件，故①是假命題對于②，對于命題，使得，則，均有；根據(jù)含量詞的命題的否定形式，將與互換，且結論否定，故正確對于③，命題“若，則方程有實數(shù)根”的逆否命題為：“若方程沒有實數(shù)根，則”，滿足逆否命題的形式，故正確對于④函數(shù)，令可以求得，函數(shù)只有個零點，故正確對于⑤，令，解得，此時是冪函數(shù)，且在上單調遞減，故正確綜上所述，真命題的個數(shù)是故選點睛：本題主要考查的是命題的真假判斷，根據(jù)各知識點即可進行判斷，本題較為基礎。12、B【解題分析】

本題可轉化為函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，然后對求導并判斷單調性，可確定的圖象特征，即可求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意，可知在恰有兩個解，即函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，令，則，當可得，故時，；時，.即在上單調遞減，在上單調遞增，，，，因為，所以當時，函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，即時，函數(shù)在恰有兩個零點.故選B.【題目點撥】已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；（2）數(shù)形結合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2或18【解題分析】

設出符合題意的拋物線上一點的坐標，代入拋物線方程，解方程求得的值.【題目詳解】拋物線的焦點為，對稱軸為軸，，故可設符合題意的點的坐標為，代入拋物線方程得，解得或，負根舍去.【題目點撥】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查拋物線的幾何性質，考查方程的思想，屬于基礎題.14、【解題分析】

分析矩形的組成：兩個長，兩個寬，然后利用分步乘法計數(shù)原理與排列組合思想計算可圍成的矩形數(shù).【題目詳解】因為矩形由兩個長，兩個寬構成，第一步選長：從條直線中選條，共有種方法，第二步選寬：從條直線中選條，共有種方法，所以可圍成的矩形數(shù)為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查分步乘法計數(shù)原理和排列組合的綜合應用，難度一般.對于計數(shù)問題，第一步可考慮是屬于分類還是分步問題，第二步可考慮選用排列或組合的思想解決問題.15、【解題分析】

在平面直角坐標系內，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，可以發(fā)現(xiàn)變量，都是正數(shù)，故令，這樣根據(jù)的幾何意義，可以求出的取值范圍，利用表示出，利用函數(shù)的性質，可以求出的最值，最后計算出的值.【題目詳解】在平面直角坐標系內，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示：從圖中可知：變量，都是正數(shù)，令，它表示不等式組所表示的平面區(qū)域內的點與原點的連線的斜率，解方程組：，可得點，解方程組：，可得點，所以有，因此，，，故.【題目點撥】本題考查了不等式所表示的平面區(qū)域，考查了斜率模型，考查了數(shù)形結合思想.16、【解題分析】

若函數(shù)恰有4個不同的零點，令，即，討論或，由求得，結合圖象進而得到答案.【題目詳解】函數(shù)，當時，的導數(shù)為，所以在時恒成立，所以在上單調遞減，可令，再令，即有，當時，，只有，只有兩解；當時，有兩解，可得或，由和各有兩解，共4解，有，解得，可得的范圍是：，故答案是：.【題目點撥】該題考查的是有關根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有畫函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的單調性，分類討論的思想，屬于較難題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4；（2）.【解題分析】

（1）當時，分別討論每一段的單調性，綜合比較，即可求得最小值；（2）去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)，因為函數(shù)是連續(xù)的，只需要函數(shù)在兩段上都單調遞增，即可得解.【題目詳解】（1）當時，，當時，為減函數(shù)，；當時，為減函數(shù)，當時，函數(shù)取得最小值；當時，為增函數(shù)，；所以當時，函數(shù)取得最小值.（2），因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，且函數(shù)是連續(xù)不間斷的，所以，解得，故所求實數(shù)a的取值范圍是.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的最值問題，考查根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題.已知分段函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍時，除了考慮分段函數(shù)在每一段上的單調性必須相同之外，還要考慮函數(shù)在分界點處的函數(shù)值的大小關系，因此，解題時要考慮全面，否則會產(chǎn)生解題中的錯誤.18、（1）不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為獲得“運動達人”稱號與性別有關；（2）見解析.【解題分析】

（1）計算比較3.841即可得到答案；（2）計算出男教師和女教師人數(shù)，的所有可能取值有，分別計算概率可得分布列，于是可求出數(shù)學期望.【題目詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得：不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為獲得“運動達人”稱號與性別有關（2）根據(jù)分層抽樣方法得：男教師有人，女教師有人由題意可知，的所有可能取值有則；；；的分布列為：【題目點撥】本題主要考查獨立性檢驗統(tǒng)計思想，超幾何分布的分布列與數(shù)學期望，意在考查學生的分析能力，計算能力.19、(1)或.(2).【解題分析】分析：(1)當時，對分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結果；（2）當，.所以，即又的最大值必為之一.所以，即，進而可得結果.詳解：(1)當時，，等價于.因為.所以或或.解得或.所以解集為.（2）當，且時，.所以，即.又的最大值必為之一.所以，即.解得.所以的取值范圍為.點睛：絕對值不等式的常見解法：①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．20、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】試題分析：（1）由所以．又因為底面平面；（2）如圖以為原點建立空間直角坐標系，求得平面的法向量和．試題解析：（1）連結，因為在中，，所以，所以．因為，所以．又因為底面，所以，因為，所以平面（2）如圖以為原點，所在直線分別為軸建立空