2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)禺山高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)禺山高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的左焦點(diǎn)為A． B． C． D．2．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A．a(chǎn)≥3B．a(chǎn)>3C．a(chǎn)≤3D．a(chǎn)<33．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x+y≤0x-y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－5C．13D．－4．在極坐標(biāo)系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標(biāo)系是A． B． C．(1,0) D．(1，)5．圓的圓心為()A． B． C． D．6．已知函數(shù)滿足，與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，則=（）A．0 B． C． D．7．不等式的解集是（）A． B．C． D．或8．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x<0時，f(x)>1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列滿足＝f(0)，且f()＝()，則的值為()A．2209 B．3029 C．4033 D．22499．“不等式成立”是“不等式成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，以為頂點(diǎn)的△ABC的面積記為函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為()A． B． C． D．11．已知函數(shù)滿足對任意實(shí)數(shù)，都有，設(shè)，，（）A．2018 B．2017 C．-2016 D．-201512．在長為的線段上任取一點(diǎn)現(xiàn)作一矩形,領(lǐng)邊長分別等于線段的長,則該矩形面積小于的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，則f(2018)=________.14．若復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是______．15．已知正方體的棱長為2，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是______.16．某地一農(nóng)業(yè)科技實(shí)驗(yàn)站，對一批新水稻種子進(jìn)行試驗(yàn)，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8，出芽后的幼苗成活率為0.9，在這批水稻種子中，隨機(jī)地抽取一粒，則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若且對任意的，恒成立，求的最大值．18．（12分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，有兩個不同的零點(diǎn)，求證：.19．（12分）已知虛數(shù)滿足.（1）求的取值范圍；（2）求證：是純虛數(shù).20．（12分）已知是第三象限角，且．（1）求，的值；（2）求的值．21．（12分）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求.22．（10分）某IT從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點(diǎn)圖：（1）由散點(diǎn)圖知，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，試根據(jù)附注提供的有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”.試?yán)茫?）的結(jié)果，估計他36歲時能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系？附注：①.參考數(shù)據(jù)：，，,，，,，其中，取，②.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為:，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828③.．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

代入得，解得,由此可得三角形ABF為直角三角形．OF=5，即c=5.由橢圓為中心對稱圖形可知當(dāng)右焦點(diǎn)為時，,【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓定義，解三角形相關(guān)知識以及橢圓的幾何性質(zhì)．2、A【解題分析】∵f(x)=x3?ax?1，∴f′(x)=3x2?a，要使f(x)在(?1,1)上單調(diào)遞減，則f′(x)?0在x∈(?1,1)上恒成立，則3x2?a?0，即a?3x2，在x∈(?1,1)上恒成立，在x∈(?1,1)上，3x2<3，即a?3，本題選擇A選項(xiàng).3、D【解題分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知14πr2=π，解得r=2．因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=x+y+1x+3=1+y-2x+3表示區(qū)域內(nèi)上的點(diǎn)與點(diǎn)P(-3,2)連線的斜率加上1，由圖知當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P的連線與圓相切時斜率最?。O(shè)切線方程為y-2=k(x+3)，即4、B【解題分析】

由題圓，則可化為直角坐標(biāo)系下的方程,，，，圓心坐標(biāo)為（0，-1），則極坐標(biāo)為，故選B.考點(diǎn)：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化.5、D【解題分析】

將ρ＝2cos（）化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心的直角坐標(biāo)，進(jìn)而化為極坐標(biāo)．【題目詳解】ρ＝2cos（）即ρ2＝2ρcos（），展開為ρ2＝2ρ（cosθ﹣sinθ），化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2（x﹣y），∴1，可得圓心為C，可得1，tanθ＝﹣1，又點(diǎn)C在第四象限，θ．∴圓心C．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6、B【解題分析】

由題意知函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象都關(guān)于直線對稱，可知它們的交點(diǎn)也關(guān)于直線對稱，于此可得出的值?！绢}目詳解】設(shè)，由于，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，所以，函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線對稱，所以，，令，則，所以，，因此，，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)之和，考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，抓住函數(shù)圖象對稱性是解題的關(guān)鍵，同時也要注意抽象函數(shù)關(guān)系與性質(zhì)之間的關(guān)系，如下所示：（1），則函數(shù)的周期為；（2）或，則函數(shù)的對稱軸為直線；（3），則函數(shù)的對稱中心為.7、C【解題分析】

問題化為﹣1＜x+3＜1，求出它的解集即可．【題目詳解】不等式可化為﹣1＜x+3＜1，得﹣4＜x＜﹣2，∴該不等式的解集為{x|﹣4＜x＜﹣2}．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對值不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．8、C【解題分析】

因?yàn)樵擃}為選擇題，可采用特殊函數(shù)來研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)滿足條件，可設(shè)函數(shù)為，從而求出，再利用題目中所給等式可證明數(shù)列為等差數(shù)列，最后利用等差數(shù)列定義求出結(jié)果?！绢}目詳解】根據(jù)題意，可設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列數(shù)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查選擇題中的特殊法解決問題，對于選擇題則可以找到滿足題意的特殊值或者特殊函數(shù)直接代入進(jìn)行求解。9、A【解題分析】

分別求解不等式與再判定即可.【題目詳解】可得,解得.又解得.故“不等式成立”是“不等式成立”的充分不必要條件.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分式與二次不等式的求解以及充分必要條件的判定.屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

連結(jié)AB后，AB長為定值，由C點(diǎn)變化得到三角形面積函數(shù)的增減性，從而得到面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，則答案可求．【題目詳解】解：如圖，△ABC的底邊AB長一定，在點(diǎn)C由A到B的過程中，△ABC的面積由小到大再減小，然后再增大再減小，對應(yīng)的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正到負(fù)．且由原圖可知，當(dāng)C位于AB連線和函數(shù)f（x）的圖象交點(diǎn)附近時，三角形的面積減或增較慢，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

通過取特殊值，可得，進(jìn)一步可得，然后經(jīng)過計算可得，最后代值計算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：令，可得令，則所以又由，所以又所以，由所以故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)，，考驗(yàn)觀察能力以及分析問題的能力，屬中檔題.12、C【解題分析】試題分析：設(shè)AC=x，則0＜x＜12，若矩形面積為小于32，則x＞8或x＜4，從而利用幾何概型概率計算公式，所求概率為長度之比解：設(shè)AC=x，則BC=12-x，0＜x＜12若矩形面積S=x（12-x）＜32，則x＞8或x＜4,即將線段AB三等分，當(dāng)C位于首段和尾段時，矩形面積小于32，故該矩形面積小于32cm2的概率為P==故選C考點(diǎn)：幾何概型點(diǎn)評：本題主要考查了幾何概型概率的意義及其計算方法，將此概率轉(zhuǎn)化為長度之比是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解題分析】

由已知分析出函數(shù)f（x）的值以4為周期，呈周期性變化，可得答案．【題目詳解】∵函數(shù)f（x）滿足：f（1）=2，f（x+1）=，∴f（2）=﹣1，f（1）=﹣，f（4）=，f（5）=2，……即函數(shù)f（x）的值以4為周期，呈周期性變化，∵2018=504×4+2，故f（2018）=f（2）=﹣1，故答案為：﹣1．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)求值，函數(shù)的周期性，難度不大，屬于中檔題．14、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義，結(jié)合的幾何意義，設(shè)出圓上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式列式，化簡求得的取值范圍.【題目詳解】由于復(fù)數(shù)滿足，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓上，設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為.表示圓上的點(diǎn)到和兩點(diǎn)距離之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.15、【解題分析】

分別取的中點(diǎn),并連同點(diǎn)順次連接,六邊形就是所求的動點(diǎn)的軌跡,求出面積即可.【題目詳解】如下圖所示：分別取的中點(diǎn),并連同點(diǎn)順次連接，因?yàn)槭侨切蔚闹形痪€,所以平面,平面,同理都平行平面,所以就是所求的動點(diǎn)的軌跡,該正六邊形的邊長為,所以正六邊形的面積為：.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力.16、0.72【解題分析】

運(yùn)用相互獨(dú)立事件的概率公式直接求解即可.【題目詳解】設(shè)事件表示水稻種子的發(fā)芽,事件為出芽后的幼苗成活,因此,所以這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了相互獨(dú)立事件的概率公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值為，無極大值；（2）1.【解題分析】

（1）將代入，求其單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)的極值.（2）首先將問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，設(shè)，求出其單調(diào)區(qū)間和最值即可得到的最大值.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，易知函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，及所以當(dāng)，，為減函數(shù).當(dāng)，，為增函數(shù).所以在時取最小值，即，無極大值.（2）當(dāng)時，由，即，得.令，則.設(shè)，則，在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，所以，且，?dāng)時，，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增．所以，因?yàn)?，所以，，所以，即的最大值?．【題目點(diǎn)撥】本題第一問考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，第二問考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，屬于中檔題.18、（1）1；（2）證明見解析【解題分析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，解得答案.（2）要證明，只需要證明，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，得到，得到證明.【題目詳解】（1）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到極小值，也是最小值，由題意，恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.（2），且在處取到極小值1，又時，，時，，故且，要證明：，只需證明，又，故只需證明：，即證：，即證：，即證：，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，由?）知恒成立，所以，即，所以在上為增函數(shù)，所以，即命題成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式恒成立，零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，綜合應(yīng)用能力.19、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

先設(shè)，（且），由得；可將看作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)；（1）由表示點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離，根據(jù)定點(diǎn)到圓上的動點(diǎn)的距離，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，直接計算，即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，（且），因?yàn)?，所以，因此可看作以坐?biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)；（1）表示點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離；又點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，所以（為單位圓半徑），因此；（2），因此是純虛數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求復(fù)數(shù)的模，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，熟記復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可，屬于常考題型.20、（1），；（2）【解題分析】

（1）利用誘導(dǎo)公式化簡已知條件求得的值，進(jìn)而求得的值，再根據(jù)二倍角公式求得的值.（2）利用結(jié)合兩角和的正弦公式，以及（1）的結(jié)果，求得的值.【題目詳解】解：（1）由，有，又由是第三象限角，有，則，，（2）由，．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，屬于中檔題.21、【解題分析】

設(shè)，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組求解，再結(jié)合