安徽省馬鞍山中加雙語(yǔ)學(xué)校 2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

安徽省馬鞍山中加雙語(yǔ)學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是偶函數(shù)，則（）A． B． C． D．2．將2名教師和6名學(xué)生平均分成2組，各組由1名教師和3名學(xué)生組成，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，則不同的安排方案有（）A．40種 B．60種 C．80種 D．120種3．的展開式存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．144．設(shè)，滿足約束條件則的最大值為（）A． B． C． D．5．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．C． D．26．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“且”的過程中，由假設(shè)“”成立，推導(dǎo)“”也成立時(shí)，該不等式左邊的變化是（）A．增加B．增加C．增加并減少D．增加并減少7．若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與的虛部相等，則實(shí)數(shù)的值是A． B．2 C．1 D．8．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為（）A．， B．， C．， D．，9．現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④的圖象（部分）如下，則按照從左到右圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)安排正確的一組是（）A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①10．已知命題，命題，若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或 C． D．11．已知為的一個(gè)對(duì)稱中心，則的對(duì)稱軸可能為（）A． B． C． D．12．閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在1x-114．求值：__________．15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．16．已知向量，，則與的夾角為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為．（1）若是的等差中項(xiàng)，是的等比中項(xiàng)，求證：為等邊三角形；（2）若為銳角三角形，求證：．18．（12分）已知等軸雙曲線：的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作一條漸近線的垂線且垂足為，.（1）假設(shè)過點(diǎn)且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，求的值；（2）假設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.19．（12分）已知直線l的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，曲線C的參數(shù)方程為（是參數(shù)）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值.20．（12分）已知函數(shù)，，.（1）若，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知為等差數(shù)列，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知橢圓的離心率為，，分別是其左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，連結(jié)分別與直線交于點(diǎn)，若，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)圖像關(guān)于對(duì)稱列方程，解方程求得的值.利用列方程，解方程求得的值，由此求得的值.【題目詳解】由于圖像關(guān)于對(duì)稱，也即關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，故，即，而，故，化簡(jiǎn)得，故.由于是偶函數(shù)，故，即，故.所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)的奇偶性求解析式，屬于中檔題.2、A【解題分析】

根據(jù)甲、乙兩地先安排老師，可知，然后安排學(xué)生，可得結(jié)果.【題目詳解】第一步，為甲、乙兩地排教師，有種排法；第二步，為甲、乙兩地排學(xué)生，有種排法，故不同的安排方案共有種，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查排列分組的問題，一般來(lái)講先分組后排列，審清題意細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

化簡(jiǎn)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為零，根據(jù)為正整數(shù)，求得的最小值.【題目詳解】，令，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為7.故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查與正整數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求目標(biāo)函數(shù)的最大值即可．【題目詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由得到，平移直線，當(dāng)過A時(shí)直線截距最小，最大，由得到，所以的最大值為，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】由，得，故選A．6、D【解題分析】

由題寫出時(shí)的表達(dá)式和的遞推式，通過對(duì)比，選出答案【題目詳解】時(shí)，不等式為時(shí)，不等式為，增加并減少.故選D.【題目點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)歸納法寫遞推式時(shí)，要注意從到時(shí)系數(shù)k對(duì)表達(dá)式的影響，防止出錯(cuò)的方法是依次寫出和的表達(dá)式，對(duì)比增項(xiàng)是什么，減項(xiàng)是什么即可7、D【解題分析】

先化簡(jiǎn)與，再根據(jù)它們虛部相等求出m的值.【題目詳解】由題得，因?yàn)閺?fù)數(shù)與的虛部相等，所以.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】分析：化簡(jiǎn)即可得復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.詳解：復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)與虛部分別為5，5.故選A.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)相關(guān)概念與運(yùn)算的技巧(1)解決與復(fù)數(shù)的基本概念和性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)注意復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵．(2)復(fù)數(shù)相等問題一般通過實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等列出方程或方程組求解．(3)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算的基本方法是運(yùn)用運(yùn)算法則，但可以通過對(duì)代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征的分析，靈活運(yùn)用i的冪的性質(zhì)、運(yùn)算法則來(lái)優(yōu)化運(yùn)算過程．9、A【解題分析】

根據(jù)各個(gè)函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的符號(hào)，判斷函數(shù)的圖象特征，即可得到．【題目詳解】解：①為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故第一個(gè)圖象即是；

②為奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它在上的值為正數(shù)，

在上的值為負(fù)數(shù)，故第三個(gè)圖象滿足；

③為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故第四個(gè)圖象滿足；

④，為非奇非偶函數(shù)，故它的圖象沒有對(duì)稱性，故第二個(gè)圖象滿足，

故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的值的符號(hào)，屬于中檔題．10、D【解題分析】試題分析：由，可得，由，可得，解得.因?yàn)闉榧倜}，所以與都是假命題，若是假命題，則有，若是假命題，則由或，所以符合條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選D.考點(diǎn)：命題真假的判定及應(yīng)用.11、B【解題分析】

由題意首先確定的值，然后求解函數(shù)的對(duì)稱軸即可.【題目詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得：，令可得，則函數(shù)的解析式為，函數(shù)的對(duì)稱軸滿足：，解得：，令可知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，且很明顯選項(xiàng)ACD不是函數(shù)的對(duì)稱軸.本題選擇B選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，三角函數(shù)對(duì)稱軸方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、C【解題分析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次循環(huán)計(jì)算，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，第一循環(huán)：，能被3整除，不成立，第二循環(huán)：，不能被3整除，不成立，第三循環(huán)：，不能被3整除，成立，終止循環(huán)，輸出，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了程序框圖的識(shí)別與應(yīng)用，其中解答中根據(jù)條件進(jìn)行模擬循環(huán)計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

先求出二項(xiàng)式x+1【題目詳解】二項(xiàng)式x+15的展開式的通項(xiàng)為∴1x-1x故答案為1．【題目點(diǎn)撥】對(duì)于含有兩個(gè)括號(hào)的展開式的項(xiàng)的問題，求解時(shí)可分別求出每個(gè)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，然后采用組合（即“湊”）的方法得到所求的項(xiàng)，解題時(shí)要做到細(xì)致、不要漏掉任何一種情況．14、1【解題分析】分析：觀察通項(xiàng)展開式中的中的次數(shù)與中的一致。詳解：通項(xiàng)展開式中的，故=點(diǎn)睛：合并二項(xiàng)式的展開式，不要糾結(jié)整體的性質(zhì)，抓住具體的某一項(xiàng)中的中的次數(shù)與中的一致，有負(fù)號(hào)時(shí)注意在上還是在上。15、.【解題分析】分析：先求導(dǎo)求切線的斜率，再寫切線方程.詳解：由題得，所以切線方程為故答案為：.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查求切線方程，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是16、【解題分析】

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【題目詳解】解：由已知，，，，則與的夾角為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量夾角的求解，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）由是的等差中項(xiàng)可得，由是的等比中項(xiàng)，結(jié)合正弦定理與余弦定理即可得到，由此證明為等邊三角形；（2）解法1：利用分析法，結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)即可證明；解法2：由為銳角三角形以及三角形的內(nèi)角和為，可得，利用公式展開，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到．【題目詳解】（1）由成等差數(shù)列，有①因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以②由①②得③由是的等比中項(xiàng)和正弦定理得，是的等比中項(xiàng)，所以④由余弦定理及③，可得再由④，得即，因此從而⑤由②③⑤，得所以為等邊三角形．（2）解法1：要證只需證因?yàn)椤?、都為銳角，所以，故只需證：只需證：即證：因?yàn)?，所以要證：即證：即證：因?yàn)闉殇J角，顯然故原命題得證，即．解法2：因?yàn)闉殇J角，所以因?yàn)樗?，即展開得：所以因?yàn)?、、都為銳角，所以，所以即【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦定理、等差等比的性質(zhì)，銳角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解決本題的關(guān)鍵．18、（1）；（2）存在，.【解題分析】

（1）根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線，可求出漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)為過作一條漸近線的垂線的垂足，以及，可求出雙曲線中的值，借助雙曲線中，，的關(guān)系，得到雙曲線方程．根據(jù)直線的方向向量以及點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解出，的值，代入中，即可求出的值．（2）先假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解，，用含的式子表示，再代入中，若為常數(shù)，則結(jié)果與無(wú)關(guān)，求此時(shí)的值即可．【題目詳解】（1）設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，雙曲線為等軸雙曲線，則漸近線為，由對(duì)稱性可知，右焦點(diǎn)到兩條漸近線距離相等，且．為等腰直角三角形，則由又等軸雙曲線中，等軸雙曲線的方程為：.設(shè)，，，為雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，，直線的方向向量為，直線的方程為，即代入雙曲線的方程，可得，，，而（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，其中，，，，為雙曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，①當(dāng)直線與軸不垂直是，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線的方程，可得，由題意可知，，則有，，要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，.②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn)，，若，亦為常數(shù).綜上可知，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)．【題目點(diǎn)撥】本題考查等軸雙曲線的方程、直線與雙曲線位置關(guān)系中定點(diǎn)、定值問題，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的綜合應(yīng)用，對(duì)運(yùn)算求解能力的要求較高．19、(1),(2)0.【解題分析】

(1)展開兩角和的正弦,結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線的普通方程,把（是參數(shù)）消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線上的點(diǎn)寫出點(diǎn)到直線的距離公式,利用三角函數(shù)求最值.【題目詳解】由得直線的普通方程為由（是參數(shù)）,消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)曲線上的點(diǎn),則到直線的距離,當(dāng)時(shí),即時(shí)..【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程和普通方程的互化,考查參數(shù)方程在解決點(diǎn)與直線距離最值中的應(yīng)用,難度一般.20、(1)；(2).【解題分析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，.對(duì)解析分類討論，可求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為，要使，故只需；當(dāng)時(shí)，的最大值為，要使，故只需，由此可求實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，.①當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；②當(dāng)時(shí)，，即，即或.綜合可知：；③當(dāng)時(shí)，，則或，綜合可知：.由①②③可知：或.（