上海市四中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

上海市四中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是()A．1 B．2 C． D．2．命題“，使”的否定是（）A．，使 B．，使C．，使 D．，使3．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的體積為（）A．2 B．4 C． D．4．已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：的右焦點為F，焦距為，C的一條漸近線被以F為圓心，OF為半徑的圓F所截得的弦長為2，則C的方程是（）A． B． C． D．5．已知，，，則()A． B． C． D．6．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如圖，則常數(shù)c為（）X01PA． B． C．或 D．7．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以坐標(biāo)原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A． B．2C． D．8．已知，則A． B． C． D．9．若命題是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．10．函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得的圖象關(guān)于原點對稱，則可以是（）A． B． C． D．11．已知點在拋物線C：的準(zhǔn)線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為（）A． B． C． D．12．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，若方程有個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是______.14．已知冪函數(shù)的圖象過點，則______．15．在極坐標(biāo)系中，曲線和相交于點A，B，則線段AB的中點E到極點的距離是______.16．已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于函數(shù)給出下列命題：①對于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)；②對于任意，函數(shù)存在最小值；③存在，使得對于任意的，都有成立；④存在，使得函數(shù)有兩個零點．其中正確命題的序號是________．(寫出所有正確命題的序號)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）二次函數(shù)滿足,且解集為（1）求的解析式；（2）設(shè),若在上的最小值為,求的值.18．（12分）某射擊運動員每次擊中目標(biāo)的概率是，在某次訓(xùn)練中，他只有4發(fā)子彈，并向某一目標(biāo)射擊.（1）若4發(fā)子彈全打光，求他擊中目標(biāo)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）若他擊中目標(biāo)或子彈打光就停止射擊，求消耗的子彈數(shù)的分布列.19．（12分）如圖，矩形和等邊三角形中，，平面平面．（1）在上找一點，使，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．20．（12分）2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分．為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，根據(jù)性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．（1）學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表．請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進(jìn)行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.050.013.8416.63521．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求；（2）求證：.22．（10分）已知復(fù)數(shù).（1）化簡：；（2）如果，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

試題分析：由于垂直，不妨設(shè)，，，則，，表示到原點的距離，表示圓心，為半徑的圓，因此的最大值，故答案為C．考點：平面向量數(shù)量積的運算．2、A【解題分析】

根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因為特稱命題的否定為全稱命題，所以命題“，使”的否定是“，使”.故選A【題目點撥】本題主要考查含有一個量詞的命題的否定，只需改量詞與結(jié)論即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解題分析】

根據(jù)三視圖的特點可以分析該物體是一個直三棱柱，即可求得體積.【題目詳解】由三視圖可得該物體是一個以側(cè)視圖為底面的直三棱柱，所以其體積為.故選：A【題目點撥】此題考查三視圖的認(rèn)識，根據(jù)三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別三視圖的特征.4、A【解題分析】

根據(jù)點到直線的距離公式，可求出點F到漸近線的距離剛好為，由圓的知識列出方程，通過焦距為，求出，即可得到雙曲線方程．【題目詳解】為坐標(biāo)原點，雙曲線的右焦點為，焦距為，可得，的一條漸近線被以為圓心，為半徑的圓所截得的弦長為2，因為點F到漸近線的距離剛好為，所以可得即有，則，所以雙曲線方程為：．故選．【題目點撥】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用以及雙曲線方程的求法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力．5、A【解題分析】

由指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小,即可得出結(jié)論.【題目詳解】故選:A.【題目點撥】本題考查三個數(shù)的大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用.6、A【解題分析】

根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列寫出兩點分步的隨機(jī)變量的概率要滿足的條件，一是兩個概率都不小于0，二是兩個概率之和是1，解出符合題意的c的值．【題目詳解】由隨機(jī)變量的分布列知，，，，∴，故選A．【題目點撥】本題主要考查分布列的應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

連接，利用三角形邊之間的關(guān)系得到，，代入離心率公式得到答案.【題目詳解】連接，依題意知：，，所以.【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關(guān)系和雙曲線性質(zhì)得到的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.8、C【解題分析】

根據(jù)已知求出，再求.【題目詳解】因為，故，從而.故選C【題目點撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】因為命題是真命題，即不等式對恒成立，即恒成立，當(dāng)a＋2＝0時，不符合題意，故有，即，解得，則實數(shù)a的取值范圍是．故選：B．10、B【解題分析】

求出函數(shù)圖象平移后的函數(shù)解析式，再利用函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，即，求出，比較可得.【題目詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到.此函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以.所以.當(dāng)時，．故選B.【題目點撥】由的圖象，利用圖象變換作函數(shù)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象沿軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是個單位；而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個單位.11、C【解題分析】試題分析：由已知得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，且過點，故，則，，則直線AF的斜率，選C．考點：1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；2、直線的斜率．12、A【解題分析】

根據(jù)是偶函數(shù)可以得出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可以得出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，從而解出不等式對任意的恒成立時的取值范圍．【題目詳解】是偶函數(shù)，所以得出函數(shù)的對稱軸為，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以．因為不等式對任意的恒成立，所以．選擇A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的對稱軸和奇偶性的綜合問題，在解決此類題目時要搞清楚每一個條件能得出什么結(jié)論，把這些結(jié)論綜合起來即得出結(jié)果．屬于較難的題目．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

根據(jù)和的圖象，可得當(dāng)且僅當(dāng)有四解時，符合題意．令，此時，，，，根據(jù)判別式可列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求的取值范圍.【題目詳解】解：，，可得在遞增，在遞減，則的圖象如下：當(dāng)時，圖象如圖，此時無解，不符合題意當(dāng)時，圖象如圖，此時無解，不符合題意當(dāng)時，函數(shù)的圖象如下：令，當(dāng)時，方程只有一解，當(dāng)且僅當(dāng)有四解時，符合題意．此時四解，，，．則，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【題目點撥】本題考查了復(fù)合函數(shù)的零點問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想.14、3【解題分析】

先利用待定系數(shù)法代入點的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式，再求的值.【題目詳解】設(shè)，由于圖象過點,得，，，故答案為3.【題目點撥】本題考査冪函數(shù)的解析式，以及根據(jù)解析式求函數(shù)值，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解題分析】

將曲線方程化為直角坐標(biāo)系下的方程，聯(lián)立方程組，由此求得中點的坐標(biāo)，再求出其到極點的距離.【題目詳解】將曲線方程化為直角坐標(biāo)方程可得將曲線方程化為直角坐標(biāo)方程可得，聯(lián)立兩方程可得故可得中點坐標(biāo)為，則其到坐標(biāo)原點的距離即為所求，即.故答案為：2.【題目點撥】本題考查將極坐標(biāo)方程化為普通方程，屬基礎(chǔ)題.16、②④【解題分析】函數(shù)的定義域是，且，當(dāng)時，在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于，存在，使，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對于任意，函數(shù)存在最小值，故②正確；函數(shù)的圖象在有公共點，所以對于任意，有零點，故③錯誤；由②得函數(shù)存在最小值，且存在，使，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故④正確；故填②④.點睛：本題的易錯點在于正確理解“任意”和“存在”的含義，且正確區(qū)分兩者的不同.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）直接根據(jù)兩個已知條件得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程組即得的解析式；(2)對m分類討論，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求m的值.【題目詳解】（1）∵∴即①又∵即的解集為∴是的兩根且a>0.∴②③a=2,b=1,c=-3∴（2）其對稱軸方程為①若即m<-3時，由得不符合②若即時，得：符合③若即m>9時，=由得不符合題意∴【題目點撥】這個題目考查了二次函數(shù)的解析式的求法，二次函數(shù)的解析式有：兩根式，即已知函數(shù)的兩個零點可設(shè)這種形式；頂點式，已知函數(shù)的頂點可設(shè)為這種形式；一般式，涉及三個未知數(shù)，需列方程組求解；二次函數(shù)的最值和函數(shù)的對稱軸有直接關(guān)系，在整個實數(shù)集上，最值在軸處取得，在小區(qū)間上需要討論軸和區(qū)間的關(guān)系，得到最值.18、（1）（2）見解析【解題分析】分析：（1）他擊中目標(biāo)次數(shù)可能取的值為1，1，2，3，4，由題意，隨機(jī)變量服從二項分布，即~，則可求4發(fā)子彈全打光，擊中目標(biāo)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）由題意隨機(jī)變量可能取的值是1，2，3，4，由此可求他擊中目標(biāo)或子彈打光就停止射擊，求消耗的子彈數(shù)的分布列詳解：（1）他擊中目標(biāo)次數(shù)可能取的值為1，1，2，3，4由題意，隨機(jī)變量服從二項分布，即~（若列出分布列表格計算期望，酌情給分）（2）由題意隨機(jī)變量可能取的值是1，2，3，412341．91．191．1191．111點睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題．19、（1）證明過程見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【解題分析】試題分析：(1)分別取的中點，利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可證明面，進(jìn)而得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面法向量成的角去求解.試題解析：（1）為線段的中點，理由如下：分別取的中點，連接，在等邊三角形中，，又為矩形的中位線，，而，所以面，所以；（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，三角形為等邊三角形，．于是，設(shè)面的法向量，所以，得，則面的一個法向量，又是線段的中點，則的坐標(biāo)為，于是，且，又設(shè)面的法向量，由，得，取，則，平面的一個法向量，所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20、（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)．（2）分布列見解析；【解題分析】

（1）根據(jù)分層抽樣，求得抽到男生、女生的人數(shù)，得到的列聯(lián)表，求得的值，即可得到結(jié)論；（2）求得這4名女生中選擇地理的人數(shù)可為，求得相應(yīng)的概率，得到分布列，利用期望的公式計算，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，抽取到男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，所以列聯(lián)表為：選擇“物理”選擇“地理”總計男生451055女生252045總計7030100所