福州第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

福州第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的最大值為（）A．1 B． C． D．－2．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查大學(xué)生的性別與愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)是否有關(guān)，通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)111名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，利用列聯(lián)表，由計(jì)算可得P（K2>k）

1．11

1．14

1．124

1．111

1．114

1．111

k

2．615

3．841

4．124

5．534

6．869

11．828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．有8．4%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”B．有8．4%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1．14%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1．14%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”3．將曲線按變換后的曲線的參數(shù)方程為（）A． B． C． D．4．已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為y，則實(shí)數(shù)a的值為x23456y3711a21A．16 B．18C．20 D．225．某煤氣站對(duì)外輸送煤氣時(shí)，用1至5號(hào)五個(gè)閥門控制，且必須遵守以下操作規(guī)則：①若開(kāi)啟3號(hào)，則必須同時(shí)開(kāi)啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào)；②若開(kāi)啟2號(hào)或4號(hào)，則關(guān)閉1號(hào)；③禁止同時(shí)關(guān)閉5號(hào)和1號(hào).則閥門的不同開(kāi)閉方式種數(shù)為（）A．7 B．8 C．11 D．146．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝（）A． B．C． D．27．在第二屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)中,為了提高安保的級(jí)別同時(shí)又為了方便接待，現(xiàn)將其中的五個(gè)參會(huì)國(guó)的人員安排酒店住宿，這五個(gè)參會(huì)國(guó)要在、、三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)國(guó)入住，則這樣的安排方法共有A．種 B．種C．種 D．種8．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做10次和15次驗(yàn)，并且利用線性回歸方程，求得回歸直線分別為和．已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都為t，那么下列說(shuō)法正確的（）A．與相交于點(diǎn)（s，t）B．與相交，交點(diǎn)不一定是（s，t）C．與必關(guān)于點(diǎn)（s，t）對(duì)稱D．與必定重合9．若函數(shù)，則（）A．1 B． C．27 D．10．若在曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”.下列方程：①②；③④對(duì)應(yīng)的曲線中存在的“自公切線”的是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④11．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．12．某體育彩票規(guī)定:從01到36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元．某人想先選定吉利號(hào)18，然后再?gòu)?1到17個(gè)號(hào)中選出3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從19到29個(gè)號(hào)中選出2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從30到36個(gè)號(hào)中選出1個(gè)號(hào)組成一注．若這個(gè)人要把這種要求的號(hào)全買，至少要花的錢數(shù)為()A．2000元 B．3200元 C．1800元 D．2100元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若存在過(guò)點(diǎn)1,0的直線與曲線y=x3和y=ax2+14．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是__________.15．若曲線與曲線在上存在公共點(diǎn)，則的取值范圍為16．已知從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球，，，共有種取法，在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個(gè)球全部為白球，另一類是取出1個(gè)黑球和個(gè)白球，共有種取法，即有等式成立，試根據(jù)上述思想，化簡(jiǎn)下列式子：________，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍.18．（12分）已知.（Ⅰ）計(jì)算的值；（Ⅱ）若，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（Ⅲ）證明：.19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.20．（12分）在一次考試中，某班級(jí)50名學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀．分?jǐn)?shù)697374757778798082838587899395合計(jì)人數(shù)24423463344523150經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差．為評(píng)判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績(jī)?yōu)閄，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判：①；②；③．評(píng)判規(guī)則：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則被評(píng)為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個(gè)不等式，則被評(píng)為合格試卷；其他情況，則被評(píng)為不合格試卷．（1）試判斷該份試卷被評(píng)為哪種等級(jí)；（2）按分層抽樣的方式從3個(gè)層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，再?gòu)某槌龅?0名學(xué)生中隨機(jī)抽出4人進(jìn)行學(xué)習(xí)方法交流，用隨機(jī)變量表示4人中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）如圖，平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，點(diǎn)E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點(diǎn).（1）求異面直線EG與BD所成角的大小；（2）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離恰為？若存在，求出線段CQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）已知滿足，．（1）求，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)已知的偶函數(shù)以及f（2﹣x）＝﹣f（x）可以求得函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上的解析式，進(jìn)而得到g（x）在[﹣2，2]上的解析式，對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)可知g（x）的增減性，通過(guò)增減性求得最大值【題目詳解】根據(jù),得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,且當(dāng)時(shí),,則時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，;又函數(shù)為偶函數(shù),所以當(dāng)時(shí)，則,可知當(dāng)，故在[-2，0)上單調(diào)遞增,時(shí)，在[0,2]上單調(diào)遞減,故.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)：對(duì)稱性，奇偶性，周期性．同時(shí)利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)研究了函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題，是中檔題2、B【解題分析】解：計(jì)算K2≈8.815>6.869，對(duì)照表中數(shù)據(jù)得出有1.114的幾率說(shuō)明這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不可信的，即有1?1.114=8.4%的把握說(shuō)明兩個(gè)變量之間有關(guān)系，本題選擇B選項(xiàng).3、D【解題分析】由變換：可得：,代入曲線可得：，即為：令(θ為參數(shù))即可得出參數(shù)方程．故選D.4、B【解題分析】

，代入回歸直線方程得，所以，則，故選擇B.5、A【解題分析】

分兩類解決，第一類：若開(kāi)啟3號(hào)，然后對(duì)2號(hào)和4號(hào)開(kāi)啟其中一個(gè)即可判斷出1號(hào)和5號(hào)情況，第二類：若關(guān)閉3號(hào)，關(guān)閉2號(hào)關(guān)閉4號(hào)，對(duì)1號(hào)進(jìn)行討論，即可判斷5號(hào),由此可計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】解：依題意，第一類：若開(kāi)啟3號(hào)，則開(kāi)啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào)，此時(shí)關(guān)閉1號(hào)，開(kāi)啟5號(hào)，此時(shí)有1種方法；第二類：若關(guān)閉3號(hào)，①開(kāi)啟2號(hào)關(guān)閉4號(hào)或關(guān)閉2號(hào)開(kāi)啟4號(hào)或開(kāi)啟2號(hào)開(kāi)啟4號(hào)時(shí)，則關(guān)閉1號(hào)，開(kāi)啟5號(hào)，此時(shí)有種3方法；②關(guān)閉2號(hào)關(guān)閉4號(hào)，則開(kāi)啟1號(hào)關(guān)閉5號(hào)或開(kāi)啟1號(hào)開(kāi)啟5號(hào)或關(guān)閉1號(hào)，開(kāi)啟5號(hào)，此時(shí)有種3方法；綜上所述，共有種方式.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.6、C【解題分析】

先求出的表達(dá)式，然后對(duì)其化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)的模即可.【題目詳解】由題意，，所以.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①把5個(gè)個(gè)參會(huì)國(guó)的人員分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2；由組合數(shù)公式可得分組的方法數(shù)目，②，將分好的三組對(duì)應(yīng)三家酒店；由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、五個(gè)參會(huì)國(guó)要在a、b、c三家酒店選擇一家，且這三家至少有一個(gè)參會(huì)國(guó)入住，

∴可以把5個(gè)國(guó)家人分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2

當(dāng)按照1、1、3來(lái)分時(shí)共有C53=10種分組方法；

當(dāng)按照1、2、2來(lái)分時(shí)共有種分組方法；

則一共有種分組方法；

②、將分好的三組對(duì)應(yīng)三家酒店，有種對(duì)應(yīng)方法；

則安排方法共有種；

故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，有時(shí)分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決．8、A【解題分析】

根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過(guò)樣本中心點(diǎn)（s，t），判斷A說(shuō)法正確．【題目詳解】解：根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過(guò)樣本中心點(diǎn)（s，t），∴與相交于點(diǎn)，A說(shuō)法正確．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，從而得到，代入可求得結(jié)果.【題目詳解】，，解得：，，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確為實(shí)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為零.10、B【解題分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,結(jié)合函數(shù)的圖象的特征,判斷此函數(shù)是否有自公切線．【題目詳解】①是一個(gè)等軸雙曲線,沒(méi)有自公切線;②,在和處的切線都是,故②有自公切線;③此函數(shù)是周期函數(shù),過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合,故此函數(shù)有自公切線;④即結(jié)合圖象可得,此曲線沒(méi)有自公切線.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力,難度一般.11、A【解題分析】分析：先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.詳解：令，因?yàn)?，所以因此解集為，選A.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等12、D【解題分析】第步從到中選個(gè)連續(xù)號(hào)有種選法；第步從到中選個(gè)連續(xù)號(hào)有種選法；第步從到中選個(gè)號(hào)有種選法.由分步計(jì)數(shù)原理可知：滿足要求的注數(shù)共有注,故至少要花,故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1或-【解題分析】分析：先求出過(guò)點(diǎn)1,0和y=x2詳解：設(shè)直線與曲線y=x2的切點(diǎn)坐標(biāo)為則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'x則切線斜率k=3x則切線方程為y-x∵切線過(guò)點(diǎn)1,0，∴-x即2x解得x0=0或①若x0=0，此時(shí)切線的方程為此時(shí)直線與y=ax2即ax則Δ=1542②若x0=32代入y=ax2+消去y可得ax又由Δ=0，即9+4×9解可得a=-1，故a=-1或a=-2564，故答案為-1或點(diǎn)睛：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)Ax0,fx0求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)k=f'x0；(2)己知斜率k求切點(diǎn)Ax1,fx1,即解方程14、【解題分析】由題意可得：在區(qū)間上有解，即：在區(qū)間上有解，整理可得：在區(qū)間上有解，令，則，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，，即的最小值是.15、【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，函數(shù)與函數(shù)在上有公共點(diǎn)，令得：設(shè)則由得：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有最小值所以．考點(diǎn)：求參數(shù)的取值范圍．16、【解題分析】

在式子中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有個(gè)白球，個(gè)黑球的袋子里，取出個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，從裝有球中取出個(gè)球的不同取法數(shù)，根據(jù)排列組合公式，易得答案．【題目詳解】在中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有個(gè)白球，個(gè)黑球的袋子里，取出個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，故從裝有球中取出個(gè)球的不同取法數(shù).故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題結(jié)合考查推理和排列組合，處理本題的關(guān)鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項(xiàng)所表示的含義，再結(jié)合已知條件進(jìn)行分析，最后給出正確的答案．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）由已知，根據(jù)解析式中絕對(duì)值的零點(diǎn)（即絕對(duì)值等于零時(shí)的值），將函數(shù)的定義域分成若干段，從而去掉絕對(duì)值號(hào)，再分別計(jì)算各段函數(shù)的相應(yīng)不等式的解集，從而求出原不等式的解集；（2）由題意，將不等式轉(zhuǎn)化為，可構(gòu)造新函數(shù)，則問(wèn)題再轉(zhuǎn)化為，由（1）可得，即，從而問(wèn)題可得解.試題解析：（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得.綜上，的解集為.（2）（方法一）由得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值5，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值5，故，即的取值范圍為.（方法二）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值5，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值5，故，即的取值范圍為.18、（Ⅰ）-2019；（Ⅱ）196；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.【解題分析】

（Ⅰ）由于，代入-1即可求得答案;（Ⅱ）由于，利用二項(xiàng)式定理即可得到項(xiàng)的系數(shù)；（Ⅲ）可設(shè)，找出含項(xiàng)的系數(shù)，利用錯(cuò)位相減法數(shù)學(xué)思想兩邊同時(shí)乘以，再找出含項(xiàng)的系數(shù)，于是整理化簡(jiǎn)即可得證.【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，∴；∴；（Ⅱ），中項(xiàng)的系數(shù)為；（Ⅲ）設(shè)（且）①則函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)為，另一方面：由①得：②①-②得：，所以，所以，則中含項(xiàng)的系數(shù)為，又因?yàn)?，，所以，即，所?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的相關(guān)應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)于賦值法的理解，計(jì)算能力，分析能力及邏輯推理能力，難度較大.19、（1）2（2）2【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義，將函數(shù)化為分段函數(shù)形式，分別求各段最大值，最后取各段最大值的最大者為的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.試題解析：（1）由于當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以.（2）由已知,有，因?yàn)?當(dāng)時(shí)取等號(hào))，(當(dāng)時(shí)取等號(hào))，所以，即，故的最大值為2.20、（1）該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷；（2）見(jiàn)解析，1.2.【解題分析】

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，計(jì)算出，的值，由此判斷出“該份試卷為合格試卷”；（2）利用超幾何分布分布列計(jì)算公式，計(jì)算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：（1），，，因?yàn)榭忌煽?jī)滿足兩個(gè)不等式，所以該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷；（2）50人中成績(jī)一般、良好及優(yōu)秀的比例為，所以所抽出的10人中，成績(jī)優(yōu)秀的有3人，所以的取值可能為0，1，2，3，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123故．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布的概念，考查頻率的計(jì)算，超幾何分布的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題．21、（1）；（2）線段CQ的長(zhǎng)度為.【解題分析】

（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示，寫出點(diǎn)E（0，0，1）、G（1，2