2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊(cè) 1-7平面向量的應(yīng)用舉例 學(xué)案

1．7平面向量的應(yīng)用舉例最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)1.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題．2．體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用．1.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題．(直觀想象、邏輯推理)2．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)線線平行問題：不重合的兩條直線a，b平行?a∥b?a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(a，b為非零向量)．(2)線線垂直問題：兩條直線a，b垂直?a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a，b為非零向量)．(3)夾角問題：兩個(gè)向量的夾角公式cosθ＝a·ba(4)線段的長度問題：向量模的公式|a|＝a·a＝要點(diǎn)二物理中的向量問題(1)力的問題力是既有大小，又有方向的量．用向量知識(shí)解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上，主要涉及的問題是力的合成與分解．(2)速度與位移問題速度、位移問題主要涉及合成與分解，其實(shí)就是向量的加減法，可以通過向量的線性運(yùn)算來解決，也可借助坐標(biāo)運(yùn)算來求解．(3)功與動(dòng)量問題物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積．即W＝|F||s|cos〈F，s〉．功是一個(gè)實(shí)數(shù)，它可正、可負(fù)，也可為零．物理中的動(dòng)量涉及物體的質(zhì)量m，物體運(yùn)動(dòng)的速率v，因此動(dòng)量的計(jì)算也是向量的數(shù)乘運(yùn)算．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若△ABC是直角三角形，則有AB·BC＝0.()(2)若AB∥CD，則直線AB與CD平行．()(3)物理學(xué)中的功是一個(gè)向量．()(4)速度、加速度與位移的合成和分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減運(yùn)算．()2．在四邊形ABCD中，若AB·BC＝0，BC＝AD，則四邊形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形3．若向量OF1＝1，1，OF2＝(－3，－2)分別表示兩個(gè)力F1，F(xiàn)A．(5，0)B．(－5，0)C．5D．－54．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－3，2)，則AD·AC＝________．題型1平面向量在幾何證明中的應(yīng)用例1如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.方法歸納用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟：①選取基；②用基表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題．(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問題．跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)O，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|OA|＝|OB|＝|OC|，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，則點(diǎn)O，P依次是△ABC的()A．重心，垂心B．重心，內(nèi)心C．外心，垂心D．外心，內(nèi)心題型2平面向量在幾何求值中的應(yīng)用例2在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝1，AD＝2，若點(diǎn)P為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP·PD的最大值為()A．12B．－C．－54方法歸納(1)用向量法求長度的策略①利用圖形特點(diǎn)選擇基，向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解．②建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝x2(2)向量數(shù)量積、夾角的計(jì)算利用向量或坐標(biāo)表示出未知向量，代入相應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，已知|p|＝22，|q|＝3，p，q的夾角為π4，若AB＝5p＋2q，AC＝p－3q，D為BC的中點(diǎn)，則|AD(2)已知矩形ABCD，AB＝3，AD＝1，E為DC上靠近D的三等分點(diǎn)，則∠EAC的大小為________.題型3向量在物理中的應(yīng)用例3一條寬為3km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個(gè)碼頭A，B，已知AB＝3km，船在水中的最大航速為4km/h，問該船怎樣安排航行速度可使它從A碼頭最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時(shí)多少？方法歸納用向量解決物理問題的一般步驟(1)問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型．(3)參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值．(4)問題的答案，即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．跟蹤訓(xùn)練3在日常生活中，我們常常會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情景，若行李包所受的重力為G，兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，且|F1|＝|F2|，F(xiàn)1與F2夾角為θ，當(dāng)兩人拎起行李包時(shí)，下列結(jié)論正確的是()A．|G|＝|F1|＋|F2|B．當(dāng)θ＝π2時(shí)，|F1|＝22|C．當(dāng)θ角越大時(shí)，用力越省D．當(dāng)|F1|＝|G|時(shí)，θ＝π易錯(cuò)辨析未將物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題致誤例4一條河寬為8000m，一船從A出發(fā)航行垂直到達(dá)河正對(duì)岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時(shí)間為________min.解析：因?yàn)関實(shí)際＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12，所以|v實(shí)際|＝v12-因此所需時(shí)間t＝816故該船到達(dá)B處所需的時(shí)間為30min.答案：30易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得誤將船在靜水中的速度作為船的實(shí)際速度導(dǎo)致錯(cuò)誤．船行駛的實(shí)際速度是船在靜水中的速度與水速的合成，因此應(yīng)借助平行四邊形法則或三角形法則求出其實(shí)際速度，再解決相關(guān)問題．課堂十分鐘1．在四邊形ABCD中，若AB+CD＝0，AC·A．平行四邊形B．矩形C．等腰梯形D．菱形2．已知作用在點(diǎn)A(1，1)的三個(gè)力分別為F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3，1)，則合力F＝F1＋F2＋F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(8，0)B．(9，1)C．(－1，9)D．(3，1)3.已知邊長為2的正六邊形ABCDEF，連接BE，CE，點(diǎn)G是線段BE上靠近B的四等分點(diǎn)，連接GF，則GF·CE等于()A．－6B．－9C．6D．94．在Rt△ABC中，斜邊BC的長為2，O是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP＝OA+12(AB5．在等腰△ABC中，BB′，CC′是兩腰上的中線，且BB′⊥CC′，求頂角∠BAC的余弦值．1．7平面向量的應(yīng)用舉例新知初探·課前預(yù)習(xí)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由BC＝AD知BC∥AD，且BC＝AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．由AB·BC＝0知AB⊥BC，∴四邊形ABCD是矩形．答案：C3．解析：F1＋F2＝OF＝(－2，－1)．|F1＋F2|＝-22+-答案：C4．解析：∵AD＝12∴AD·AC＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.答案：3題型探究·課堂解透例1證明：方法一設(shè)AD＝a，AB＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又因?yàn)镈E＝DA+AE＝－a＋b2，AF＝AB+BF＝b＋a2，所以AF·DE＝b+a2·-a+b2＝-1故AF⊥DE，即AF⊥DE.方法二建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(xiàn)(2，1)，AF＝(2，1)，DE＝(1，－2)．因?yàn)锳F·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF⊥DE，即AF⊥DE.跟蹤訓(xùn)練1解析：∵|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等∴O是三角形的外心∵PA·PB＝PB·PC＝PC·PA∴PB·(PA-PC)＝0，PA·(∴PB⊥CA，PA∴P是△ABC的垂心．答案：C例2解析：如圖，以B為原點(diǎn)，BA，BC所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系．作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，在△ADE中，因?yàn)锳D＝2，所以AE＝1，DE＝3.在△CDF中，因?yàn)镈F＝BE＝2，∠C＝60°，所以CF＝233，BC＝則A(1，0)，D(2，3)．設(shè)P(0，t)，0≤t≤53則AP＝(－1，t)，PD＝(2，3－t)，所以AP·PD＝－t2＋3t－2，當(dāng)t＝32時(shí)，AP·PD取得最大值，且(AP·PD)max＝－5答案：C跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)由題意知2AD＝AB+因?yàn)锳B＝5p＋2q，AC＝p－3q，所以2AD＝AB+AC＝6p－所以2|AD|＝|6p－q|＝36×所以|AD|＝152(2)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，C(3，1)，E33AC＝(3，1)，AE＝33，1cos∠EAC＝AC·AE|AC||因?yàn)?<∠EAC<π2，所以∠EAC＝π答案：(1)152(2)例3解析：如圖所示，設(shè)AC為水流速度，AD為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED，且當(dāng)AE與AB重合時(shí)能最快到達(dá)彼岸，根據(jù)題意知AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，|DE|＝|AC|＝2，|AD|＝4，∠AED＝90°，∴|AE|＝AD2-DE2＝23，又∵∴用時(shí)0.5h，易知sin∠EAD＝12.∴∠EAD∴該船實(shí)際航行速度大小為4km/h，與水流方向成120°角時(shí)能最快到達(dá)B碼頭，用時(shí)0.5h．跟蹤訓(xùn)練3解析：根據(jù)題意可得：G＝F1＋F2，則|G|＝|F1＋F2|＝F1+F22＝F12+F22+2F當(dāng)θ＝π2時(shí)，|G|＝2F1|G|＝2F12+2又因行李包所受的重力為G不變，所以當(dāng)θ角越大時(shí)，用力越大，故C錯(cuò)誤；當(dāng)|F1|＝|G|時(shí)，即G＝2F12+2F12·又因θ∈(0，π)，所以θ＝2π答案：B[課堂十分鐘]1．解析：由題可知AB∥CD，|AB|＝|CD|，且AC⊥BD，故四邊形為菱形．答案：D2．解析：∵F＝(8，0)，∴終點(diǎn)坐標(biāo)為(8，0)＋(1，1)＝(9，1)．答案：B3．解析：方法一根據(jù)題意，BE＝2CD，GB＝－所以GF＝GB+BA+AF又CE＝CD+DE，且∠所以GF·CE＝12CD+DE＝12CD2＋＝2＋32×2×2×1方法二以點(diǎn)F為原點(diǎn)，線段EF所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則F(0，0)，E(2，0)，B(0，23)，C(2，23)，BE＝(2，－23)，CE＝(0，－23)，EF＝(－2，0)，GF＝GE+EF＝34故GF·CE＝－332×(－2答案：D4．解析：∵