2023-2024學年湘教版必修第二冊 5-4隨機事件的獨立性 學案

5.4隨機事件的獨立性最新課程標準學科核心素養(yǎng)1.結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義．2．結合古典概型，利用獨立性計算概率．1.會對事件的獨立性進行判斷．(邏輯推理)2．利用相互獨立事件的性質及概率公式，會求相互獨立事件同時發(fā)生的概率．(邏輯推理、數(shù)學運算)教材要點要點一相互獨立事件的概念設A，B為兩個事件，若P(A∩B)＝________成立，則稱事件A與事件B狀元隨筆(1)必然事件Ω和不可能事件?都與任何事件獨立．(2)事件A，B相互獨立，即事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生沒有影響，且事件B是否發(fā)生對事件A發(fā)生也沒有影響．要點二相互獨立事件的概率若事件A，B獨立，則P(A∩B)狀元隨筆(1)若事件A，B相互獨立，則A與B，A與B，A與(2)注意相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別．基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)不可能事件與任何一個事件相互獨立．()(2)必然事件與任何一個事件相互獨立．()(3)若兩個事件互斥，則這兩個事件相互獨立．()(4)“P(A∩B)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B2．一個不透明的口袋中有黑、白兩種顏色的球，這些球除顏色外完全相同，從中進行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與A2是()A．相互獨立事件B．不相互獨立事件C．互斥事件D．對立事件3．打靶時，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時射擊一目標，則他們都中靶的概率是()A．1425B．1225C．34．在某道路A，B，C三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________．題型1相互獨立事件的判斷例1(多選)下列各對事件中，為相互獨立事件的是()A．擲一枚骰子一次，事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點”；事件N“出現(xiàn)3點或6點”B．袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”方法歸納判斷兩個事件是否相互獨立的方法(1)定量法：利用P(A∩B)＝P(A)P(B(2)定性法：直觀地判斷一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生是否有影響，若沒有影響就是相互獨立事件．跟蹤訓練1已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，則下列結論正確的是()A．如果B?A，那么P(A∪B)＝0.2，P(ABB．如果A與B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(ABC．如果A與B相互獨立，那么P(A∪B)＝0.7，P(ABD．如果A與B相互獨立，那么P(AB)＝0.4，P(AB題型2相互獨立事件概率的計算例2根據資料統(tǒng)計，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險的概率為0.6，購買甲、乙保險相互獨立，各車主間相互獨立．(1)求一位車主同時購買甲、乙兩種保險的概率；(2)求一位車主購買乙種保險但不購買甲種保險的概率．方法歸納1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積．2．使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生．跟蹤訓練2甲、乙兩人組隊參加答題競賽，每輪比賽由甲、乙各答一道題，已知甲每輪答對的概率為34，乙每輪答對的概率為2求：(1)甲，乙在兩輪比賽中分別答對1道題和2道題的概率；(2)該隊伍在兩輪比賽中答對3道題的概率．題型3相互獨立事件的綜合應用例3為普及抗疫知識、弘揚抗疫精神，某學校組織防疫知識挑戰(zhàn)賽．每位選手挑戰(zhàn)時，主持人用電腦出題的方式，從題庫中隨機出3道題，編號為T1，T2，T3，電腦依次出題，選手按規(guī)則作答，挑戰(zhàn)規(guī)則如下：①選手每答對一道題目得5分，每答錯一道題目扣3分；②選手若答對第Ti題，則繼續(xù)作答第Ti＋1題；選手若答錯第Ti題，則失去第Ti＋1題的答題機會，從第Ti＋2題開始繼續(xù)答題；直到3道題目出完，挑戰(zhàn)結束；③選手初始分為0分，若挑戰(zhàn)結束后，累計得分不低于7分，則選手挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失?。x手甲即將參與挑戰(zhàn)，已知選手甲答對題庫中任何一題的概率均為34(1)挑戰(zhàn)結束時，選手甲共答對2道題的概率P1；(2)挑戰(zhàn)結束時，選手甲恰好作答了2道題的概率P2；(3)選手甲闖關成功的概率P3.方法歸納求較為復雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關系(兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關系式；(3)根據事件之間的關系準確選取概率公式進行計算；(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．跟蹤訓練3為普及抗疫知識、弘揚抗疫精神，某學校組織防疫知識競賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為35，3(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．易錯辨析混淆互斥事件和獨立事件的概念例4甲投籃的命中率為0.8，乙投籃的命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？解析：記A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B為相互獨立事件，兩人恰好都命中2次的概率為P(AB)，則P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169.易錯警示易錯原因糾錯心得錯誤地把相互獨立事件當成互斥事件來考慮，將“兩人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”與B＝“乙恰好命中2次”的概率之和．首先理解清楚互斥事件與相互獨立事件的概念，并且區(qū)分計算概率的公式．A，B為互斥事件時，有概率公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B為獨立事件時，有概率公式為P(A∩B)＝P(A)P(課堂十分鐘1．(多選)下面結論正確的是()A．若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與B是互為對立事件B．若P(A∩B)＝P(A)P(B)，則事件A與BC．若事件A與B是互斥事件，則A與B也是互斥事件D．若事件A與B是相互獨立事件，則A與B也是相互獨立事件2．甲、乙兩班各有36名同學，甲班有9名三好學生，乙班有6名三好學生，兩班各派1名同學參加演講活動，派出的恰好都是三好學生的概率是()A．524B．512C．13．甲、乙兩人同時報考某一所大學，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.884．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為135．某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號，假設撥過了的號碼不再重復，試求下列事件的概率：(1)第3次撥號才接通電話；(2)撥號不超過3次而接通電話．5．4隨機事件的獨立性新知初探·課前預習要點一P(A)P(B)要點二P(A)P(B)[基礎自測]1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：事件A1是否發(fā)生對事件A2發(fā)生的概率沒有影響，故A1與A2是相互獨立事件．答案：A3．解析：設“甲命中目標”為事件A，“乙命中目標”為事件B，根據題意知，P(A)＝810＝45，P(B)＝710，且A與B相互獨立，故他們都命中目標的概率為P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝答案：A4．解析：設A1，A2，A3分別表示在A，B，C三處不停車，由題意可知，A1，A2，A3相互獨立，且P(A1)，P(A2)，P(A3)分別為512，712，34答案：35題型探究·課堂解透例1解析：樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件M∩N＝{6}，∴P(M)＝36＝12，P(N)＝26＝13，P(M∩N)＝12×13＝16，即P(M∩N)＝P(M)P(N)，故事件M與答案：ABD跟蹤訓練1解析：如果B?A，那么P(A∪B)＝0.5，P(AB)＝0.2，故A選項錯誤；如果A與B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0，故B選項正確；如果A與B相互獨立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.1，故C選項錯誤；如果A與B相互獨立，那么P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.4，P(AB)＝P(A)·答案：BD例2解析：(1)記A表示事件“購買甲種保險”，B表示事件“購買乙種保險”，則由題意得A與B，A與B，A與B，B與A都是相互獨立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.記C表示事件“同時購買甲、乙兩種保險”，則C＝A∩B，所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A(2)記D表示事件“購買乙種保險但不購買甲種保險”，則D＝A∩B，所以P(D)＝P(A∩B)＝P(A)跟蹤訓練2解析：(1)設A1，A2分別表示甲兩輪答對1道題，2道題的事件，B1，B2分別表示乙兩輪答對1道題，2道題的事件，依題意得：P(A1)＝2·34·14＝38，P(A2)＝3P(B1)＝2·23·13＝49，P(B2)＝2(2)設A＝“兩輪比賽隊伍答對3道題”，則A＝A1∩B2+A2∩B1，且A1∩B2與A2∩B1互斥，A1與B2，A2與B1分別相互獨立，所以P(A)＝P(A1∩B2)+P(A2∩B1)＝P(A1)P(B2)＋P例3解析：設Ai為選手答對Ti題，其中i＝1，2，3.(1)設挑戰(zhàn)結束后，選手甲共答對2道題為事件A，選手甲共答對2道即選手甲前2題答對且第3題答錯，所以A＝A1∩A2∩A3，所以，由事件獨立性的定義得P1＝P(A)＝P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)P(A(2)設挑戰(zhàn)結束時，選手甲恰好作答了2道題為事件B，選手甲恰好作答了2道題即選手甲第1題答錯或第一題答對且第2題答錯，所以B＝A1∪A1A2由概率的加法公式和事件獨立性的定義得P2＝P(B)＝P[A1∪(A1∩A2)]＝(3)設選手甲挑戰(zhàn)成功為事件C，若選手甲挑戰(zhàn)成功，則選手甲共作答了3道題，且選手甲只可能作答2題或3道題所以“選手甲闖關成功”是“選手甲恰好作答了2道題”的對立事件，所以C＝B.根據對立事件的性質得P3＝P(C)＝P(B)＝1－P(B)＝1－716＝9跟蹤訓練3解析：(1)設A1＝“甲在第一輪比賽中勝出”，A2＝“甲在第二輪比賽中勝出”，B1＝“乙在第一輪比賽中勝出”，B2＝“乙在第二輪比賽中勝出”，則A1∩A2＝“甲贏得比賽”，P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2B1∩B2＝“乙贏得比賽”，P(B1∩B2)＝P(B1)P(B2因為25>3(2)由(1)知，設C＝“甲贏得比賽”，D＝“乙贏得比賽”，則P(C)＝1－P(A1∩A2)＝1－2P(D)＝1－P(B1∩B2)＝1－3于是C∪DP(C∪D)＝1－P(C∩D)＝1－P(C)P(D)＝1－3[課堂十分鐘]1．解析：要使A，B為對立事件，除P(A)＋P(B)＝1還需滿足P(AB)＝0，也即A，B不能同時發(fā)生，所以A選項錯誤；若A包含于B，則A與B不是互斥事件，所以C選項錯誤；根據相互獨立事件的知識可知，B，D選項正確．答案：BD2．解析：兩班各自派出代表是相互獨立事件，設事件A，B分別為甲班、乙班派出的是三好學生，則事件A∩B為兩班派出的都是三好學生，則P(A∩B)＝P(A)P(B)＝936答案：C3．