新教材2023版高中數(shù)學第二章直線和圓的方程2.3直線的交點坐標與距離公式2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離學生用書新人教A版選擇性必修第一冊

2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離[課標解讀]1.掌握點到直線距離的公式，會用公式解決有關(guān)問題.2.掌握兩條平行直線間的距離公式，并會求兩條平行直線間的距離．教材要點要點一點到直線的距離1．定義：點到直線的垂線段的長度．2．點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝________________．狀元隨筆給出的直線方程必須是一般式，不是一般式的，則應(yīng)先化為一般式再利用公式求距離．要點二兩條平行直線間的距離1．定義：夾在兩條平行直線間的共垂線段的長．2．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全為0，且C1≠C2)之間的距離d＝________．狀元隨筆利用公式求平行線間的距離時，兩直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)當點P(x0，y0)在直線l：Ax＋By＋C＝0上時，點到直線的距離公式不適用了．()(2)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為kx0+b1+(3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值是點到直線的距離．()(4)兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離．()2．原點到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1B．3C．2D．53．直線y＝x與直線y＝x＋1間的距離等于()A．12B．C．1D．24．點(5，－3)到直線x＋2＝0的距離等于()A．7B．5C．3D．25．已知點A(6，m)到直線x－y＋2＝0的距離為2，則m＝________．題型1點到直線的距離例1(1)已知點P(－1，2)到直線l：4x－3y＋m＝0的距離為1，則m的值為()A．－5或－15B．－5或15C．5或－15D．5或15(2)若直線l經(jīng)過點P(1，2)，且點A(2，3)，B(0，－5)到它的距離相等，則l的方程為()A．4x－y－2＝0B．4x＋y－6＝0C．4x－y－2＝0或x＝1D．4x＋y－6＝0或x＝1方法歸納點到直線的距離的求解策略鞏固訓練1(1)點(0，－1)到直線y＝x＋1的距離為()A．1B．2C．3D．2(2)已知O為原點，點P在直線x＋y－1＝0上運動，那么|OP|的最小值為()A．22B．1C．2D．2題型2兩平行線間的距離例2(1)已知兩平行直線l1，l2分別過點P(－1，3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是()A.(0，＋∞)B．[0，5]C．(0，5]D．[0，17](2)已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為________．方法歸納解決兩條平行直線間的距離問題的2種常用方法鞏固訓練2(1)兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0間的距離為d，則a，d分別為()A.a＝6，d＝63B．a(chǎn)＝－6，d＝C．a(chǎn)＝－6，d＝53D．a(chǎn)＝6，d＝(2)若斜率為2的直線m被直線l1：x＋2y－3＝0與l2：x＋2y＋1＝0所截得的線段為AB，則線段AB的長為________．題型3距離公式的綜合應(yīng)用例3已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點，正方形一邊所在的直線l的方程為x＋3y－5＝0，求正方形其他三邊所在直線的方程．方法歸納利用直線的位置關(guān)系(平行直線系、垂直直線系及過交點的直線系)，巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解．鞏固訓練3已知坐標平面上三點A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，過點C作AB的平行線交x軸于點D.(1)求點D的坐標；(2)求四邊形ABCD的面積．易錯辨析選用直線方程的形式不當引發(fā)錯誤例4過點P(2，5)，且與點(－4，1)距離等于6的直線方程為________．解析：當斜率存在時，設(shè)所求直線方程為y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，由點到直線的距離公式得：-4k-1-2k+5k2故所求直線方程為5x＋12y－70＝0.當斜率不存在時，直線平行于y軸，直線方程為x＝2，符合題意．綜上，所求直線方程為5x＋12y－70＝0或x＝2.答案：5x＋12y－70＝0或x＝2易錯警示易錯原因糾錯心得忽略了直線的斜率不存在的情況而漏解致錯．一般地，求直線方程，設(shè)為點斜式或斜截式是常見的兩種形式．因此，一定要考慮斜率不存在而直線存在的形式．2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離新知初探·課前預(yù)習要點一Ax0+By0+CA要點二C[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：利用點到直線的距離公式可得：原點到直線x＋2y－5＝0的距離d＝0+0-51答案：D3．解析：直線y＝x即為x－y＝0，直線y＝x＋1即為x－y＋1＝0，因為兩直線平行，所以距離d＝1-01答案：B4．解析：點(5，－3)到直線x＋2＝0即x＝－2的距離為d＝5－(－2)＝7.答案：A5．解析：由題意6-m+22＝2，解得m＝答案：6或10題型探究·課堂解透例1解析：(1)點P(－1，2)到直線l：4x－3y＋m＝0的距離為1，∴-1×4解得：m＝15或5.(2)當直線斜率不存在時，x＝1，顯然A(2，3),B(0，－5)到它的距離相等，符合題設(shè)；當直線斜率存在時，y＝k(x－1)＋2，即kx－y＋2－k＝0，根據(jù)題設(shè)，k-11+k2＝7-k1+k2，即|k－1|＝|7－k|，可得k－1∴l(xiāng)的方程為4x－y－2＝0.綜上，l的方程為4x－y－2＝0或x＝1.答案：(1)D(2)C鞏固訓練1解析：(1)(0，－1)到直線y＝x＋1的距離為d＝1+112+(2)最小值即為O到直線x＋y－1＝0的距離，即d＝12＝2答案：(1)B(2)A例2解析：(1)當直線l1，l2與直線PQ垂直時，它們之間的距離d達到最大，此時d＝2--12+-1-3(2)設(shè)直線l的方程為2x－y＋C＝0，由題意，得3-C22+12＝C+122+12，解得C＝1，答案：(1)C(2)2x－y＋1＝0鞏固訓練2解析：(1)∵兩直線平行，∴2＝a3，解得a＝6將2x－y＋3＝0化為6x－3y＋9＝0，∴d＝9-46(2)直線l1：x＋2y－3＝0與l2：x＋2y＋1＝0得斜率為－12直線m的斜率為2，故直線m與直線l1，l2垂直，由兩條平行直線的距離公式可得|AB|＝1+31+4＝4答案：(1)D(2)4例3解析：設(shè)與直線l：x＋3y－5＝0平行的邊所在的直線方程為l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).由2x-y+2=0，x+y+1=0，得正方形的中心坐標為P由點P到兩直線l，l1的距離相等，得-1-512+32＝-1+c12+32，得c＝7或c＝－5(舍去又正方形另兩邊所在直線與l垂直，∴設(shè)另兩邊所在直線的方程分別為3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四條邊的距離相等，∴-3+a32+-12＝-1-∴另兩條邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.∴另三邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.鞏固訓練3解析：(1)根據(jù)題意，A(5，1)，B(7，－3)，則kAB＝1--35-7＝－