新教材2023版高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布專項(xiàng)培優(yōu)章末復(fù)習(xí)課學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

專項(xiàng)培優(yōu)2章末復(fù)習(xí)課知識(shí)網(wǎng)考點(diǎn)聚考點(diǎn)一條件概率1．條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率．一般地，計(jì)算條件概率常有兩種方法：(1)P(B|A)＝PABPA.(2)P(B|A)2．通過對(duì)條件概率的考查，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．例1[2022·新高考Ⅰ卷節(jié)選]一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，PBAP(B(1)證明：R＝PABP(2)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B)，P(A|B)的估計(jì)值，并利用(1)的結(jié)果給出R的估計(jì)值．例2[2022·新高考Ⅱ卷]在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)．考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件的概率1．相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個(gè)明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時(shí)先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計(jì)算求解．2．通過對(duì)相互獨(dú)立事件概率公式應(yīng)用的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng)．例3甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為1(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列．考點(diǎn)三二項(xiàng)分布與超幾何分布1．二項(xiàng)分布與超幾何分布是高中階段主要學(xué)習(xí)的兩種分布，由于這兩種分布列在生活中應(yīng)用較為廣泛，故在高考中對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的考查較靈活，常與期望、方差融合在一起．2．通過對(duì)二項(xiàng)分布與超幾何分布的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．例4[2022·福建三明高二期中]2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在鳥巢落下帷幕，中國(guó)隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績(jī)．北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng)．某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成如下頻率分布表：競(jìng)賽得分[50，60](60，70](70，80](80，90](90，100]頻率0.10.10.30.30.2(1)如果規(guī)定競(jìng)賽得分在(80，90]為“良好”，競(jìng)賽得分在(90，100]為“優(yōu)秀”，從成績(jī)?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中，使用分層抽樣抽取5人．現(xiàn)從這5人中抽取2人進(jìn)行座談，求兩人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；(2)以這100名參賽學(xué)生中競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識(shí)競(jìng)賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率．現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．例5[2022·廣東深圳高二期中]近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾桶．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾，總計(jì)400噸，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表(單位：噸)．廚余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶廚余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率P；(2)某社區(qū)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，現(xiàn)從這10名志愿者中隨機(jī)選取3名，利用節(jié)假日到街道進(jìn)行垃圾分類宣傳活動(dòng)(每名志愿者被選到的可能性相同)．設(shè)X為選出的3名志愿者中男性志愿者的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)四離散型隨機(jī)變量的均值和方差在決策中的作用1．方差是建立在均值這一概念之上的，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的均值的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中特別是風(fēng)險(xiǎn)決策中有著重要意義，因此在當(dāng)前的高考中是一個(gè)熱點(diǎn)問題．2．通過對(duì)離散型隨機(jī)變量的均值和方差在決策中的作用的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．例6[2021·新高考Ⅰ卷]某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．考點(diǎn)五正態(tài)分布1．正態(tài)分布在實(shí)際生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用，在解題中注意求準(zhǔn)正態(tài)分布中的參數(shù)μ，σ，充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱及在三個(gè)特殊區(qū)間的概率進(jìn)行求解．2．通過對(duì)正態(tài)分布的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．例7(1)[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是()A．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________．章末復(fù)習(xí)課考點(diǎn)聚焦·分類突破例1解析：(1)證明：∵PBAP(B|A)P(B|A)P(B|A)＝PABPAB·PABPAB＝PABPB·P∴R＝PABP(2)由表格中的數(shù)據(jù)，得P(A|B)＝40100＝25，P(A|B)＝10100∴P(A|B)＝1－P(A|B)＝35P(A|B)＝1－P(A|B)＝910∴R＝PABPAB·例2解析：(1)平均年齡x＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝(0.005＋0.03＋0.3＋0.595＋1.035＋1.1＋1.105＋0.45＋0.17)×10＝47.9(歲)．(2)設(shè)A＝{一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)}，則P(A)＝1－P(A)＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.(3)設(shè)B＝{任選一人年齡位于區(qū)間[40，50)}，C＝{任選一人患這種疾病}，則由條件概率公式，得P(C|B)＝PBCPB＝0.1%×0.023×即此人患這種疾病的概率約為0.0014.例3解析：用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”．則P(Ak)＝23，P(Bk)＝1k＝1，2，3，4，5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝232＋1＝5681(2)X的可能取值為2，3，4，5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝59P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝29P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝1081P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881故X的分布列為X2345P52108例4解析：(1)成績(jī)?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組頻率合計(jì)0.5，共50人，抽樣比為110所以成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡某槿?0×110＝3人，成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的抽取20×110＝所以抽到的競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”的概率為P＝C22C(2)由題意知，X的可能取值為0，1，2，3.由題可知，任意1名學(xué)生競(jìng)賽得分“優(yōu)秀”的概率為P1＝20100＝15，競(jìng)賽得分不是“優(yōu)秀”的概率為P2＝1－P1＝1－15＝45.若以頻率估計(jì)概率，則X服從二項(xiàng)分布B(3P(X＝0)＝C301P(X＝1)＝C311P(X＝2)＝C321P(X＝3)＝C331所以X的分布列為X0123P6448121E(X)＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1例5解析：(1)由題表可得廚余垃圾共有60＋20＋20＝100噸，其中投入廚余垃圾桶的有60噸，所以廚余垃圾投放正確的概率P＝60100＝3(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝C30C73C103＝724，PP(X＝2)＝C32C71C103＝740，P所以X的分布列為X0123P72171所以E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1所以選出的3名志愿者中男性志愿者個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為910例6解析：(1)由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；P(X＝20)＝0.8(1－0.6)＝0.32；P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；P(Y＝80)＝0.6(1－0.8)＝0.12；P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)?4.4<57.6，所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．例7解析：(1)對(duì)于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.