（課標(biāo)全國版）高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測 第13講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值（講）原卷版+解析

第13講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析【課標(biāo)解讀】1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。3.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；4.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；5.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值?！緜淇疾呗浴繌慕旮呖记闆r來看，本講是高考中的必考內(nèi)容．預(yù)測2022年會考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，題型有兩個：①利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；②已知單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍．常以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題.【核心知識】知識點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).知識點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).知識點(diǎn)三函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f′(x0)＝0x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象形如山峰形如山谷極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)知識點(diǎn)四函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.【特別提醒】1.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2.對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.3.求最值時，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.4.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1.【2019·天津卷】設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間?！痉椒记伞坷脤?dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出單調(diào)區(qū)間．(2)當(dāng)方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分成若干個區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間．(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)的結(jié)構(gòu)特征，利用其圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x－m).則函數(shù)y＝f(x)在x∈(m，＋∞)上的單調(diào)遞減區(qū)間為________，單調(diào)遞增區(qū)間為________．【變式探究】【2019·浙江卷】已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。高頻考點(diǎn)二判斷函數(shù)的單調(diào)性例2．【2020·全國Ⅰ卷】已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【舉一反三】【2019·全國Ⅲ卷】已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b.討論f(x)的單調(diào)性．【方法技巧】含參函數(shù)單調(diào)性的求法此類問題中，導(dǎo)數(shù)的解析式通過化簡變形后，通?？梢赞D(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)的含參問題．對于二次三項(xiàng)式含參問題，有如下處理思路：(1)首先考慮二次三項(xiàng)式是否存在零點(diǎn)，這里涉及對判別式Δ≤0和Δ＞0分類討論，即“有無實(shí)根判別式，兩種情形需知曉”．(2)如果二次三項(xiàng)式能因式分解，這表明存在零點(diǎn)，邏輯分類有兩種情況，需要考慮首項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)．如果首項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)，就按首項(xiàng)系數(shù)為零、為正、為負(fù)進(jìn)行討論；如果首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)，只需討論兩個根x1，x2的大小，即“首項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，先論系數(shù)零正負(fù)；首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)，根的大小定勝負(fù)”．(3)注意：討論兩個根x1，x2的大小時，一定要結(jié)合函數(shù)定義域進(jìn)行討論，考慮兩根是否在定義域中，即“定義域，緊跟蹤，兩根是否在其中”．【舉一反三】（2023·全國高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；高頻考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍例3.(2019·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù))．若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是________．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)ax2＋2x(a≠0)．(1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．【方法技巧】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．(2)f(x)單調(diào)遞增的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，要注意等號是否可以取到．(3)注意區(qū)分“在區(qū)間上恒成立”與“在區(qū)間上存在x值使不等式成立”的區(qū)別．分離參數(shù)后對應(yīng)不同的最值類型．【變式探究】已知實(shí)數(shù)a>0，且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x<1，,x2＋\f(4,x)＋alnx，x≥1))在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,5] B．[2,5]C．(1，＋∞) D．(－∞，5]高頻考點(diǎn)四根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例4.【2020·全國Ⅰ卷】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．【方法技巧】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，求出參數(shù)的取值范圍．(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍．(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．【變式探究】【2019·北京卷】設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．高頻考點(diǎn)五利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例5.(2020·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝12－x2.(1)求曲線y＝f(x)的斜率等于－2的切線方程；(2)設(shè)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(t，f(t))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t)，求S(t)的最小值．【方法技巧】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的一般步驟：(1)先求函數(shù)y＝f(x)的定義域，再求其導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查導(dǎo)數(shù)f′(x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.特別注意：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).【舉一反三】（2023·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋sin2x，則f(x)的最小值是________．【變式探究】已知k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－kx2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在[0，k]上的最大值．高頻考點(diǎn)六已知函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的取值范圍例6.（2023·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.①若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行，求a；②若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍.【方法技巧】已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).【舉一反三】若函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(a,2)x2＋x＋1在區(qū)間(eq\f(1,2)，3)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【變式探究】(2023·全國Ⅱ卷)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1高頻考點(diǎn)七數(shù)極值與最值的綜合問題例7.已知常數(shù)a≠0，f(x)＝alnx＋2x.(1)當(dāng)a＝－4時，求f(x)的極值；(2)當(dāng)f(x)的最小值不小于－a時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【方法技巧】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的綜合問題的一般思路①若求極值，則先求方程f′(x)＝0的根，再檢查f′(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號．②若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情況來求解．③求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．(2)已知最值求參數(shù)的范圍主要采取分類討論的思想，將導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與所給區(qū)間進(jìn)行比較，利用導(dǎo)數(shù)的工具性得到函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而可求其最值，判斷所求的最值與已知條件是否相符，從而得到參數(shù)的取值范圍．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x3＋x2，x<1，,alnx，x≥1.))(1)求f(x)在區(qū)間(－∞，1)上的極小值和極大值點(diǎn)；(2)求f(x)在區(qū)間[－1，e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值．

第13講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析【課標(biāo)解讀】1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。3.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；4.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；5.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值。【備考策略】從近三年高考情況來看，本講是高考中的必考內(nèi)容．預(yù)測2022年會考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，題型有兩個：①利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；②已知單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍．常以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題.【核心知識】知識點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).知識點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).知識點(diǎn)三函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f′(x0)＝0x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象形如山峰形如山谷極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)知識點(diǎn)四函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.【特別提醒】1.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2.對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.3.求最值時，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.4.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1.【2019·天津卷】設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間。【解析】由已知，有．因此，當(dāng)時，有，得，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，有，得，則單調(diào)遞增．所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出單調(diào)區(qū)間．(2)當(dāng)方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分成若干個區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間．(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)的結(jié)構(gòu)特征，利用其圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x－m).則函數(shù)y＝f(x)在x∈(m，＋∞)上的單調(diào)遞減區(qū)間為________，單調(diào)遞增區(qū)間為________．【解析】f′(x)＝eq\f(ex（x－m）－ex,（x－m）2)＝eq\f(ex（x－m－1）,（x－m）2)，當(dāng)x∈(m，m＋1)時，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(m＋1，＋∞)時，f′(x)＞0，所以f(x)在(m，m＋1)上單調(diào)遞減，在(m＋1，＋∞)上單調(diào)遞增．【答案】(m，m＋1)(m＋1，＋∞)【變式探究】【2019·浙江卷】已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥慨?dāng)時，．，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3），單調(diào)遞增區(qū)間為（3，+）?！敬鸢浮康膯握{(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；高頻考點(diǎn)二判斷函數(shù)的單調(diào)性例2．【2020·全國Ⅰ卷】已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)a=1時，f（x）=ex+x2–x，則=ex+2x–1．故當(dāng)x∈（–∞，0）時，<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時，>0．所以f（x）在（–∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．（2）等價于.設(shè)函數(shù)，則.（i）若2a+1≤0，即，則當(dāng)x∈（0，2）時，>0.所以g（x）在（0，2）單調(diào)遞增，而g（0）=1，故當(dāng)x∈（0，2）時，g（x）>1，不合題意.（ii）若0<2a+1<2，即，則當(dāng)x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)時，g'(x)<0；當(dāng)x∈(2a+1，2)時，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)單調(diào)遞減，在(2a+1，2)單調(diào)遞增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7?4a)e?2≤1，即a≥.所以當(dāng)時，g(x)≤1.（iii）若2a+1≥2，即，則g(x)≤.由于，故由（ii）可得≤1.故當(dāng)時，g(x)≤1.綜上，a的取值范圍是.【舉一反三】【2019·全國Ⅲ卷】已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b.討論f(x)的單調(diào)性．解：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(a,3).①若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))時，f′(x)>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))時，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))上單調(diào)遞減．②若a＝0，則f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．③若a<0，則當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪(0，＋∞)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))時，f′(x)<0.故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))上單調(diào)遞減．【方法技巧】含參函數(shù)單調(diào)性的求法此類問題中，導(dǎo)數(shù)的解析式通過化簡變形后，通?？梢赞D(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)的含參問題．對于二次三項(xiàng)式含參問題，有如下處理思路：(1)首先考慮二次三項(xiàng)式是否存在零點(diǎn)，這里涉及對判別式Δ≤0和Δ＞0分類討論，即“有無實(shí)根判別式，兩種情形需知曉”．(2)如果二次三項(xiàng)式能因式分解，這表明存在零點(diǎn)，邏輯分類有兩種情況，需要考慮首項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)．如果首項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)，就按首項(xiàng)系數(shù)為零、為正、為負(fù)進(jìn)行討論；如果首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)，只需討論兩個根x1，x2的大小，即“首項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，先論系數(shù)零正負(fù)；首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)，根的大小定勝負(fù)”．(3)注意：討論兩個根x1，x2的大小時，一定要結(jié)合函數(shù)定義域進(jìn)行討論，考慮兩根是否在定義域中，即“定義域，緊跟蹤，兩根是否在其中”．【舉一反三】（2023·全國高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，，，令，解得，令，解得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；高頻考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍例3.(2019·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù))．若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是________．【答案】－1(－∞，0]【解析】∵f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù))的定義域?yàn)镽，∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－eq\f(a,ex).∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即ex≥eq\f(a,ex)在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范圍是(－∞，0]．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)ax2＋2x(a≠0)．(1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．【解析】(1)h(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝eq\f(1,x)－ax－2.因?yàn)閔(x)在(0，＋∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時，eq\f(1,x)－ax－2＜0有解，即a＞eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)有解．設(shè)G(x)＝eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)，所以只要a＞G(x)min即可．而G(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\s\up4(2)－1，所以G(x)min＝－1，所以a＞－1.又因?yàn)閍≠0，所以a的取值范圍為(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)因?yàn)閔(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈[1,4]時，h′(x)＝eq\f(1,x)－ax－2≤0恒成立，即a≥eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)恒成立．由(1)知G(x)＝eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)，所以a≥G(x)max.而G(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\s\up4(2)－1.因?yàn)閤∈[1,4]，所以eq\f(1,x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，所以G(x)max＝－eq\f(7,16)(此時x＝4)，所以a≥－eq\f(7,16).又因?yàn)閍≠0，所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,16)，0))∪(0，＋∞)．【方法技巧】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．(2)f(x)單調(diào)遞增的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，要注意等號是否可以取到．(3)注意區(qū)分“在區(qū)間上恒成立”與“在區(qū)間上存在x值使不等式成立”的區(qū)別．分離參數(shù)后對應(yīng)不同的最值類型．【變式探究】已知實(shí)數(shù)a>0，且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x<1，,x2＋\f(4,x)＋alnx，x≥1))在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,5] B．[2,5]C．(1，＋∞) D．(－∞，5]【答案】B【解析】函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則a>1.當(dāng)x≥1時，f(x)＝x2＋eq\f(4,x)＋alnx，則f′(x)＝2x－eq\f(4,x2)＋eq\f(a,x)＝eq\f(2x3＋ax－4,x2)，則2x3＋ax－4≥0在[1，＋∞)上恒成立．所以a≥eq\f(4,x)－2x2在[1，＋∞)上恒成立．因?yàn)閥＝eq\f(4,x)－2x2在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以ymax＝2，則a≥2.當(dāng)x＝1時，a≤1＋4＝5.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,5]．故選B．高頻考點(diǎn)四根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例4.【2020·全國Ⅰ卷】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．【解析】的定義域?yàn)?，．?）當(dāng)時，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．直線在軸，軸上的截距分別為，．因此所求三角形的面積為．（2）當(dāng)時，．當(dāng)時，，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，從而．當(dāng)時，．綜上，的取值范圍是．【方法技巧】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，求出參數(shù)的取值范圍．(2)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍．(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍．【變式探究】【2019·北京卷】設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍。若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】高頻考點(diǎn)五利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例5.(2020·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝12－x2.(1)求曲線y＝f(x)的斜率等于－2的切線方程；(2)設(shè)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(t，f(t))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t)，求S(t)的最小值．【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝12－x2，所以f′(x)＝－2x.設(shè)切點(diǎn)為(x0,12－xeq\o\al(2,0))，則－2x0＝－2，即x0＝1，所以切點(diǎn)為(1,11)．由點(diǎn)斜式可得切線方程為y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0.(2)顯然t≠0，因?yàn)閥＝f(x)在點(diǎn)(t,12－t2)處的切線方程為y－(12－t2)＝－2t(x－t)，即y＝－2tx＋t2＋12.令x＝0，得y＝t2＋12；令y＝0，得x＝eq\f(t2＋12,2t).所以S(t)＝eq\f(1,2)×(t2＋12)·eq\f(t2＋12,2|t|)＝eq\f(t2＋122,4|t|)，t≠0，顯然為偶函數(shù)．只需考察t＞0即可(t<0時，結(jié)果一樣)，則S(t)＝eq\f(t4＋24t2＋144,4t)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t3＋24t＋\f(144,t)))，S′(t)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3t2＋24－\f(144,t2)))＝eq\f(3t4＋8t2－48,4t2)＝eq\f(3t2－4t2＋12,4t2)＝eq\f(3t－2t＋2t2＋12,4t2).由S′(t)>0，得t>2；由S′(t)<0，得0<t<2.所以S(t)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以t＝2時，S(t)取得極小值，也是最小值為S(2)＝eq\f(16×16,8)＝32.綜上所述，當(dāng)t＝±2時，S(t)min＝32.【方法技巧】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的一般步驟：(1)先求函數(shù)y＝f(x)的定義域，再求其導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查導(dǎo)數(shù)f′(x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.特別注意：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).【舉一反三】（2023·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋sin2x，則f(x)的最小值是________．【解析】f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴當(dāng)cosx＜eq\f(1,2)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)cosx＞eq\f(1,2)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)cosx＝eq\f(1,2)，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴當(dāng)sinx＝－eq\f(\r(3),2)時，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝－eq\f(3\r(3),2).【答案】－eq\f(3\r(3),2)【變式探究】已知k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－kx2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在[0，k]上的最大值．【解析】(1)由題意得f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)．因?yàn)閗∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以1＜2k≤2.令f′(x)＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,ex－2k＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,ex－2k＜0，))解得x＞ln2k或x＜0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln2k，＋∞)，(－∞，0)．令f′(x)＜0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,ex－2k＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,ex－2k＞0，))解得0＜x＜ln2k.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，ln2k)．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln2k，＋∞)，(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，ln2k)．(2)令φ(k)＝k－ln(2k)，k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，φ′(k)＝1－eq\f(1,k)＝eq\f(k－1,k)≤0.所以φ(k)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是減函數(shù)．所以φ(1)≤φ(k)＜φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).所以1－ln2≤φ(k)＜eq\f(1,2)＜k，即0＜ln(2k)＜k.所以f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(0，ln(2k))ln(2k)(ln(2k)，k)f′(x)－0＋f(x)↘極小值↗f(0)＝－1，f(k)－f(0)＝(k－1)ek－k3－f(0)＝(k－1)ek－k3＋1＝(k－1)ek－(k3－1)＝(k－1)ek－(k－1)(k2＋k＋1)＝(k－1)[ek－(k2＋k＋1)]．因?yàn)閗∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以k－1≥0.對任意的k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，y＝ek的圖象恒在直線y＝k2＋k＋1的下方，所以ek－(k2＋k＋1)≤0.所以f(k)－f(0)≥0，即f(k)≥f(0)．所以函數(shù)f(x)在[0，k]上的最大值f(k)＝(k－1)ek－k3.高頻考點(diǎn)六已知函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的取值范圍例6.（2023·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.①若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行，求a；②若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍.【解析】①因?yàn)閒(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由題設(shè)知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此時f(1)＝3e≠0.所以a的值為1.②f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a>eq\f(1,2)，則當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，2))時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2處取得極小值.若a≤eq\f(1,2)，則當(dāng)x∈(0，2)時，x－2<0，ax－1≤eq\f(1,2)x－1<0，所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).【方法技巧】已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).【舉一反三】若函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(a,2)x2＋x＋1在區(qū)間(eq\f(1,2)，3)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(2，eq\f(10,3))【解析】若函數(shù)f(x)在區(qū)間(eq\f(1,2)，3)上無極值，則當(dāng)x∈(eq\f(1,2)，3)時，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或當(dāng)x∈(eq\f(1,2)，3)時，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．當(dāng)x∈(eq\f(1,2)，3)時，y＝x＋eq\f(1,x)的值域是[2，eq\f(10,3))；當(dāng)x∈(eq\f(1,2)，3)時，f′(x)＝x2－ax＋1≥0，即a≤x＋eq\f(1,x)恒成立，a≤2；當(dāng)x∈(eq\f(1,2)，3)時，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，即a≥x＋eq\f(1,x)恒成立，a≥eq\f(10,3).因此要使函數(shù)f(x)在(eq\f(1,2)，3)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，eq\f(10,3))．【變式探究】(2023·全國Ⅱ卷)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1【答案】A【解析】f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，則f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1，則f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，當(dāng)x<－2或x>1時，f′(x)>0，當(dāng)－2<x<1時，f′(x)<0，所以x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)極小值為f(1)＝－1.高頻考點(diǎn)七數(shù)極值與最值的綜合問題例7.已知常數(shù)a≠0，f(x)＝alnx＋2x.(1)當(dāng)a＝－4時，求f(x)的極值；(2)當(dāng)f(x)的最小值不小于－a時，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)由已知得f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(a,x)＋2＝eq\f(a＋2x,x).當(dāng)a＝－4時，f′(x)＝eq\f(2x－4,x).所以當(dāng)0＜x＜2時，f′(x)＜0，即f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞2時，f′(x)＞0，即f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)只有極小值，且在x＝2時，f(x)取得極小值f(2)＝4－4ln2.所以當(dāng)a＝－4時，f(x)只有極小值4－4ln2.(2)因?yàn)閒′(x)＝eq\f(a＋2x,x)，所以當(dāng)a＞0，x∈(0