數(shù)列通項公式的求法(較全面)

數(shù)列通項公式的求法觀察法:給出前n項，寫出它的通項公式方法：觀察、歸納，抓住第n項與n的關系。二、公式法：利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式等差數(shù)列：或等比數(shù)列或利用前n項和：由與的關系求通項公式方法：如：已知數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的通項公式；解：（1）當（2）當時，故即分析：本題并非為數(shù)列的前n項和。而是數(shù)列的前項和，增加了難度。如：(07重慶21題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項和為滿足＞1且6=n∈求{}的通項公式。解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得=0∵＞0∴從而{}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，故{}的通項為=2+3(n-1)=3n-1.如：(07陜西理22)已知各項全不為0的數(shù)列{}的前k項和為，且=(k∈)其中=1，求數(shù)列{}的通項公式。解：當k=1時，=及=1得=2；當k≥2時，由==得=2∵≠0∴=2從而=1+(m-1)2=2m-1=2+(m-1)2=2m(m∈)故=k(k∈).如：(07福建文21)數(shù)列{}的前n項和為，=1，(n∈),求{}的通項公式。解：由=1，=2，當n≥2時==得=3，因此{}是首項為=2，q=3的等比數(shù)列。故=(n≥2),而=1不滿足該式所以=。如：(06全國Ⅰ理22)該數(shù)列{}的前n項和(n=1、2、3……)求{}的通項公式。解：由(n=1、2、3……)…①得=所以=2再=（n=2、3…）…②將①和②相減得：==整理得（n=2、3…）因而數(shù)列{}是首項為,q=4的等比數(shù)列。即==，因而。累加、累乘1、形如方法：累加法2、形如方法：累乘法如：（1）已知數(shù)列滿足，試用表示.（2）已知數(shù)列滿足的通項.解：（1）由遞推式得…共個式子相加得，.（2）當時，…，；當時，滿足故五、構造數(shù)列類型1（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解。如：數(shù)列：=1,當時，有+2，求.解：由+2，兩邊同加1，得（）故是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，故.說明:本題亦可由，+2（）兩式相減得：得為等比數(shù)列求解．類型2如：設數(shù)列：，求.解：設，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說明：（1）若為的二次式，則可設;（2）本題也可由,（）兩式相減得轉化為求之.類型3（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。如：已知數(shù)列{}中，=1，=，求數(shù)列的通項公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個數(shù)列，該數(shù)列中含是變量，而不是常量了。故應構造新數(shù)列，其中為常數(shù)，使之為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構造數(shù)列，為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列即=整理得：=滿足=得∴新數(shù)列是首項為=，q=2的等比數(shù)列∴=∴=如:數(shù)列{}滿足=()，首項為，求數(shù)列{}的通項公式。解：=兩邊同除以得=+1∴數(shù)列是首項為=1，d=1的等差數(shù)列∴=1+故=類型4（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。如：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)——迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：數(shù)列：，的特征方程是：。,。又由，于是故取倒數(shù)解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉化為。如：已知數(shù)列{}，=，，求=？解：把原式變形得兩邊同除以得∴是首項為，d=的等差數(shù)列故∴。如：（06江西理22）已知數(shù)列{}滿足，且（）求數(shù)列{}的通項公式。解：把原式變形成兩邊同除以得即……⑴構造新數(shù)列，使其成為公比q=的等比數(shù)列即整理得：滿足⑴式使∴∴數(shù)列是首項為，q=的等比數(shù)列∴∴。如：（06江西文22）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足：，且求數(shù)列{}的通項公式。解：把原式變形為兩邊同除以得移項得：所以新數(shù)列是首項為q=2的等比數(shù)列。故解關于的方程得。六、取對數(shù)解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉化為，再利用待定系數(shù)法求解。如：已知，，求。解：對遞推式左右兩邊分別取對數(shù)得，令，則，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，因而得。七、特征根法（、）思路（特征根法）：遞推式對應的特征方程為即。當特征方程有兩個相等實根時，數(shù)列即為等差數(shù)列，我們可設（為待定系數(shù)，可利用、求得）；當特征方程有兩個不等實根、時，數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，我們可設（為待定系數(shù)，可利用已知其值的項間接求得）；當特征方程的根為虛根時數(shù)列通項的討論方法與上同理，此處暫不作討論。如：已知，（），求。解：當時，遞推式對應的特征方程為即，解得、。數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，設，由得則，，即，從而，。八、歸納猜想法解法：數(shù)學歸納法如：設數(shù)列的前和為,滿足，且.(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項公式;九：周期法解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。如：若數(shù)列滿足，若，