（課標(biāo)全國版）高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測(cè) 第35講 直線、平面平行的判定及性質(zhì)（講）原卷版+解析

第35講直線、平面平行的判定及性質(zhì)【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算【課標(biāo)解讀】1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.【備考策略】從近三年卷情況來看，本講是卷的重點(diǎn)考查內(nèi)容．預(yù)測(cè)2022年將會(huì)以以下兩種方式進(jìn)行考查：①以幾何體為載體，考查線面平行的判定；②根據(jù)平行關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．試題常以解答題的第一問直接考查，難度不大，屬中檔題型.【核心知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(線面平行?面面平行)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b(1)應(yīng)用線面平行判定定理的注意點(diǎn)：在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線a不在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，且a∥b，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的注意點(diǎn)：一條直線平行于一個(gè)平面，它可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線可能平行，也可能異面．(3)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理使用的區(qū)別：如果結(jié)論中有a∥α，則要用判定定理，在α內(nèi)找與a平行的直線；如果條件中有a∥α，則要用性質(zhì)定理，找(或作)過a且與α相交的平面．應(yīng)用定理證明有關(guān)平行問題時(shí)，一定要滿足定理的前提條件．(4)面面平行判定定理的一個(gè)推論：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行．符號(hào)表示：a?α，b?α，a∩b＝O，a′?β，b′?β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′?α∥β.【知識(shí)必備】1．兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．2．夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等．3．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．4．兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．5．同一條直線與兩個(gè)平行平面所成角相等．6．如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一與線、面平行相關(guān)命題的判定【例1】（2023·浙江卷）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【變式探究】【2019·全國Ⅱ卷】設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面【變式探究】(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，則下列說法正確的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線D．平面MNQ∥平面APC【變式探究】【2019·北京卷】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．高頻考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)【例2】（2023·北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【方法技巧】線面平行問題的解題關(guān)鍵(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，從而證明直線與平面平行．(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．【變式探究】如圖，在幾何體E-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)．求證：GF∥平面ADE.高頻考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一點(diǎn)．若N是AB的中點(diǎn)，且CN∥平面AB1M，求CM的長．【方法技巧】證明面面平行的常用方法(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題常用)；(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀題常用)；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明．【變式探究】（2023·天津卷）如圖，平面，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值為，求線段的長．【變式探究】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，求證：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.高頻考點(diǎn)四平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例4】如圖所示，平面α∥平面β，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)C∈α，點(diǎn)B∈β，點(diǎn)D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求證：EF∥平面β；(2)若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．【方法技巧】利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置．對(duì)于線段長或線段比例問題，常用平行線對(duì)應(yīng)線段成比例或相似三角形來解決．【變式探究】已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，點(diǎn)P是平面AA′D′D的中心，Q為B′D′上一點(diǎn)，且PQ∥平面AA′B′B，求線段PQ的長．第35講直線、平面平行的判定及性質(zhì)【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算【課標(biāo)解讀】1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.【備考策略】從近三年卷情況來看，本講是卷的重點(diǎn)考查內(nèi)容．預(yù)測(cè)2022年將會(huì)以以下兩種方式進(jìn)行考查：①以幾何體為載體，考查線面平行的判定；②根據(jù)平行關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．試題常以解答題的第一問直接考查，難度不大，屬中檔題型.【核心知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(線面平行?面面平行)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b(1)應(yīng)用線面平行判定定理的注意點(diǎn)：在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線a不在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，且a∥b，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的注意點(diǎn)：一條直線平行于一個(gè)平面，它可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線可能平行，也可能異面．(3)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理使用的區(qū)別：如果結(jié)論中有a∥α，則要用判定定理，在α內(nèi)找與a平行的直線；如果條件中有a∥α，則要用性質(zhì)定理，找(或作)過a且與α相交的平面．應(yīng)用定理證明有關(guān)平行問題時(shí)，一定要滿足定理的前提條件．(4)面面平行判定定理的一個(gè)推論：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行．符號(hào)表示：a?α，b?α，a∩b＝O，a′?β，b′?β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′?α∥β.【知識(shí)必備】1．兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．2．夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等．3．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．4．兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．5．同一條直線與兩個(gè)平行平面所成角相等．6．如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一與線、面平行相關(guān)命題的判定【例1】（2023·浙江卷）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【解析】連，在正方體中，M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又N是的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面.因?yàn)椴淮怪保圆淮怪眲t不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確，故選A。【變式探究】【2019·全國Ⅱ卷】設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【變式探究】(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，則下列說法正確的是()A．MN∥平面APCB．C1Q∥平面APCC．A，P，M三點(diǎn)共線D．平面MNQ∥平面APC【答案】BC【解析】如圖，對(duì)于A，連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM，CN.易得AM，CN交于點(diǎn)P，即MN?平面APC，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B，由A知M，N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，且AN?平面APC，C1Q平面APC.所以B選項(xiàng)正確．對(duì)于C，由A知，A，P，M三點(diǎn)共線，所以C選項(xiàng)正確．對(duì)于D，由A知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．【變式探究】【2019·北京卷】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α，不正確，有可能m在平面α內(nèi)；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α，不正確，有可能l與α斜交、l∥α.故答案為：如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.高頻考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)【例2】（2023·北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則..因此，直線與平面所成角的正弦值為.【方法技巧】線面平行問題的解題關(guān)鍵(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，從而證明直線與平面平行．(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．【變式探究】如圖，在幾何體E-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)．求證：GF∥平面ADE.證明：(方法一：線線平行，則線面平行)如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD.因?yàn)镚是BE的中點(diǎn)，所以GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)AB.又F是CD的中點(diǎn)，所以DF＝eq\f(1,2)CD.由四邊形ABCD是矩形得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH.又DH?平面ADE，GF?平面ADE，所以GF∥平面ADE.(方法二：面面平行，則線面平行)如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MG，MF.因?yàn)镚是BE的中點(diǎn)，所以GM∥AE.又AE?平面ADE，GM?平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MF∥AD.又AD?平面ADE，MF?平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因?yàn)镚M∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因?yàn)镚F?平面GMF，所以GF∥平面ADE.高頻考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，CC1＝4，M是棱CC1上的一點(diǎn)．若N是AB的中點(diǎn)，且CN∥平面AB1M，求CM的長．【解析】(方法一)如圖①，取AB1的中點(diǎn)P，連接NP，PM.因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以NP∥BB1.因?yàn)镃M∥BB1，所以NP∥CM，所以NP與CM共面．因?yàn)镃N∥平面AB1M，平面CNPM∩平面AB1M＝MP，所以CN∥MP.所以四邊形CNPM為平行四邊形，所以CM＝NP＝eq\f(1,2)CC1＝2.圖①(方法二)如圖②，取BB1的中點(diǎn)Q，連接NQ，CQ.因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以NQ∥AB1.圖②因?yàn)镹Q平面AB1M，AB1?平面AB1M，所以NQ∥平面AB1M.因?yàn)镃N∥平面AB1M，NQ∩NC＝N，NQ，NC?平面NQC，所以平面NQC∥平面AB1M.因?yàn)槠矫鍮CC1B1∩平面NQC＝QC，平面BCC1B1∩平面AB1M＝MB1，所以CQ∥MB1.因?yàn)锽B1∥CC1，所以四邊形CQB1M是平行四邊形，所以CM＝B1Q＝eq\f(1,2)CC1＝2.(方法三)如圖③，分別延長BC，B1M并交于一點(diǎn)S，連接AS.圖③因?yàn)镃N∥平面AB1M，CN?平面ABS，平面ABS∩平面AB1M＝AS，所以CN∥AS.由于AN＝NB，所以BC＝CS.又CM∥BB1，同理可得SM＝MB1，所以CM＝eq\f(1,2)BB1＝eq\f(1,2)CC1＝2.【方法技巧】證明面面平行的常用方法(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題常用)；(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀題常用)；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明．【變式探究】（2023·天津卷）如圖，平面，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值為，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【解析】依題意，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，．設(shè)，則．（1）依題意，是平面的法向量，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面．（2）依題意，．設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得．因此有．所以，直線與平面所成角的正弦值為．（3）設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得．由題意，有，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．所以，線段的長為．【變式探究】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，求證：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.證明：(1)如圖，連接SB，因?yàn)镋，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，所以EG∥SB.又因?yàn)镾B?平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直線EG∥平面BDD1B1.(2)如圖，連接SD，因?yàn)镕，G分別是CD，SC的中點(diǎn)，所以FG∥SD.又因?yàn)镾D?平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.高頻考點(diǎn)四平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【例4】如圖所示，平面α∥平面β，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)C∈α，點(diǎn)B∈β，點(diǎn)D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求證：EF∥平面β；(2)若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．【解析】(1)證明：①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF?β，BD?β，∴EF∥平面β.②當(dāng)AB與CD異面時(shí)，如圖所示，設(shè)平面ACD∩平面β＝HD，且HD＝AC，∵平面α